Tìm hiểu về quá trình điểm poisson và áp dụng

Tìm hiểu về quá trình điểm poisson và áp dụng

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng

Đề 10: Tìm hiểu về quá trình điểm

Poisson và áp dụng

Hà Nội tháng 11 năm 2011

VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan

Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Anh Tuấn 20092993 Trịnh Duy Khuê 20091492 Nguyễn Hữu Anh 20090109

Lê Vinh Hiển 20091059 Nguyễn Lê Khôi 20091485

Vũ Minh Thảo 20092488

ӿ

2

Mục lục

Mở đầu 3

Nội dung 4

1 Giới thiệu chung 4

1.1 Quá trình đếm 4

1.2 Quá trình điểm poisson 5

1.3 Tính chắc chắn của phân phối poisson 5

2 Các tính chất của quá trình poisson 6

2.1 Tính chất 2.1 (Construction) 7

2.2 Tính chất 2.2 (Restriction) 8

2.3 Định l{ tồn tại và ánh xạ 8

3 Các đặc trưng cơ bản của quá trình Poisson 9

3.1 Hội tụ tuyệt đối 9

3.2 Kz vọng và phương sai 9

3.3 Hàm Laplace 10

4 Quá trình điểm Poisson có nhãn (Labelled Poisson Point Process) 11

4.1 Định nghĩa 11

4.2 Tính chất 12

5 Bài tập 13

6 Mô phỏng bằng MATLAB 14

6.1 Giới thiệu về phần mềm MATLAB 14

6.2 Các hàm của matlab liên quan đến phân phối poisson 15

6.2.1 POISSPDF 15

6.2.2 POISSCDF 15

6.2.3 POISSRND 15

6.2.4 POISSINV 15

6.3 Một số ví dụ minh họa 15

Kết luận 18

Tài liệu tham khảo 19

3

Mở đầu

Trong những năm gần đây, quá trình Markov được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán kinh tế, tin học, viễn thông, đặc biệt là các bài toán về điều khiển tổng đài … Quá trình Poisson là dạng đặc biệt của quá trình Markov với thời gian liên tục

Chúng em lựa chọn thực hiện đề tài: “Tìm hiểu về quá trình điểm Poisson và áp

dụng” nhằm mục đích nghiên cứu những vấn đề cơ bản trong quá trình ngẫu nhiên, đặc biệt

mô phỏng lại quá trình bằng công cụ Matlab, mở ra cơ sở để khảo sát các ứng dụng trong viễn thông cũng như trong đời sống sau này

Bài tập lớn về : Quá trình điểm Poisson khảo sát những vấn đề cơ bản sau:

 Chương 1: Giới thiệu chung

 Chương 2: Các tính chất quá trình Poisson

 Chương 3: Các đặc trưng của quá trình Poisson

 Chương 4: Quá trình Poisson có nhãn

 Chương 5: Bài tập

 Chương 6: Mô phỏng Matlab

Để hoàn thành bài tập lớn này, chúng em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới PGS.TS.Nguyễn Thị Hoàng Lan Giảng viên Viện Công nghệ thông tin và truyền thông đã hết lòng hướng dẫn,

tạo điều kiện thuận lợi, gợi { các phương pháp, các nguồn tài liệu đáng qu{ cho chúng em, giải đáp tận tình các thắc mắc của chúng em

Chúng em xin chân thành cảm ơn !

4

Nội dung

1 Giới thiệu chung

Quá trình điểm Poisson là mô hình cơ sở trong lí thuyết quá trình ngẫu nhiên và được

sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng trong không gian hoặc một chuỗi các biến cố xuất hiện theo thời gian

Ví dụ như: Xác suất suất hiện của các vì sao trong không gian nào đó trong đêm, hay thời gian chiếm dụng thiết của mỗi cuộc gọi đến tổng đài

Quá trình Poisson X(t) mô tả quá trình đếm số lần xuất hiện biến cố A nào đó cho đến

thời gian t , là cơ sở quan trọng để khảo sát quá trình sắp hàng

Quá trình Poisson được ứng dụng nhiều trong các bài toán truyền tín hiệu, các hệ phục

vụ, bài toán chuyển mạch…

1.1 Quá trình đếm

 Định nghĩa quá trình đếm:

Giả sử A là biến cố nào đó K{ hiệu N(t), t > 0 là số lần biến cố A xuất hiện trong khoảng thời gian từ 0 đến t Khi đó ,N(t),t>0 - được gọi là quá trình đếm

 Tính chất:

 N(0) = 0;

 N(t) chỉ nhận các giá trị là các số tự nhiên;

 N(s) < X(t), 0 ≤ s < t;

 N(s,t) = N(t) – N(s), 0<= s <=t, là số lần biến cố A xảy ra trong khoảng thời gian

( s , t ];

Ta gọi ,X(s, t+ , 0 ≤ s < t - là quá trình điểm với {X(t) ; t ≥ 0-

VD: A là biến cố có cuộc gọi đến một tổng đài nào đó Khi đó N(t) là số cuộc gọi đến

tổng đài tính đến thời điểm t

Quá trình đếm được gọi là quá trình có gia số độc lập nếu các biến cố xảy ra trong

các khoảng thời gian ngẫu nhiên

VD : Trung bình số các biến cố xảy ra trong thời gian tại t = 10 *hay N(10)+ độc lập với các

biến cố xảy ra trong khoảng thời gian từ 10 đến 15 [hay N(15) – N(10)]

Quá trình đếm được gọi là quá trình có gia số dừng nếu sự phân bố các biến cố xảy

ra trong trong các khoảng thời gian ngẫu nhiên chỉ chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian

xảy ra biến cố đó Nói cách khác,quá trình điếm có gia số dừng nếu sự phân bố các biến

cố xảy ra trong khoảng (s +t1 , s + t2 ) tức là ,N(s + t2) – N(s +t1)} chỉ phụ thuộc vào sự phân bố các biến cố trong khoảng (t1, t2 ) hay {N(t2) – N(t1)} với mọi t1 < t2 và s>0

5

1.2 Quá trình điểm poisson

 Đinh nghĩa quá trình điểm poison

Quá trình điểm poisson là một quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa theo sự xuất hiện các biến cố trong khoảng không gian hoặc thời gian

Một quá trình đếm N(t) là một quá trình điểm poisson với tỉ lệ λ nếu :

 N(0) =0,

 N(t) chỉ nhận các giá trị tự nhiên ;

 Là quá trình với số gia độc lập

 Số các biến cố xảy ra trong hai khoảng con không giao nhau là các BNN độc lập

 Xác suất của số biến cố trong một khoảng [t,t + τ+ nào đó được cho bởi công thức

𝑃 𝑁 𝑡 + 𝜏 − 𝑁 𝑡 = 𝑘 = 𝑒

−𝜆𝜏(𝜆𝜏)𝑘

𝑘! 𝑘 = 0, 1, …

trong đó số λ dương là một tham số cố định, được gọi là tham số tỉ lệ (rate

parameter) Có nghĩa là, biến ngẫu nhiên N(t + τ) − N(t) mô tả số lần xuất hiện

trong khoảng thời gian [t,t + τ+ tuân theo một phân bố Poisson với tham

số λτ;

Suy ra: Quá trình Poisson gia số dừng có kz vọng: E[N(t)] = λt

Thông thường, 1 quá trình điểm Poisson là một tập ngẫu nhiên đếm được của 1 không gian trạng thái S Sự phân bố của Φ có thể được mô tả bằng cách chỉ ra luật số điểm của Φ rơi vào “tập kiểm thử” Bi (Bi từ 1 “σ-field” (là 1 tập thỏa mãn các điều kiện cho trước) trong S)

Sự phân bố của Φ được xác định duy nhất bởi “sự phân bố hữu hạn chiều” (“finite-dimensional distributions”) của (N(B1), ,N(Bn)), với 𝑁 𝐵𝑖 ≔ 𝛷 ∩ 𝐵𝑖 là số điểm rơi vào tập Bi

1.3 Tính chắc chắn của phân phối poisson

Định nghĩa 3.1: Cho λ hữu hạn ( non-atomic) trong không gian (S,B) Tập con ngẫu nhiên

đếm được Φ của S được gọi là 1 quá trình điểm Poisson (đơn giản) trên S với tỉ lệ trung bình

λ nếu:

i) Các biến ngẫu nhiên N(B1), ,N (Bn) là độc lập với các tập con ngẫu nhiên độc lập với nhau B1,…Bn ∈ B

ii) Với mọi Bi ∈ B biến ngẫu nhiên N(Bi) có phân phối Poisson với trung bình λ(Bi) Nhắc lại rằng λ được gọi là không nguyên tử (non-atomic) nếu λ(,x-)=0 với mọi x∈S Tính chất này không phải là cơ sở cho việc định nghĩa quá trình điểm Poisson, nhưng nó bảo đảm rằng Φ không phải đa điểm

6

λ gọi là σ-hữu hạn nếu tồn tại 𝐵1 ⊂ 𝐵2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑆 mà 𝑖≥1𝐵𝑖 = 𝑆 và 𝜆(𝐵𝑖) < ∞ với mọi i

 Tính chắc chắn của phân phối poisson

Phân phối Poisson là chắc chắn nếu thỏa mãn đ/k i trong (Định nghĩa 3.1)

Giả sử ta chọn một cách ngẫu nhiên các điểm đưa vào một thành phần dy (hữu hạn)

Khi đó Xác suất để:

i 𝑃 𝑁 𝑑𝑦 = 1 = 𝐸𝑁 𝑑𝑦 = 𝜆 𝑑𝑦

ii Xác suất tránh được (hay ngăn cấm):

𝑃 𝑁 𝐵 = 0 = 1 − 𝜆 𝑑𝑦 = exp −𝜆 𝑑𝑦

𝑦 ∈𝐵

= exp − 𝜆 𝑑𝑦

𝐵

𝑦 ∈𝐵

= exp −𝜆 𝐵 Và:

𝑃 𝑁 𝐵 = 𝑘 = 1

𝑘! 𝜆 𝑑𝑦1 ⋯ 𝜆(𝑑𝑦2) 1 − 𝜆 𝑑𝑦

𝑦∈𝐵{𝑦 1,⋯,𝑦 𝑘}

𝑦 1 ,…,𝑦 𝑘 ∈𝐵

=𝜆(𝑘) 𝑘! exp −𝜆 𝐵 , 𝑘 ∈ 𝑁

Để quay lại chứng minh sự tồn tại của quá trình điểm Poisson và chứng minh điều kiện (ii) không mâu thuẫn với sự độc lập của điều kiện (i)

Ta để { rằng: Với 2 biến ngẫu nhiên độc lập B1 và B2:

𝑁 𝐵1∪ 𝐵2 = 𝑁 𝐵1 + 𝑁(𝐵2) = 𝜆(B1) + 𝜆(B2)

Hệ quả: Tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối Poisson phải là 1 phân

phối Poisson

Kết quả là nội dung của bổ đề sau đây

2 Các tính chất của quá trình poisson

Để có công cụ chứng minh cho một số tính chất sẽ trình bày dưới đây, bổ đề sau là cần thiết:

Bổ đề 1:

Gọi Xi với i > 1 là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình λi Khi đó ∞𝑖=1𝑋𝑖 có phân phối poisson với trung bình ∞ 𝜆𝑖

𝑖=1

Chứng minh:

Để chứng minh bổ đề trên ta tính hàm sinh moment của phân phối Poissons Hàm sinh moment của phân phối X: 𝑔 𝑡 = 𝐸 𝑒𝑡𝑋 = ∞𝑗 =1𝑒𝑡𝑥 𝑖𝑝(𝑥𝑖)

Hàm sinh moment của phân phối poisson được tính:

7

𝑔 𝑡 = 𝑒𝑡𝑗𝑒−𝜆𝜆𝑗

𝑗!

∞

𝑗 =1

= 𝑒−𝜆 (𝜆𝑒𝑡)𝑗

𝑗!

∞

𝑗 =1

= 𝑒−λ𝑒λet = 𝑒λ(et−1)

Gọi X là biến ngẫu nhiên có phân phối poisson, khi đó hàm sinh moment của x:

𝐸 𝑒𝑡 𝑛𝑖=1𝑋𝑖 = (𝐸𝑠𝑖)𝑋

∞

𝑗 =1

= 𝑒λi(et−1) 𝑛

𝑖=1

= 𝑒 𝑛𝑖=1λi(et−1)

Khi n→∞ ta có 𝐸 𝑒𝑡 ∞𝑖=1𝑋𝑖 = 𝑒 ∞𝑖=1λ i (et−1) Ta thấy khi đó ∞ 𝑋𝑖

𝑖=1 có phân phối poisson

2.1 Tính chất 2.1 (Construction)

Tính chất 2.1 :

N(t) là quá trình Poisson với tham số λ Gọi Ni(t), i=1, …, k là quá trình đếm các sự kiện loại i xảy ra ở thời điểm t, khi đó Ni(t) là quá trình poisson với tham số : 𝐸 𝑁𝑖(𝑡) = 𝜆 ∫ 𝑃0𝑡 𝑖(𝑠)𝑑𝑠

Ví dụ: Goi N(t) là số người nhập cư đến khu vực A cho đến thời điểm t N(t) có phân phối

poisson với trung bình là 10 trong một tuần Biết xác suất số người nhập cư có gốc Anh là 1/12 Gọi N1(t) và N2(t) lần lượt là hai quá trình đếm số người nhập cư có gốc Anh và không phải gốc Anh đến thời điểm t Khi đó N1(t) và N2(t) là quá trình poisson với tham số là

λ1 = 1

12× 4 × 10 =10

3 và λ1 =11

12× 4 × 10 =110

3

Chứng minh:

Xét xác suất đồng thời P(Ni(t) = ni i=1, …, k), với ni là số lần xảy ra sự kiện i, tổng số các sự kiện là n = 𝑘𝑖=1𝑛𝑖 Lại có Ni(t), i=1,…,k tạo thành nhóm đầy đủ nên:

𝑃 𝑁1 𝑡 = 𝑛1, … , 𝑁𝑘 𝑡 = 𝑛𝑘 = 𝑃 𝑁1 𝑡 = 𝑛1, … , 𝑁𝑘 𝑡 = 𝑛𝑘|𝑁 𝑡 = 𝑛 × 𝑃 𝑁 𝑡 = 𝑛

Mặt khác dễ thấy:

 𝑃 𝑁1 𝑡 = 𝑛1, … , 𝑁𝑘 𝑡 = 𝑛𝑘|𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑛 !

𝑛1! 𝑛𝑘!𝑃1𝑛1… 𝑃𝑘𝑛𝑘, với Pi là xác suất xảy

ra sự kiện loại i

 𝑃 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑒−𝜆𝑡 (𝜆𝑡 )𝑛

𝑛 ! = 𝑒−𝜆𝑡 𝑃𝑖 (𝜆𝑡 𝑃𝑖 ) 𝑛 𝑖

𝑛 !

𝑘 𝑖=1 (do 𝑘 𝑃𝑖

𝑖=1 = 1)

𝑃 𝑁1 𝑡 = 𝑛1, … , 𝑁𝑘 𝑡 = 𝑛𝑘 = 𝑛!

𝑛1! 𝑛𝑘!𝑃1

𝑛 1… 𝑃𝑘𝑛𝑘𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑛

𝑛! =

𝑒−𝜆𝑡 𝑃𝑖(𝜆𝑡𝑃𝑖)𝑛𝑖

𝑛𝑖!

𝑘

𝑖 =1

Vậy: 𝑃{𝑁𝑖 𝑡 } =𝑒−𝜆𝑡 𝑃 𝑖(𝜆𝑡 𝑃𝑖 ) 𝑛 𝑖

𝑛𝑖! , suy ra Ni(t) là quá trình poisson với tham số 𝜆𝑡𝑃𝑖

8

2.2 Tính chất 2.2 (Restriction)

Tính chất 2.2 :

Ni(t), i≥1 là các quá trình poisson độc lập với trung bình λi Gọi 𝜆 = ∞𝑖=1𝜆𝑖 khi đó

𝑁 𝑡 = ∞𝑖=1𝑁𝑖(𝑡) là một quá trình poisson với tham số λ

Chứng minh:

 Do Ni(t) là quá trình poisson ∀ i≥1, ta có Ni(t)=0 Mà 𝑁 𝑡 = ∞ 𝑁𝑖(𝑡)

𝑖=1 nên ta có :

𝑁 0 = ∞𝑖=1𝑁𝑖(0)= 0 (1)

 Lại có Ni(t) là các quá trình độc lập nên N(t) là quá trình độc lập (2)

 Ni(t) là quá trình poisson nên Ni(t+𝜏)-Ni(𝜏) có phân phối poisson với tham số λit ∀ i≥1, tức là : 𝑃 𝑁𝑖 𝑡 + 𝜏 − 𝑁𝑖 𝑡 = 𝑘 =𝑒−𝜆 𝑖𝜏(𝜆𝑖 𝜏)𝑘

𝑘 !

Dễ thấy 𝑃 𝑁 𝑡 + 𝜏 − 𝑁 𝑡 = 𝑘 = 𝑘𝑖=1𝑒−𝜆 𝑖𝜏𝑘 !(𝜆𝑖𝜏)𝑘 =𝑒−𝜆 𝜏(𝜆𝜏)𝑘

𝑘 ! Tức là N(t+𝜏)-N(𝜏) có phân phối poisson (3)

Từ (1)(2)(3) ⟹N(t) là một quá trình poisson với tham số λ

2.3 Định lý tồn tại và ánh xạ

Định lý tồn tại:

Định l{ tồn tại: Gọi λ là một giá trị đo được trên S Khi đó sẽ tồn tại một quá trình poisson N(t) trên S với tham số λ

Chứng minh:

Gọi 𝐵1 ⊂ 𝐵2⊂ ⋯ 𝑣ớ𝑖 𝜆 𝐵𝑗 < ∞ 𝑣ớ𝑖 𝐵𝑗 𝑙à 𝑠ự 𝑘𝑖ệ𝑛 𝑙𝑜ạ𝑖 𝑗 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎

Gọi 𝐵𝑗∗ = 𝐵𝑗\ 𝑗 −1𝑖=1𝐵𝑖, 𝑣ớ𝑖 𝑗 ≥ 1

Dễ thấy 𝑗𝑖=1𝐵𝑖 = 𝑗𝑖=1𝐵𝑖∗ với mọi j ≥ 1 Áp dụng tính chất 2.1 ta có thể xây dựng 𝑁𝑗∗(𝑡) là một quá trình poisson trên S với tham số 𝜆(𝐵𝑖∗) Theo tính chất 2.2 ta có:

𝑁∗(𝑡) = 𝑁𝑗∗(𝑡)

∞

𝑗 =1

Là một quá trình poisson với tham số:

𝜆∗ = 𝜆(𝐵𝑖∗)

∞

𝑗 =1

= 𝜆(𝐵𝑖)

∞

𝑗 =1

= 𝜆

Định lý ánh xạ:

9

Gọi N(t) là một quá trình điểm poisson trên S với trung bình λ Gọi f: S -> S’ là hàm’,’ ánh xạ λ

từ S sang S’ Khi đó gọi λf = f(λ) và f(N(t)) = ,f(x) : x ∈ N(t)-, khi đó f(N(t)) là quá trình điểm poisson trên S’ với trung bình λ

3 Các đặc trưng cơ bản của quá trình Poisson

Xét quá trình các giá trị ngẫu nhiên 𝑥∈𝛷𝑓(𝑥) với Ф là quá trình điểm Poisson trên S và 𝑓: 𝑆 → 𝑅 là 1 hàm đo được nào đó Vì nó là một quá trình ngẫu nhiên lên chúng cũng có các đặc chưng cơ bản: hội tụ tuyệt đối, kì vọng và phương sai

Ý tưởng cơ bản là đầu tiên ta tìm 1 hàm đơn giản 𝑓 = 𝑛 𝛽𝑖𝑙𝐵𝑖

𝑖 =1 với 𝛽𝑖 không âm và các tập đo được 𝐵𝑖 không tương quan, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, và sau đó áp dụng những kĩ thuật chuẩn hóa trong lí thuyết tích phân để mở rộng kết quả với các hàm 𝑓 chung Chú y, ở đây 𝑙𝐵𝑖là xác suất xảy ra sự kiện loại Bi

Cho Ф là 1 quá trình điểm Poisson trên S với độ đo trung bình λ và cho f: S→R là 1 hàm

đo được, ta xét các đặc trưng sau:

3.1 Hội tụ tuyệt đối

Nếu f ≥ 0, ta có:

𝐸𝑒𝑥𝑝 − 𝑓(𝑥)

𝑥∈𝛷

= 𝑒𝑥𝑝 − 1 − 𝑒−𝑓 𝑧 λ(dz)

𝑆

Và:

𝑃 𝑓 𝑥 < ∞

𝑥∈𝛷

= 1 𝑛ế𝑢 min 1, 𝑓 𝑧 λ dz < ∞𝑆

0 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖

3.2 Kỳ vọng và phương sai

Nếu f ≥ 0 hoặc ∫ 𝑓(𝑧) 𝑆 𝜆 𝑑𝑧 < ∞ thì kz vọng được tính như sau:

𝐸 𝑓(𝑥)

𝑥𝜖Φ

= 𝑓(𝑧)

𝑆

𝜆 𝑑𝑧

Chứng minh:

Trước tiên xét 𝑓 = 𝑛𝑖=1𝛽𝑖𝑙𝐵𝑖 với 𝛽 𝑖 ≥ 0 và 𝐵𝑖∩ 𝐵𝑗 = ∅ 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑖 ≠ 𝑗 Khi đó :

10

𝑓(𝑥)

𝑥𝜖Φ

= 𝛽𝑖𝑙𝐵𝑖(𝑥)

𝑛

𝑖=1 𝑥𝜖Φ

= 𝛽𝑖 𝑙𝐵𝑖(𝑥)

𝑥𝜖Φ

𝑛 𝑖=1

= 𝛽𝑖𝑁(𝐵𝑖)

𝑛 𝑖=1

Khi đó:

𝐸 𝑓(𝑥)

𝑥𝜖 Φ

= 𝐸 𝛽𝑖𝑁(𝐵𝑖)

𝑛

𝑖=1

= 𝛽𝑖𝜆(𝐵𝑖) 𝑛

𝑖=1

= 𝛽𝑖𝑙𝐵𝑖 𝑧 𝜆 𝑑𝑧

𝑛

𝑖=1 𝑆

= 𝑓(𝑧) 𝑆

𝜆 𝑑𝑧

⟹đpcm

Nếu∫ 𝑓(𝑧) 𝑆 𝜆 𝑑𝑧 < ∞ thì phương sai được tính như sau:

𝑉𝑎𝑟 𝑓(𝑥)

𝑥𝜖 Φ

= 𝑓 2 (𝑧) 𝑆

𝜆 𝑑𝑧

Chứng minh:

𝑉𝑎𝑟 𝑓(𝑥)

𝑥𝜖 Φ

= 𝑉𝑎𝑟 𝛽𝑖𝑙𝐵𝑖

𝑛

𝑖=1

(𝑥) = 𝑉𝑎𝑟 𝛽𝑖𝑁 𝐵𝑖 = 𝛽𝑖2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝜆 𝐵𝑖 = 𝑓 2 (𝑧)

𝑆

𝜆 𝑑𝑧

3.3 Hàm Laplace

Ta sử dụng biến đổi Laplace để chứng minh quá trình Poisson gia số dừng có kz vọng:

𝐸[𝑁(𝑡)] = 𝜆𝑡

Đặt pn(t) = P {N(t) = n}, n = 0,1,2…

Ta có :

𝑝𝑛 𝑡 + 𝑕 = 𝑃 {𝑁(𝑡 + 𝑕) = 𝑛} =

𝑃 𝑁 𝑕 = 0, 𝑁 𝑡 + 𝑕 − 𝑁 𝑕 = 𝑛 + 𝑃 𝑁 𝑕 = 1, 𝑁 𝑡 + 𝑕 − 𝑁 𝑕 = 𝑛 − 1

+ 𝑃 𝑁 𝑕 = 𝑘, 𝑁 𝑡 + 𝑕 − 𝑁 𝑕 = 𝑛 − 𝑘

𝑘 ≥2

= 𝑝0 𝑕 𝑝𝑛 𝑡 + 𝑝1 𝑕 𝑝𝑛−1 𝑡 + 𝑘 ≥2𝑝𝑛 −𝑘𝑜(𝑕)

Từ tính chắc chắn của phân phối Poisson ta có :

𝑝0 𝑕 = 1 − 𝜆𝑕

𝑝1 𝑕 = 𝜆𝑕

Suy ra :

𝑝𝑛 𝑡 + 𝑕 = 1 − 𝜆𝑕 𝑝𝑛 𝑡 + 𝜆𝑕𝑝𝑛 −1 𝑡 + 𝑜 𝑕

= 𝑝𝑛 𝑡 + 𝜆𝑕 𝑝𝑛 𝑡 + 𝜆𝑕𝑝𝑛 −1 𝑡 + 𝑜 𝑕

⟹ limh→0𝑝𝑛 𝑡+𝑕 −𝑝 𝑛 𝑡

𝑕 = 𝑝𝑛′ 𝑡 = −𝜆𝑝𝑛 𝑡 + 𝜆𝑝𝑛 −1 𝑡 Đặt biến đổi Laplace của 𝑝𝑛 𝑡 là 𝑃𝑛 𝑠 = 𝐿{𝑝𝑛 𝑡 }

11

⟹ 𝐿 𝑝′𝑛 𝑡 = 𝑠𝑃𝑛 𝑠 = −𝜆𝑃𝑛 𝑠 + 𝜆𝑃𝑛−1 𝑠 ⟹ 𝑃𝑛 𝑠 = 𝜆

𝜆 + 𝑠𝑃𝑛 −1 𝑠

⟹ 𝑃𝑛 𝑠 = 𝜆

𝜆 + 𝑠

𝑛

𝑃0 𝑠 = 𝜆

𝑛

(𝜆 + 𝑠)𝑛+1

⟹ 𝑃𝑛 𝑡 = 𝐿−1 𝜆𝑛

(𝜆 + 𝑠)𝑛 +1 = 𝜆

𝑛

𝑛!𝑡

𝑛𝑒−𝜆𝑡

Vậy N(t) có phân phối Poisson P(𝜆𝑡) hay E[N(t)] = λt (đpcm)

4 Quá trình điểm Poisson có nhãn (Labelled Poisson Point Process)

4.1 Định nghĩa

Cho 𝛷 = {𝑋𝑖 ∶ 𝑖 ∈ 𝐼} là quá trình điểm Poisson Gắn mỗi điểm 𝑋𝑖 với 1 nhãn 𝐿𝑖 mà phân phối có thể phụ thuộc vào 𝑋𝑖, nhưng độc lập với 𝑋𝑗, 𝐿𝑗 , 𝑗 ≠ 𝑖

Khi đó 𝛹 ≔ 𝑋𝑖, 𝐿𝑖 ∶ 𝑖 ∈ 𝐼 cũng là 1 quá trình điểm Poisson

Định lí 4.1 :

Cho 𝛷 là 1 quá trình điểm Poisson trên S với độ đo trung bình 𝜆 Cho 𝛷 = {𝑥𝑖: 𝑖 ∈ 𝐼} với

𝐿𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼 là độc lập với phân phối 𝑃(𝑥𝑖, ∙) Khi đó

𝛹 ≔ 𝑋𝑖, 𝐿𝑖 ∶ 𝑖 ∈ 𝐼

là 1 quá trình điểm Poisson trên 𝑆 × 𝑆′ với độ đo trung bình

𝜆𝑃 𝑑𝑥𝑑𝑙 ≔ 𝜆 𝑑𝑥 𝑃 𝑥, 𝑑𝑙

Chứng minh:

Bằng định lí chồng, chỉ cần xét đến trường hợp 𝜆(𝑆) < ∞ Ta sử dụng xây dựng của

𝛷 trong định lí 3.3

𝛷 = {𝑋𝑖: 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}

với N là biến ngẫu nhiên phân phối Poisson(𝜆) và 𝑋𝑖 là độc lập và phân phối đồng nhất với phân phối 𝜆/𝜆(𝑆) độc lập với N

Ta có nếu X có phân phối 𝜆/𝜆(𝑆) và phân phối có điều kiện L với {𝑋 = 𝑥} là 𝑃(𝑥, ∙) thì cặp (X,L) có phân phối 𝜆𝑃/𝜆(𝑆)

Vì vậy

𝛹 = { 𝑋𝑖, 𝐿𝑖 ∶ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}

12

với N là phân phối Poisson với trung bình

𝜆 𝑆 = 𝜆 𝑑𝑥 𝑃 𝑥, 𝑆′ = 𝜆(𝑑𝑥) 𝑃 𝑥, 𝑑𝑙 = 𝜆𝑃(𝑆 × 𝑆′)

𝑆′

𝑆 𝑆

và (𝑋𝑖,𝐿𝑖), 𝑖 ≥ 1 là độc lập và phân phối đồng nhất với phân phối

𝜆 𝜆(𝑆)𝑃 =

𝜆𝑃 𝜆𝑃(𝑆 × 𝑆′)

4.2 Tính chất

4.2.1 Nếu 𝜆𝑃(𝑆 × ∙) là 1 độ đo hữu hạn & không nguyên tử trên S’, khi đó tập các

nhãn 𝐿𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼 tạo thành 1 quá trình điểm Poisson trên S’ với độ đo trung bình 𝜆𝑃(𝑆 × ∙)

4.2.2 Với các tập con không tương quan đo được 𝐵𝑗′ ⊂ 𝑆′, với các tập điểm với nhãn

trong 𝐵𝑗′,

𝛹𝐵

𝑗′ = 𝛹 ∩ 𝑆 × 𝐵𝑗′, 𝑗 ≥ 1

là các quá trình điểm Poisson độc lập với độ đo trung bình 𝜆𝑃(∙ × 𝐵𝑗′)

Chứng minh:

 4.2.1:

Sử dụng định lí ánh xạ với hàm 𝑓 biến 𝑋𝑖 thành 𝐿𝑖

Khi đó 𝛷′ = {𝐿𝑖: 𝑖 ∈ 𝐼} là 1 quá trình điểm Poisson trên S’ với độ đo trung bình 𝜆𝑓

Sử dụng định lí 4.1 ta có độ đo trung bình 𝜆𝑓 = 𝜆𝑃(𝑆 × ∙)

 4.2.2:

Sử dụng định lí 4.1 ta có các điểm có nhãn tạo thành 1 quá trình điểm Poisson

Áp dụng định lí giới hạn với 1 tập ngẫu nhiên đếm được 𝐵𝑗′ ⊂ 𝑆′, thì 𝐵𝑗′cũng là 1 quá trình điểm Poisson với độ đo trung bình

𝜆𝐵

𝑗′ = 𝜆 𝐵𝑗′∩ ∙ = 𝜆𝑃(∙ × 𝐵𝑗′) Một trong những trường hợp cụ thể của những tính chất này được nhắc đến trong định lí tô màu:

Cho 𝛷 là 1 quá trình điểm Poisson trên S với độ đo trung bình 𝜆 Tô màu các điểm của

𝛷 độc lập (với nhau và với vị trí của chúng) với k màu khác nhau Với mỗi j cho 𝛷𝑗 là tập các điểm màu j Khi đó 𝛷𝑗 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 là các quá trình điểm Poisson độc lập trên

S với cường độ đo 𝜆𝑗 = 𝑝𝑗𝜆 với p j là xác suất điểm đó được tô màu j

Ta có thể thấy định lí tô màu là trường hợp của quá trình điểm Poisson có nhãn khi có 1 tập điểm được gắn cùng 1 nhãn (tô cùng 1 màu)