50 bài tập về các dạng bài tập phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án 2022) toán 9

Phương trình bậc hai một ẩn A Lí thuyết Dạng tổng quát a 2x + bx + c = 0 (a ≠ 0) Biệt thức 2b  4ac; 2'''' b ''''  ac (với b = 2b’) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn +) Nếu Δ < 0 thì phươn[.]

Phương trình bậc hai một ẩn

A Lí thuyết

- Dạng tổng quát: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) 2

- Biệt thức:  b2- 4ac;  ' b'2- ac (với b = 2b’)

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b

2a

   +) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

- Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b '

a

   +) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

- Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) Nếu 2

1 2

x , x là nghiệm của phương trình thì ta có:

1 2

1 2

b

S x x

a c

P x x

a

    





  



B Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Cách giải phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình về dạng tổng quát: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) 2

- Tính biệt thức:  b2- 4ac hoặc  ' b'2- ac (với b = 2b’) +) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b

2a

   +) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b '

a

   +) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình x2 3x  2 0

Lời giải:

Xét phương trình 2

x 3x 2 0 có: a = 1, b = -3, c = 2

Ta có:

Vậy phương trình x2 3x  2 0 có hai nghiệm phân biệt là:

1

2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}

Ví dụ 2: Giải phương trình x2 2x 1 0 

Lời giải:

Xét phương trình 2

x 2x 1 0  có: a = 1, b = -2  b’ = -1, c = 1

Ta có:  ' b'2ac ( 1)2 1.1 1 1 0  

Vậy phương trình x2 2x 1 0  có nghiệm kép: x1 x2 b ' ( 1) 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}

Dạng 2: Kiểm tra một số có phải là nghiệm của phương trình

Phương pháp giải:

Để kiểm tra một số x có là nghiệm của phương trình a0 x + bx + c = 0 (a ≠ 0) hay 2 không, ta thay x vào phương trình để kiểm tra: 0

+) Nếu ax + b02 x0 + c = 0 thì x0 là nghiệm của phương trình

+) Nếu ax + b02 x0 + c ≠ 0 thì x0 không là nghiệm của phương trình

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Kiểm tra xem x = 3 có phải là nghiệm của phương trìnhx2 3x  4 0 không ?

Lời giải:

Ta có: 32 3.3  4 4 0

Do đó, x = 3 không là nghiệm của phương trình 2

x 3x 4 0

Ví dụ 2: Bạn Hằng cho rằng x = 1 luôn là nghiệm của phương trình

2

x 2mx2m 1 0  (m là tham số) Theo em, bạn Hằng đúng hay sai ? Vì sao ?

Lời giải:

Ta có:

2

1 2m.1 2m 1 0  

Do đó, x = 1 luôn là nghiệm của phương trình 2

x 2mx2m 1 0  (m là tham số) Vậy bạn Hằng đúng

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số:

Phương pháp giải:

Biện luận phương trình : ax + bx + c = 0 2

TH1: a = 0

Phương trình trở thành phương trình bậc nhất: bx + c = 0

Khi đó, ta có:

Nếu b khác 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất là: x c

b



 Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

Nếu b = 0 và c khác 0 thì phương trình vô nghiệm

TH2: a khác 0

Tính biệt thức:  b2- 4ac hoặc  ' b'2- ac (với b = 2b’)

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b

2a

   +) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b '

a

   +) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình 2x2 3x   m 5 0 (m là tham số)

Lời giải:

Xét phương trình 2

2x 3x   m 5 0 có: a = 2  0, b = 3, c = m – 5

Ta có:  b2 4ac 3 2 4.2.(m 5) 9 8m   4049 8m

Nếu 0 49 8m 0 m 49

8

       thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

3 49 8m 3 49 8m

Nếu 0 49 8m 0 m 49

8

       thì phương trình có nghiệm kép là:

3

x x

4



 

Nếu 0 49 8m 0 m 49

8

       thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình (m 1)x 2 3x 5 0 (với m là tham số)

Lời giải:

Xét phương trình 2

(m 1)x 3x 5 0 (*) có: a = m – 1, b = 3, c = 5 TH1: m – 1 = 0  m = 1

Phương trình (*) trở thành phương trình bậc nhất: 3x + 5 = 0

Do đó, phương trình có duy nhất một nghiệm là: x 5

3





TH2: m 1  0 m1

Khi đó, ta có:

b 4ac 3 4(m 1).5 9 20m 20 29 20m

          

Nếu 0 29 20m 0 m 29

20

       thì phương trình vô nghiệm

Nếu 0 29 20m 0 m 29

20

       thì phương trình có nghiệm kép:

x x

29

20

   

Nếu 0 29 20m 0 m 29

20

       thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

3 29 20m 3 29 20m

2(m 1) 2(m 1)

Dạng 4: Xét dấu nghiệm số của phương trình bậc hai và các bài toán liên quan

- Xét dấu nghiệm phương trình ax + bx + c = 0 (a khác 0) 2

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm x , x1 2 cùng dấu

1 2

0

x x 0

 



  

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm x , x cùng dấu dương 1 2 1 2

1 2

0

x x 0

x x 0

 





 

  



+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm x , x1 2 cùng dấu âm 1 2

1 2

0

 





  



+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm x , x1 2 trái dấu ac0

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 5x 3 0 Không tính cụ thể giá trị nghiệm, hãy xét dấu nghiệm của phương trình

Lời giải:

Xét phương trình 2

x 5x 3 0 ta có:

2

( 5) 4.1.3 25 12 13

       > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

1 2

( 5)

1 3

x x 3 0

1

 





   



Do đó, hai nghiệm x , x1 2 cùng dấu dương

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 2x 1 m  2 0 (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

c) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Lời giải:

Xét phương trình: 2 2

x 2x 1 m  0

Ta có:   ( 2)2 4.1.(1 m ) 2   4 4 m2 m2

Để phương trình có nghiệm thì: 2

      Vậy phương trình có nghiệm với mọi tham số m, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

2

2

1 2

( 2)

1

1 m

1

 









a)

Để hai nghiệm cùng dương thì ta có:

2

1 2

2 0

x x 0

m 1 1 m 1

x x 0 1 m 0





 

Vậy khi -1 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm cùng dương

b)

Để hai nghiệm cùng âm thì ta có:

1 2

2

1 2

2 0

x x 0

m

x x 0 1 m 0





 

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

c)

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì khi và chỉ khi:

2 2 2 m 1 a.c 0 1.(1 m ) 0 1 m 0 m 1

m 1





            

Vậy khi m > 1 hoặc m < -1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

C Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải phương trình x2 7x  8 0

Bài 2: Giải phương trình 2x2 5x 13 0 

Bài 3: Giải phương trình x2 6x 9 0

Bài 4: Hãy cho biết x = 3 có phải là một nghiệm của phương trình x2 7x 12 0 hay không ?

Bài 5: Hãy cho biết x = 2 có phải là một nghiệm của phương trình

2

mx (2m 1)x  2 0 hay không ?

Bài 6: Giải và biện luận phương trình 2mx2 (m 1)x  6 0

Bài 7: Giải và biện luận phương trình 4x2 7mx  6 0

Bài 8: Giải và biện luận phương trình 4x2 7mxm2  1 0

Bài 9: Không tính cụ thể giá trị nghiệm, hãy xét dấu nghiệm của phương trình

2

3x 6x 2 0

Bài 10: Tìm điều kiện của m để phương trình x2 6mx 2 0 có hai nghiệm cùng dấu âm

Bài 11: Tìm điều kiện của m để phương trình x2 5x2m0 có hai nghiệm trái dấu

Bài 12: Tìm điều kiện của m để phương trình mx2 5mx 4 0 có hai nghiệm cùng dấu