Bài tập lớn cơ kết cấu 2 đề 3

c Xác định các hệ số và số hạng tư do của phương trình chính tắc, kiểm tra các kết quả tính toán.. d Giải hệ phương trình chính tắc.. e Vẽ biểu đồ mômen trên hệ siêu tĩnh đã cho do tải t

Trường đại học Mỏ Địa Chất

Bộ môn Sức bền vật liệu

MÔN HỌC

CƠ HỌC KẾT CẤU 2

Bài tập lớn số 2.

TÍNH HỆ KHUNG SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC

Bảng số liệu về kích thước và tải trọng: Đề 3-4

STT Kích thước hình học L1 L2 Tải trọng q(kN/m) P (kN) M(kN/m)

4 8 10 20 100 150

I) YÊU CẦU VÀ THỨ TỰ THỰC HIỆN

1) Tính hệ siêu tĩnh do tải trọng tác dụng.

1.1) Vẽ các biểu đồ nội lực: Momen uốn M P , lực cắt Q P , lực dọc N P trên hệ siêu tĩnh đã cho Biết F = 10J/L 1 2 (m 2 )

a) Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản

b) Thành lập các phương trình chính tắc dạng tổng quát

c) Xác định các hệ số và số hạng tư do của phương trình chính tắc, kiểm tra các kết quả tính toán

d) Giải hệ phương trình chính tắc

e) Vẽ biểu đồ mômen trên hệ siêu tĩnh đã cho do tải trọng tác dụng Kiểm tra cân bằng các nút và kiểm tra điều kiên chuyển vị

f) Vẽ biểu đồ lực cắt QP và lực dọc NP trên hệ siêu tĩnh đã cho

1.2) Xác định chuyển vị ngang của tại mặt cắt I (trọng tâm) hoặc góc xoay của mặt cắt tại K

Biết E = 2.10 8 kN/m 2 , J = 10 -6 L 4

1 (m 4 ).

2) Tính hệ siêu tĩnh chịu tác dụng cả 3 nguyên nhân (Tải trọng, nhiệt độ thay đổi và chuyển vị gối tựa).

2.1) Viết và giải hệ phương trình chính tắc.

2.2) Thứ tự thực hiện:

1) Vẽ biểu đồ momen uốn M do cả 3 nguyên nhân đồng thời tác dụng trên hệ siêu tĩnh đã cho và kiểm tra kết quả

2) Tính các chuyển vị đã nêu ở mục trên Biết :

- Nhiệt độ trong thanh xiên: thớ biên trên là Ttr = 45o, thớ biên dưới là Td =30o

- Thanh xiên có chiều cao mặt cắt h= 0.12 m

P M

K

2J

2J

3J

- Hệ số dãn nở dài vì nhiệt của vật liệu α = 10 −5

- Chuyển vị gối tựa:

o Gối D dịch chuyển sang phải một đoạn ∆1=0.001 L1(m)

o Gối H bị lún xuống một đoạn ∆2=0.001 L2(m)

SƠ ĐỒ TÍNH KHUNG SIÊU TĨNH

D H

3J

2J 2J

J J

K

M

P

q

X

X X

X3

2

1) Tính hệ siêu tĩnh do tải trọng tác dụng.

1.1 Vẽ các biểu đồ nội lực: Mô men uốn M P , Lực cắt Q P , Lực dọc N P :

1 Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản:

N=T +2 K +3 H +C−3 D=0+2 ×1+3 × 0+7−3× 2=3

Hệ đã cho là hệ siêu tĩnh bậc 3

Chọn hệ cơ bản như hình vẽ:

2 Hệ phương trình chính tắc dạng tổng quát:

δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ 1 P=0

δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ 2 P=0 (1)

δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ 3 P=0

3 Tìm các hệ số của hệ phương trình chính tắc:

δ11= ¯M1M¯1 ; δ22= ¯M2M¯2 ; δ33= ¯M3M¯3

δ12=δ21= ¯M1M¯2 ; δ13=δ31= ¯M1M¯3 ; δ23=δ32= ¯M2M¯3

1 6

1 1

1 0

2

4

1 M

M

1

6

1 6

1 6

1 0

1

10

0

M

160 0 72

5

1 M

1 4

1 0 4

7 4

1

1

δ11= 1

EJ [4 10 4+1

2

4 4 2

2

34+

1 2

4 4 2

2

34 +

1

2(2 10 3+2 10

2

10

3 )+ 1 2

2 8 2

2

32]= 700

3 EJ

δ22= 1

EJ[10 10

2

2

310+

1 2

11 10 2

2

3 11+

1

2(11 8 13 ,5+5 8

2

43

3 )+1 3

16 16 2

2

316]=15547

9 EJ

δ33= 1

EJ[10 10

2

2

310+

1

2(10 10 13+6 10

2 14)+1

216 8 16 +

1 3

16 16 2

2

316]=24052

9 EJ

δ12=δ21= 1

EJ [−4 10 5−1

2(2.10 5,5+2 10

2

11

3 )−1 2

2 8 2

38

3 ]=−324

EJ

δ13=δ31= 1

EJ[1

2(2 10 13+2 10

2 12)+1

2

2 8

2 16]=254

EJ

δ23=δ32= 1

EJ[−1

2(10 10 5,5+6 10

2

2

311)−1

216 8 13 , 5−

1 3

16 16 2

2

316]=−15337

9 EJ

Δ 1 P= 1

EJ [1000 10

3 4+

1

2∫

10 (87 , 5 z−725)(2+1

5z)dz−1

2(725 8 1+875 8

2

2

3) ]=17050

3 EJ

Δ 2 P= 1

EJ [−1000 10

3

15

2 +

1

2∫

0

10

(87 , 5 z−725)(1110 z−11)dz+1

2(725 8 13 , 5+825 8

2

43

3 ) ]

+ 1

3EJ

1600 16 2

2

316=

869950

9 EJ

Δ 3 P= 1

EJ [ ∫

0

10

(87 ,5 z−725)(16−3

5z)dz−1

2

(725+1600 )

2 8 16−

1 3

1600 16 2

2

316]=−1267075

9 EJ

 Kiểm tra hệ số của ẩn số trên hàng i:

¯

M S M¯1= 1

EJ [ ∫

0

10

(6−z)(−4 )dz+1

2

4 4 2

2

34+

1 2

4 4 2

2

34+

1

2(7 10 3+7 10

2

10

3 )+1 2

7 8 2

4

3]=490

3 EJ

δ1i= δ11+ δ12+ δ13= 1

EJ ( 700 3 −324 +254 ) = 490

3 EJ (§óng)

¯

M S M¯ 2= 1

EJ[ ∫

0

10 (6−z) (10−z)dz−1

2(7 10 5,5+7 10

2

11

3 )−1 2

7 8 2

38

3 ]=−902

3 EJ

δ 2i=δ21+δ22+δ23= 1

EJ(−324 +15547

15337

9 )=−902

3 EJ (§óng)

¯

M S M¯ 3= 1

EJ[10 10

2

2

310+

1

2(7 10 13+7 10

2 12)+1

2

7 8

2 16]=3667

3 EJ

δ3i= δ31+ δ32+ δ33= 1

EJ ( 254− 15337

24052

9 ) = 3667

9 EJ (§óng)

Kiểm tra hệ số của ẩn số trên tất cả các hàng: ∑

i, j

δ ij= ¯M S M¯S

¯

M S M¯ S= 1

EJ[ ∫

0

10

(6−z)2dz+1

2

4 4 2

2

34+

1 2

4 4 2

2

34+

10 10 2

2

310+

1

2(7 7 10 , 5+7 10

2

35

3 ) ]

+ 1

2 EJ

7 8 2

2

37=

1085

EJ

i , k

δ ik=δ11+δ12+δ13+δ21+δ22+δ23+δ31+δ32+δ33

= 1

EJ(7003 −2 324+

15547

9 −2

15337

9 +

24052

9 +2 254)=1085

EJ (§óng)

 Kiểm tra các số hạng tự do:

Do tải trọng:

M P0 M¯ S= 1

EJ[ ∫

0

10

(−10 z2+200 z−1000)(6−z)dz+1

2∫

0

10

(87 ,5 z−725)(107 z+7)dz]

− 1

2 EJ(728 8.3,5+875 8

2

7

3)=−115325

3 EJ

∑Δ iP=Δ 1 P+Δ 2 P+Δ 3 P= 1

EJ(170503 +

869950

1267075

9 )=−115325

3 EJ (§óng)

4 Giải hệ phương trình chính tắc:

700

3 X1−324 X2+254 X3+17050

−324 X1+ 15547

9 X2 − 15337

9 X3 + 869950

254 X1− 15337

9 X2 + 24052

9 X3 − 1267075

Hệ tĩnh định tương đương:

5 Biểu đồ momen trên hệ siêu tĩnh đã cho do tải trọng tác dụng:

 Kiểm tra điều kiện chuyển vị:

M P M¯1= 1

EJ[ ∫

0

10

(−10 z2+242, 0227 z−925 , 4982)(−4)dz −1

2

494 , 7288 4

2

2

34 2]

2 EJ∫

0

10

( −6 , 03456 z+92, 2272 )(2+1

5z)dz+ 1

2 EJ∫

0

8

(52 ,2036 z−325 , 4016)(14 z)dz

2.10 8 8 4 10 −6 =3,37.10−6( m)

M P M¯ 2= 1

EJ[ ∫

0

10

(−10 z2+242 ,0227 z−925 ,4982)(10−z)dz+1

2∫

0

10

(−6,03456 z+92,2272)(1110 z−11)dz]

+ 1

2 EJ∫

0

8

(52,2036 z−325,4016)(58z−16)dz+ 1

3 EJ

325,4016 16

2

2

316=−

1494 ,1759

2.108.84.10−6

=−1,8239.10−3( m)

M P M¯3= 1

EJ

376 ,397 10

2

2

310+

1

2 EJ∫

0

10

(−6 , 03456 z +92 , 2272)(16−3

5 z)dz

+ 1

2EJ∫

0

8

(52,2036 z−325 ,4016)(16)dz−1

3

325 ,4016.16

2

2

316=

2324 ,4

2 108.84.10−6=2, 837 10

−3 (m)

M P M¯ S= 1

EJ∫

0

10

(−10 z2+242 , 0227 z−925 , 4982)(6−z)dz− 1

2 EJ

494 , 7288 4

2

2

34

2 EJ

494 ,7288 4

2

2

34−

1

EJ

376,397 10

2

2

310+

1

2EJ∫

0

10

(−6, 3456 z +92 ,2272)(7+ 4

10 z)dz

2 EJ∫

0

8

(52, 2036 z−325 , 4016 )(78z)dz=− 832 ,6922

2 108.10−6.84=1 ,01647 10

−3

(m)

Ta thấy chuyển vị tại các gối tựa là rất nhỏ và phù hợp với yêu cầu tính toán

Có chuyển vị trên là do sai số trong tính toán

6 Biểu đồ N và Q

Kiểm tra nút:

1.2) Xác định góc xoay của mặt cắt tại K.

Biểu đồ momen của hệ tĩnh định tương đương ở trạng thái k (kNm):

M k =1

ϕ K= 1

2 EJ∫

0

10

(−6 , 03456 z+92 ,2272)(201 z−

1

2)dz+ 1

2 EJ∫

0

8

(52 ,2036 z−325 , 4016)(161 z)dz

=−274 ,2448

2 108.10−6.84=−3,3477 10

−4

(rad )

Vậy mặt cắt K xoay ngược chiều kim đồng hồ 1 góc: ϕ K=−3 ,3477 10−4(rad)

2) Tính hệ siêu tĩnh chịu tác dụng cả 3 nguyên nhân (Tải trọng, nhiệt độ

thay đổi và chuyển vị gối tựa).

2.1 Viết hệ phương trình chính tắc dạng số:

δ11X1+ δ12X2+ δ13X3+ Δ1 P+ Δ1 t+ Δ1 z=0

δ21X1+ δ22X2+ δ23X3+ Δ2 P+ Δ2t+ Δ2 z=0

δ31X1+ δ32X2+ δ33X3+ Δ3 P+ Δ3 t+ Δ3 z=0

2.2 Trình bày: