50 Bài tập về bất đẳng thức

Chứng minh rằng Giải: 24... Chứng minh rằng:... Chứng minh rằng : đường thẳng OM luôn đi qua 1 điểm cố định.

50 Bài tập về bất đẳng thức:

Bài 1: Cho a ≥ 3, tìm giá trị nhỏ nhất của 1

S a

a

= +

S a

Bài 2: Cho a ≥ 2, tìm giá trị nhỏ nhất của 12

S a

a

= +

a

Bài 3: Cho a,b >0 và a + ≤ b 1, tìm giá trị nhỏ nhất của 1

S ab

ab

16 2

+

Bài 4: Cho a,b,c>0 và 3

2

a b c + + ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2

Giải:

Cách 1:

Cách 2:

S

17

Tương tự

Do đó:

17

a b c

+ +

Bài 5: Cho x,y,z là ba số thực dương và x y z + + ≤ 1 Chứng minh rằng:

82

Giải:

82

82

x y z

x y z x y z

+ +

Bài 6: Cho a,b,c>0 và a + 2 b + ≥ 3 c 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 9 4

2

S a b c

Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4

20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 13

S

Bài 7: Cho x,y,z> 0 và 1 1 1

4

x + + = y z Tìm giá trị lớn nhất của

P

y z x y z x y

Giải:

Ta có

;

:

;

1 4 4 4

1 16

TT

S

x y z

Bài 8

Chứng minh rằng với mọi x R ∈ , ta có 12 15 20

3 4 5

Giải:

Cộng các vế tương ứng => đpcm.

Bài 9:

Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 Chứng minh rằng 8x+ + ≥ 8y 8z 4x+ 1+ 4y+ 1+ 4z+ 1

Giải: Dự đoán x=y=z = 2 và 3 3

8 8x x = 64x = 4xnên :

3

3

3

8 8 8 3 8 8 8 12.4 ;

8 8 8 3 8 8 8 12.4 ;

8 8 8 3 8 8 8 12.4

8 8 8 3 8 8 8 3 8 8 8 192

Cộng các kết quả trên => đpcm

Bài 10:

Cho x,y,z>0 và xyz = 1 Hãy chứng minh rằng

3 3

Giải:

2 2 2

S

Bài 11

Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1

P

=

Giải:

2

1

+ + +

Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4

Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4

KL: Khi dấu = xảy ra

Bài 12

Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng:

ab bc ca

b + c + a ≥ + +

Giải:

ab bc ac

+ + + +

Cách 2:

a b c ab bc ac ab bc ac

Bài 13

Cho x,y >0 và x + ≥ y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của

2

3x 4 2 A

4x

y y

Giải: Dự đoán x=y=2

A

y

Bài 14: Cho x,y>0 và x+y = 1 Chứng minh rằng 3 1 3 1

4 2 3

P

x y xy

+

Giải: Ta có

3xy(x+y) 3xy=1

x y

y x

+

+ +

Bài 15: Cho x,y,z >0 và 1 1 1

2

1 x + 1 y + 1 z = + + + Chứng minh rằng

1 x 8

yz ≤

Giải:

TT

Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm

Bài 16: Cho x,y,z>0 và x+y+z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của

S

Giải:

S

Bài 17:

Cho a,b,c >1 Chứng minh rằng:

48

a + b + c ≥

Giải:

2

2

a

− +

Bài 18

Cho a,b,c >0, chứng ming rằng :

3

Giải:

a b b + + ≥ a b b c c + + ≥ b c c a a + + ≥ c a

+ + + cộng ba bất đẳng thức =>đpcm

Bài 19

Với a,b,c >0 chứng minh rằng:

1 4 9 36

a b c + + ≥ a b c

+ +

Giải:

1 2 3

+ +

Bài 20:

Cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng :

1 1 4 16 64

a b c + + + d ≥ a b c d

+ + +

Giải:

;

a b c + + ≥ a b c a b c + d ≥ a b c d

Cần nhớ:

+ +

+ +

Bài 21

Với a,b,c>0 chứng minh rằng: 4 5 3 3 2 1

4

Giải

Bài 22

Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó

Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1

2

Giải:

2

Bài 23

Cho x,y,z>0 và x y x + + ≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P

y z z x x y

Giải:

2

2.

x y z

P

Cách 2:

4 2.

x y z x y z

P x y x

Bài 24

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh rằng

Giải:

24 3

Bài 25

Chứng minh bất đẳng thức:

a + + ≥ b 1 ab a b + +

Giải:

Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương

Bài 26

Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì

3

p a − + p b − + p c − ≤ p

Giải:

Bu- nhi -a ta có :

p a − + p b − + p c − ≤ + + p a p b p c − + − + − = p − p = p

Bài 27

Cho hai số a, b thỏa mãn : a 1; ≥ b ≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 1 1

= + + +

Bài 28

Chứng minh rằng a4+ ≥ b4 a b ab3 + 3

Giải:

( ) ( )2 2 2 2 2 2 ( 2 2) (2 2 2) ( 2 2) ( 2 2) 4 4 3 3

Bài 29

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2

2

A

xy y x x y

+ + + + (Với x; y là các số thực dương).

Giải:

Đặt

2

; 0

x y

( ) 3 2 .

Bài 30

Cho ba số thực a b c , , đôi một phân biệt

Chứng minh

b c + c a + a b ≥

Giải:

2

0

VT

(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)

Bài 31

Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ 3 Chứng ming rằng

2 12 2 2009

670

a b c + ab bc ca ≥

Giải:

670 3

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c a b c

+

Bài 32:

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c + + = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a b b c c a

+ +

Giải:

3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) = a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca 2

Mà a 3 + ab 2≥ 2a 2 b ;b 3 + bc 2≥ 2b 2 c;c 3 + ca 2≥ 2c 2 a Suy ra 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 3(a 2 b + b 2 c + c 2 a) > 0

Suy ra P a2 b2 c2 ab bc ca2 2 2

+ +

+ +

P

+ +

t = a 2 + b 2 + c 2 , với t ≥ 3.

P t

−

≥ + = + + − ≥ + − = ⇒ P ≥ 4 a = b = c = 1

Bài 33

Ch x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z = 1 tìm giá trị nhỏ nhất của

P = 1 1 1

16 x + 4 y + z

Giải:

P=

x y z

1

16 4 4

x + y ≥ có =khi y=2x; 1

x + ≥ z khi z=4x; 1

4

z y

y + ≥ z khi z=2y =>P ≥ 49/16 Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7

Bài 34

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 5

23

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 7

Giải:

= + + + =   + ÷    + + ÷    + + ÷  ≥ + + = Dấu bằng xảy ra khi ( x; y ) 1 1 ;

2 3

=   ÷ .Vậy Min B là 43 khi ( x; y ) 1 1 ;

2 3

=   ÷  Bài 35

Cho x, y z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5 Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≤ 9 Gải:

0 1 x 2 x

1 ≤ ≤ ⇒ − ≥ và x − 2 ≤ 0 ⇒ ( x − 1 )( x − 2 ) ≤ 0

⇒ x2 ≤ x − 2

Tương tự y2 ≤ y − 2 và z2 ≤ 3 z − 2

⇒ x2 + y2 + z2≤3( x + y +z) – 6 ≤ 3 5 – 6 = 9

Bài 36

Cho a,b,c là các số thuộc [ − 1; 2 ] thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = 6 Chứng minh rằng a + + ≥ b c 0 Giải:

6 0

Bài 37

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + + ≤ b c 2 Chứng minh rằng:

2

Giải:

2

;

cộng các vế lại

Bài 38

Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p Chứng minh rằng p p p 9

p a + p b + p c ≥

Giải:

9

p a + p b + p c ≥

p a + p b + p c ≥ p a p b p c = p

Bài 39

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6 Chứng minh rằng:

3( a + + b c ) 2a + bc ≥ 52

Giải:

8

3

3

+ +

Có chứng minh được 3( a2+ + b2 c2) 2a + bc < 18 hay không?

Bài 40

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = a + + b c + abc

Giải:

Có a2 ≥ a2− − ( b c )2 = − + ( a b c a b c )( + − ) (1) , b2 ≥ − − b2 ( c a )2 = − + ( b c a b c a )( + − ) (2)

c2 ≥ − − c2 ( a b )2 = − + ( c a b c a b )( + − ) (3) Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = = a b c

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có :

abc ≥ + − a b c b c a c a b + − + − (*)

Từ a b c + + = 2 nên (*) ⇔ abc ≥ − (2 2 )(2 2 )(2 2 ) a − b − c ⇔ − 8 8( a b c + + + ) 8( ab bc ca + + ) 9 − abc ≤ 0

8 9 abc 8( ab bc ca ) 0 9 abc 8( ab bc ca ) 8

Ta có a3+ + = + + b3 c3 ( a b c )3− 3( a b c ab bc ca + + )( + + ) 3 + abc = − 8 6( ab bc ca + + ) 3 + abc

Từ đó 4( a3+ + b3 c3) 15 + abc = 27 abc − 24( ab bc ca + + ) 32 3 9 + = [ abc − 8( ab bc ca + + ) ] + 32 (**)

Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4( a3+ + b3 c3) 15 + abc ≥ 3.( 8) 32 8 − + =

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2

3

a b c = = =

Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi 2

3

a b c = = =

Bài 41

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng

3

9 ≤ a + + + b c abc < 4

Giải:

3

ó ( )( )( ) (1 2a)(1 2 )(1 2 )

2 8

3 3 (1) d(2)

Ta c a b c abc a b c a b c ab bc ac

−

2 5 3

3 3

à

2

( )( )( ) (1 2a)(1 2 )(1 2 ) 1 4( ) 8a 0

1

4

1

ab bc ca bc

4 4

ab bc ca + + − bc < − =

Bài 42

Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng:

2 2 2

Giải:

Chứng minh được

(6 2 )(6 2 )(6 2 ) 216 72( ) 24( x) 8x

8

24 ( x) (1)

3

x xz 36 3x 3 3xz (2)

8

3

xyz x y z x y z x y z

N n xyz x y z y yz

2

2

x)+ 36 3x 3 3xz 1

3

x y z

+ +

Bài 43

Cho a 1342; ≥ b ≥ 1342 Chứng minh rằng a2+ + b2 ab ≥ 2013 ( a b + ) Dấu đẳng thức xảy ra khi

nào?

Giải:

Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:

1342 1342 0; 1342 1342 0; 1342 1342 0

Thật vậy:

2

2.1342 2.1342 1342a 1342 1342 0

3.1342 3.1342 2.2013 3.1342

2013 2013.

= + + + − 2.2013.1342 2013 = ( a b + + ) 2013 ( a b + − 1342 1342 − ) ≥ 2013 ( a b + )

Bài 44

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = − x + − x + x − x −

Giải:

Cách 1:

Cách 2 :

2

2 2

2 2

4

2x 8x 10 4 x 4x 3

2( 2) 2 4 ( 2) 1

4( 2) 8( 2) 4 4( 2) 8( 2) 4

8( 2) 8 8

A

Bài 45:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng:

1

c + a + b ≤

Giải:

Bài 46

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng:

1

1 x y + 1 y z + 1 z x ≤

1 x

1 x

y xy x y z

y xy x y z

dpcm

Bài 47

Cho a,b là các số thực dương Chứng minh rằng :

2a 2 2

a b

a b + + + ≥ b + b a

Giải:

a b

a b + + + = a b a b +  + +  = + a b   a +   + b +   ≥ ab a b + = b + b a

Bài 48

Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:

1

1 8a + 1 8b + 1 8c ≥

Giải:

2a 1 4a 2a 1 4a 2 2 1

1 8a 2a 1 4a 2a 1

2

1

a

VT

Bài 49

Với a,b,c là ba số thực dương Chứng minh rằng :

b + c + a ≥ + +

Giải:

Cách 1:

( 2 2 2) (2 2 2 2) ( 2 2 2)

Cách 2

Bài 50

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:

y + z + x ≥

Giải:

( )

MỘT SỐ BÀI TẬP ĐÃ CÓ TRONG ĐỀ THI

Câu V: (1 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2015 Chứng minh

Bài 5: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

Bài 7: Cho các số thực x, y,z thỏa mãn xy+yz+zx=3 Chứng minh

(Đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 10 năm 2015 - THPT Như Quỳnh)

(Đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 10 năm 2015 - THPT Như Quỳnh)

Câu 5 (1 điểm) Giải hệ phương trình:

(Đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 10 - THPT Khoái Châu 2015)

Câu 4: (1 điểm) Xét tính chẵn – lẻ của hàm số

(Đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 10 - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm năm 2015)

Bài 8: (1 điểm) Cho tam giác ABC với G là trọng tâm , M là điểm tùy ý, I là trung điểm của BC Gọi N là điểm đối xứng với M qua I và O là trung điểm

của AN Chứng minh rằng : đường thẳng OM luôn đi qua 1 điểm cố định.

(Đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 10 - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm năm 2015)