DINH LY LAGRANGE VA UNG DUNG

Tại các ñiểm Langrange L4 và L5 của hệ Sao Mộc – Mặt Trời, người ta ñã phát hiện ra nhiều tiểun hành tinh và ñược gọi là các hành tinh thành Troy (Các tiểu hành tinh này ñược [r]

SƠ LƯỢC VỀ LAGRANGE

Joseph-Louis Lagrange sinh ra tại Turin, tây bắc Italia trong một gia đình gốc Pháp (tên khai sinh của ơng viết theo tiếng Ý là Giuseppe Lodovico Lagrangia) Khi cịn là thiếu niên, Lagrange khơng để ý nhiều đến tốn học mà cĩ ý định theo học để trở thành một luật sư Tuy nhiên, ơng đã bị ảnh hưởng mạnh sau khi đọc một cuốn sách cuả Halley về việc áp dụng đại số trong quang học và quyết định trở thành một nhà tốn học Ơng chủ yếu tự học tốn và sau đĩ trở thành giáo viên giảng dạy trong một trường quân sự Năm 1766, nhận lời mời cuả Leonhard Euleur, ơng đến làm việc tại viện Hàn lâm Khoa học Phổ, Berlin Năm 1787, ơng chuyển từ Berlin đến Pháp và được bầu làm thành viên của viện Hàn Lâm Pháp Năm

1808, ơng được Napoleon phong bá tước Sau khi mất, ơng được chơn cất trong điện Pathéon, nơi yên nghỉ cuả những người đã làm rạng danh cho nước Pháp Vì những lý do trên, Lagrange thường được coi

là cĩ 2 quốc tịch: Pháp và Italia

Ả nh: Joseph-Louis Lagrange (25/01/1736 – 10/04/1813)

Những cơng trình tốn học của Langrange cĩ ảnh hưởng rất nhiều đến lĩnh vực cơ học thiên thể Ơng đã dùng tốn học chứng minh tính bền vững của hệ Mặt Trời, chỉ ra các điểm Lagrange (Lagrangian Points) Giả sử ta cĩ 2 vật khối lượng lớn, và một vật khối lượng nhỏ hơn hẳn hai vật đĩ, trong khơng gian sẽ tồn tại 5 điểm mà ở đĩ vật khối lượng nhỏ sẽ luơn duy trì vị trí tương đối so với 2 vật khối lượng lớn

Một trong những ví dụ minh họa nổi tiếng nhất về điểm Lagrange đĩ là vị trí tương đối của Sao Mộc, Mặt Trời và tiểu hành tinh Asin Quỹ đạo của Asin gần giống với quỹ đạo của Sao Mộc, tuy vậy, nĩ chẳng bao giờ đụng độ với Sao Mộc, bởi vì nĩ cách xa vị trí của Sao Mộc trên quỹ đạo hơn 650 triệu km,

và nĩ luơn chuyển động với vận tốc bằng tốc độ của Sao Mộc cho nên nĩ cứ nằm cách Sao Mộc 650 triệu

km

Nếu ta vẽ một đường xuất phát từ Mặt Trời tới Sao Mộc rồi kéo tới tiểu hành tinh Asin và quay trở lại Mặt Trời, thì sẽ được một tam giác đều Lagrange đã chứng minh rằng một vị trí như vậy sẽ bền vững, cho nên những thiên thể cứ ở mãi các đỉnh của một tam giác đều tuy chúng vẫn chuyển động [3, trang 156] Tại các điểm Langrange L4 và L5 của hệ Sao Mộc – Mặt Trời, người ta đã phát hiện ra nhiều tiểun hành tinh và được gọi là các hành tinh thành Troy (Các tiểu hành tinh này được đặt tên theo các nhân vật trong trận chiến thành Troy như: Asin, Ajax, Hector, Priams, )

CHUYấN ðỀ

ẹềNH LÍ LAGRANGE VAỉ ệÙNG DUẽNG

A – GIễÙI THIEÄU

ðịnh lớ Lagrange: Cho hàm số f(x) liờn tục trờn [a,b] và cú ủạo hàm trong khoảng (a,b) thỡ

luụn tồn tại c∈( )a b, sao cho:

( ) ( ) ( )

f c

b a

ư

=

ư

í nghĩa hỡnh học của ủịnh lớ Lagrange:

Nếu có đủ các điều kiện của định lý Lagrange thì trên đường cong y= f x( ) phải tồn tại ít nhất một điểm M c f c( ; ( ) ) sao cho tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó song song với dây cung AB ở đó A a f a( ; ( ) ); B b f b( ; ( ) )

Tuy nhiên, định lý Lagrange mới chỉ được dùng trong chứng minh hệ quả sau:

Hệ quả:

Nếu f '( )x =0với mọi điểmx∈( )a b, thì f x( )=k (k=const) tại mọi x thuộc khoảng đó Những ứng dụng khác của định lý Lagrange trong giải phương trình, trong chứng minh bất

đẳng thức cũng như trong xét cực trị của hàm số được nêu rất hạn chế và mờ nhạt Để giúp học sinh học tốt phần chương trình đại số và giải tích liên quan đến Định lý Lagrange, chúng tôi viết bài này nhằm cung cấp cho học sinh một hệ thống bài tập, thông qua đó học sinh thấy rõ hơn các ứng dụng rất phong phú và tinh tế của định lý Lagrange, đặc biệt là biết cách vận dụng định lý trong giải các dạng bài tập phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức và dãy số, kể cả những bài toán khó trong các kỳ thi học sinh giỏi

Chỳng ta sẽ ủi tỡm hiểu 3 bài toỏn sử dụng ủịnh lớ Lagrange trong chương trỡnh THPT như sau:

II Sử dụng ủịnh lớ Lagrange chứng minh phương trỡnh cú nghiệm

III Sử dụng ủịnh lớ Lagrange giải phương trỡnh

B – NỘI DUNG

I SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

+ Từ định lí Lagrange, nếu m≥ f '( )c ≥M thì:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b a

−

−

+ Vậy từ định lí Lagrange để áp dụng được kết quả trên, điều quan trọng nhất là xác định được hàm số f x( )

● Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu 0

2

tgb tga

Lời giải:

Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 12 12

tgb tga

−

−

Xét hàm số: f x( )=tgx liên tục trên [ ], 0,

2

a b  π

  và cĩ đạo hàm trong khoảng

( ), 0,

2

a b  π 

  Theo định lí Lagrange luơn tồn tại c∈( )a b, sao cho:

( ) ( ) ( ) 2

1 '

cos

f c

− − (1)

π

Vậy từ (1) và (2) ta cĩ 12 12

tgb tga

−

−

Nhận xét: ðiều quan trọng hơn cả trong bài tốn này là chúng ta nhận ra được hàm số

( )

f x qua việc biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho Ta xét ví dụ 2

1

1

+

+

    với x>0

Lời giải:

Bất đẳng thức đã cho tương đương với: ( ) 1 1

1

+  + + >  + 

x

 

 

x

Áp dụng định lí Lagrange đối với hàm số: y=lnt trên [x x, +1] thì tồn tại c∈(x x, +1) sao cho: ln( 1 - ln) 1 1 ( ) 1

ln 1 - ln

+

+ + + Từ (1) suy ra: f '( )x >0 Suy ra:

( ) ( ) ( ) 1 1

1

+

Nhận xét: Bài này khó hơn bài trên ở chỗ phải tinh ý lấy logaNepe hai vế mới nhận ra

ñựơc hàm số f (x) Ta xét ví dụ 3

1

x

+

 

<  <

+   với x>0

Lời giải:

Xét hàm số f t( )=lnt liên tục trên [x x, +1] và có ( ) 1

'

f t

t

= trên (x x, +1 ) Theo ñịnh lí Lagrange luôn tồn tại c∈(x x, +1 ) sao cho:

( ) ( ) ( ) 1 ln( 1) ln '

1

f c

Suy ra: ln(x 1) lnx (x 1) x ln x 1 1

1

< < < + ⇒ < <

Vậy từ (1) và (2) ta có 1 ln 1 1

1

x

+

 

<  <

Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu 0< <a b thì b a ln b b a

<  <

 

Lời giải:

Xét hàm số f x( )=lnx liên tục trên [ ]a b và có ; ( ) 1

'

f x

x

= trên ( )a b , Theo ñịnh lí Lagrange luôn tồn tại c∈( ; )a b sao cho

( ) ( ) ( ) 1 ln ln

f c

Suy ra: lnb lna b a ln b b a

Mặt khác 0 a b 1 1 1 b a b a b a

Vậy từ (1) và (2) ta có b a ln b b a

<  <

 

Ví dụ 5 Cho a< <b c Chứng minh rằng:

3a< + + −a b c a2+ + −b2 c2 ab bc ca− − < + + +a b c a2+ + −b2 c2 ab bc ca− − <3c

Lời giải:

Xét hàm số: f x( ) (= −x a)(x b− )(x c− ) ⇒ f a( )= f b( )= f c( )=0

Theo ñịnh lí Lagrange tồn tại: a< < <x b x <c sao cho:

f '( )x1 f b( ) ( ) ( ) ( ) ( )f a ; 'f x2 f c f b 'f ( )x1 f '( )x2 0

f x = x − x a b c+ + +ab bc+ +ca

Từ (1)

2 2 2 1

3

⇒ =

2 2 2 2

3

⇒ =

Do ñó, từ a< < <x1 b x2<c Suy ra

3a< + + −a b c a2+ + −b2 c2 ab bc ca− − < + + +a b c a2+ + −b2 c2 ab bc ca− − <3c

Ví dụ 6. Chứng minh rằng với mọi a, b thì sinb−sina ≤ −b a

Lời giải:

Dễ thấy với a=b ta có ñẳng thức xảy ra

Giả sử a<b Xét hàm số ( )f x =sinx trên liên tục trên [ ]a b và có ñạo hàm trên ; ( )a b , Theo ñịnh lí Lagrange luôn tồn tại c∈( ; )a b sao cho

( ) ( ) ( ) sin sin

Suy ra sinb−sina = −b a cosc ≤ −b a

Vậy sinb−sina ≤ −b a với mọi a, b

Ví dụ 7. Cho hàm: f x( )=cosa x1 +cosa x2 ; ∀ ∈x R , (a a1, 2∈R) (, a1, a2≠0 )

Gọi m a( 1, a2)=min f x( ) Chứng minh rằng m a( 1, a2)<0 ; ∀a1, a2∈ℝ và a1, a2≠0

Lời giải:

1 2

sin sin

,

Có thể giả thiết 0< ≤a1 a2 ( do hàm cos là hàm chẵn )

Nếu a1=a2 thì f x( )=2 cosa x1

1 ( 1 2)

Xét 0< <a1 a2 có g( )0 =0

1 1 2 1 1 2 1 2 2 1

g

 

 

 

Theo Lagrange, ta có

1

3

0 ,

a

π

∃ ∈ 

sao cho

( )

( ) ( ) ( ) 1

1 2 1

3

0 2

3 2

a

a

π

π

 

−

 

 

 

sine cos e−1 −sin e−1 cos e > cos e− −1 cose

Lời giải:

Vì π >e và 1 1, 71828

2

e− ≈ >π

sin 0; sin 1 0 cos 0; cos 1 0







Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với:

3 3

sin sin( 1)

1 cos cos ( 1)

−

−

ðặt: ( )

cos

sin

3

x

x x

TXð:

2

x≠ +π kπ

Ta có f x liên tục trên [( ) 1; ] ,

2

e e π π

 

Áp dụng ñịnh lý Lgrange ta có tồn tại c∈ −[e 1; ] e sao cho

1

1

− −

Mặt khác

sin ' cos cos '.sin 2 cos 1 '

f x

Áp dụng bất ñẳng thức Cauchy ta có: 2 2 2 3 4

2 cos x+ =1 cos x+cos x+ ≥1 3 cos x>0 Suy ra ( ) 2 cos3 2 4 1

3 cos

x

x

+

Dấu ''=''không xảy ra với x∈ −[e 1; ] e

Do ñó f’( )c >1 suy ra ( ) ( ) ( ) 3sin 3sin( 1)

cos cos ( 1)

−

Ví dụ 9 Bất phương trình sin(x+1) 3cosx−sin cosx 3 (x+1 ) < cos cos3 x (x+1) Cĩ

nghiệm x=5( )rad hay khơng? Tại sao?

Lời giải:

Ta xét [ ] 3

2

 , khi đĩ bất phương trình

3

1 cos cos 1

x x

+

+

Xét hàm

3 cos

sin )

(

t

t t

2

Ta cĩ f x liên tục trên ( ) [ ] 3

2

Áp dụng định lý Lgrange ta cĩ tồn tại c∈[ ;x x+1] sao cho

+ −

+ −

Mặt khác

sin ' cos cos '.sin 2 cos 1 '

f t

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ: 2 cos2t+ =1 cos2t+cos2t+ ≥1 3 cos3 4t>0

Suy ra ( ) 2 cos3 2 4 1

3 cos

t

t

+

Do đĩ f '( )c >1 suy ra ( ) ( ) ( ) ( )

3

cos cos 1

x x

+

Vậy x=5( )rad khơng là nghiệm của bất phương trình đã cho vì 5 3 ; 2

2π π

Bài tập: Chứng minh rằng nếu x> >y 0 thì

II SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

● Phương pháp:

+ Từ định lí Lagrange, nếu f a( )= f b( )=0 thì tồn tại x∈( )a b, sao cho

( ) ( ) ( )

f x

b a

−

− phương trình F x( )= f '( )x =0 cĩ nghiệm thuộc ( )a b , + ðể áp dụng được định lí Lagrange phải nhận ra hàm số f x (thực ra nĩ là nguyên hàm ( )

của hàm số F x( ))

+ Dạng bài toán này làm theo các bước sau:

Bước 1: Xác ñịnh hàm số f x liên tục trên [a,b] và có ñạo hàm trên (a,b), thoả mãn: ( )

a) f '( )x =F x( ) b) f b( ) ( )−f a =0

Bước 2: Khi ñó tồn tại x0∈( )a b, sao cho: f '( )x0 f b( ) ( )f a 0 F x( )0 0

b a

−

Suy ra phương trình F x( )=0 có nghiệm x0∈( )a b,

● Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình: cosa x b+ cos 2x+ccos 3x=0 có nghiệm ∀a b c, ,

Lời giải:

Xét hàm số: ( ) sin sin 2 sin 3

Dễ dàng nhận thấy:

( ) ' cos cos 2 cos 3

( ) ( )0 0

Khi ñó tồn tại x0∈( )0,π sao cho:

( )0 ( ) ( ) 0 0 0

0

0

π

−

−

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm thuộc khoảng ( )0,π

Ví dụ 2 Chứng minh rằng phương trình: acos 3x b+ cos 2x c+ cosx+sinx=0 lu«n lu«n cã

nghiÖm trong kho¶ng (0, 2π)

Lời giải:

Xét hàm số: ( ) sin 3 sin 2

sin cos

Dễ dàng nhận thấy:

( )

' cos 3 cos 2 cos sin

( ) ( )2 0 0

Khi ñó tồn tại x ∈(0, 2π) sao cho:

( )0 ( ) ( ) 0 0 0 0

π

−

−

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm thuộc khoảng (0, 2π)

3 2

c

+ + = Chứng minh rằng phương trình ax2+ + =bx c 0 có nghiệm thuộc khoảng ( )0,1

Lời giải:

Xét hàm số: ( ) 3 2

f x = x + x +cx liên tục trên ñoạn [ ]0,1 và có ñạo hàm ( )0,1

Ta có ( ) 2

'

f x =ax + +bx c

( ) ( )1 0 0

3 2

Khi ñó tồn tại x0∈( )0,1 sao cho: ( ) ( ) ( ) 2

1 0

−

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm thụôc khoảng ( )0,1

3 2

c

+ + = Chứng minh rằng phương trình a22x +b2x+ =c 0 có nghiệm

thuộc khoảng ( )0,1

Lời giải:

ðặt t=2x>0 Xét hàm số ( ) 3 2

f t = t + t +ct khả vi liên tục trên (0,+∞) và có ñạo hàm ( )0,1

Ta có ( ) 2

'

f t =at + +bt c

( ) ( )1 0 0

3 2

Khi ñó tồn tại k∈( )0,1 sao cho: ( ) ( ) ( )1 0 2

1 0

−

Do ñó x=log2k là nghiệm của phương trình ñã cho

+ + Chứng minh rằng phương trình

2

0

ax + + =bx c có nghiệm thuộc khoảng ( )0,1

Lời giải:

Xét hàm số ( ) 2 1

Nhận thấy, f x liên tục trên ( ) [ ]0,1 và có ñạo hàm trong khoảng ( )0,1

Ta có:

( ) 1 1 1( 2 )

f x =ax + +bx +cx − =x − ax + +bx c

( ) ( )1 0 0

Khi ñó tồn tại x0∈( )0,1 sao cho: ( ) ( ) ( ) 0 ( )

1 2

1 0

m

−

V ì x0∈( )0,1 n ên ta c ó 0 ( )

0 0 0 0 0 0

m

x − ax +bx + = ⇔c ax +bx + =c Vậy phương trình ñã cho có nghiệm thuộc khoảng ( )0,1

2008 2007 2006

+ + = Chứng minh rằng phương trình

2

a x b+ x+ =c có nghiệm thuộc khoảng ( )0,1 HD: ðặt t=lgx

Ví dụ 6 Chứng tỏ rằng phương trình 4x3+3x2+2x− =3 0 có nghiệm trong khoảng ( )0,1

Lời giải:

Xét hàm số ( ) 4 3 2

3

f x =x + + −x x x liên tục trên [ ]0,1 và có ñạo hàm trên ( )0,1

Ta có

f x = x + x + x−

( ) ( )1 0 0

Khi ñó tồn tại x0∈( )0,1 sao cho: ( ) ( ) ( ) 3 2

0

1 0

−

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm thuộc khoảng ( )0,1

Ví dụ 7. Cho hàm số

( )2

1 )

(

+

=

x

e x f

x

Xét dãy { }u n xác ñịnh bởi

( )

0 1, n 1 n ,

u = u+ = f u ∀ ∈n ℤ + Chứng minh rằng: ∃ ∈k ( )0,1 sao cho u n 1 α k u n α , n +

Lời giải:

Ta có: ( ) ( )

2

 

+ + giảm trên ñoạn  ,1

2 1

Mà ( ) ( ) 1

' 1 0 ' 0, ,1

2

 

Suy ra 1,1

2

  ta cĩ 2 ( ) (1)

1

f x f











( )

1

e

f x

Cĩ 1 1,1

2

o

 

Giả sử 1,1

2

u k

 

  khi đĩ 1 ( )

1 ,1 2

 

Vậy 1,1 ,

2

2

4

2 3

1

x

x

+

2

4

2 3

1

x

x

+ nên f ' x( ) tăng trên 2:1

1

⇒  ≤ ≤ ∀ ∈ 

( )

e

 

Lập tỷ số n 1 ( ) ( )n

u

α

α

− − ( do f( )α =α ) Theo ddinnhj lý Lagrange thì tồn tại c nằm giữa u và n α sao cho

Hiển nhiên 1 ;1

2

  nên suy ra

1 4

1, 27

n n

u

α α

−

Vậy u n−α k≥ u n+1−α , ∀ ∈n ℕ ở đĩ 0 4 1

27

e k

< = <

Bài tập: Chứng minh rằng phương trình

a π x a  π x a nπ x

III SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

● Phương pháp:

ðể áp dụng ñịnh lí Lagrange vào việc giải phương trình ta thực hiện theo các bước sau ñây:

Bước 1: Gọi x là nghiệm của phương trình 0

Bước 2: Biến ñổi phương trình về dạng thích hợp f a( )= f b( ), từ ñó chỉ ra hàm số

( )

f t iên tục trên [ ]a b, và có ñạo hàm trên khoảng ( )a b Khi ñó theo ñịnh lí ,

Lagrange tồn tại c∈( )a b, sao cho: f '( )c f b( ) ( )f a

b a

−

=

Bước 3: Giải (*), ta xác ñịnh ñược x 0

Bước 4: Thử lại

● Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Giải phương trình: 2009x+2011x =2.2010x

Lời giải:

Gọi x0 là một nghiệm của phương trình ñã cho Ta ñược

( )

2009x +2011x =2.2010 x ⇔ 2011x −2010x =2010x −2009 *x

Xét hàm số ( ) ( )0 0

1 x x

f t = +t −t Khi ñó (*)⇔ f (2010)= f(2009)

Vì f t liên tục trên ( ) [2009, 2010 và có ñạo hàm trong khoảng ] (2009, 2010 , do ñó ) theo ñịnh lí Lagrange tồn tại c∈(2009, 2010) sao cho

( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 1 0

0

0

0

2010 2009

1

2010 2009

x

Thử lại x0 =0, x0 =1 thấy ñúng Vậy nghiệm của phương trình là x0=0, x0 =1

3 x −2 x =cos x ⇔ 3 x−2 x =3cosx−2co

2) log 3 log 3

4 x +2 x =2x ðặt u=log3x ⇒ x=3u Phương trình ⇔ 4u+2u =2.3u

3) log 5 3 log 4 3 log 3 log 3 log 3

2.3 , 0 3 x 5 x 2 x

4) log 3 ( 2 1 )

2 x+ = +x 1

1 cos+ x 2 4+ sx =3.4 sx

6) 3x2−2x+5x2−2x=22x2− +4x1

7) x2− + +x 4 3x2− +x 1=5

Ví dụ 2 Giả sử

2

4

1 1

1 2

1

n

k

S

k

=

1 3

1

n

k

S

k

=

=∑ Với những n nguyên dương nào, ta cóS1<S2?

Lời giải:

● Xét hàm f x( )=x12 (x≥1)

Theo ñịnh lý Lagrange trên ñoạn [ , n n+1] ta có

f n+ − f n =f c = c− < n−

Suy ra 1 ( )1 1

2 2 1 2 2

  Cho n chạy từ 1, 2 … ñến

2

4n rồi cộng lại ta ñược

1 4 2

S > n−

● Xét hàm f x( )=x23 (x≥1)

Theo ñịnh lý Lagrange trên ñoạn [ , n n+1] ta có

f n+ −f n =f c = c− > n+ −

Suy ra ( ) 1 ( )2 2

3

2 n 1 − 3 n 1 n 

  Cho n chạy từ 0, 1 … ñến (n−1) rồi cộng lại ta ñược

2 3 2

2S <3n <3n<8n−4

Tóm lại: 2S2 <2 , S1 ∀n Vậy không tồn tại n thỏa mãn bài toán

- HẾT -