50 bài tập về các dạng bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án 2022) toán 9

Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn A Lí thuyết Các phương trình đưa về phương trình bậc hai một ẩn +) Phương trình bậc bốn trùng phương và một số dạng phương trình bậc bốn khác +) Phương[.]

Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn

A Lí thuyết

- Các phương trình đưa về phương trình bậc hai một ẩn:

+) Phương trình bậc bốn trùng phương và một số dạng phương trình bậc bốn khác +) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

+) Phương trình tích

+) Phương trình chứa căn

+) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

+) Các phương trình liên quan đến tham số m

B Các dạng bài tập và ví dụ minh họa.

Dạng 1: Phương trình bậc bốn trùng phương

Phương pháp giải:

Dạng tổng quát: ax4 bx2  c 0 (*)

Đặt t x 2 ( t 0 )

Phương trình (*) trở thành:

2

at bt c 0  (**)

Giải phương trình (**) như phương trình bậc hai một ẩn và tìm ra t thỏa mãn điều kiện và suy ra nghiệm x tương ứng

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x4 3x2  1 0

Lời giải:

Xét phương trình 4x4 3x2  1 0 (*)

Đặt t x 2 ( t 0 ), phương trình (*) trở thành:

2

4t 3t 1 0  (**)

Phương trình (**) có: a = 4, b = 3, c = -1

Dễ thấy: a – b + c = 4 – 3 – 1 = 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm t1 1 < 0 (không thỏa mãn điều kiện) và

2

( 1) 1

t

 

> 0 (thỏa mãn điều kiện)

Với

2

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là:

1 1

2 2

  

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x4  3x2  2 0

Lời giải:

Xét phương trình 2x4  3x2  2 0 (*)

Đặt t x 2 ( t 0 ), phương trình (*) trở thành:

2

2t  3t 2 0  (**)

Giải phương trình (**) ta có:

2

( 3) 4.2.( 2) 9 16 25

        > 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

1

( 3) 25 3 5 1

t

< 0 (không thỏa mãn điều kiện)

( 3) 25 3 5

> 0 (thỏa mãn điều kiện)

Với t = 2  x2  2 x  2

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: S 2; 2

Dạng 2: Các dạng phương trình bậc bốn khác

Phương pháp giải:

- Dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1) với a + b = c + d:

+ Biến đổi phương trình về dạng:

x (a b)x ab x (c d)x cd m

+ Đặt t = x2 (a b)x ab  điều kiện

2

(a b) t

4





Suy ra

2

x (c d)x cd t ab cd     Khi đó, phương trình (2) trở thành phương trình bậc hai của t

+ Giải phương trình (2) để tìm nghiệm t thỏa mãn điều kiện, từ đó suy ra nghiệm x – Dạng: (x a) 4 (x b) 4  (3)k

+ Đặt t =

a b x

2





Khi đó, phương trình (3) trở thành phương trình bậc bốn trùng phương ẩn t

+ Đặt u t ( u 02  ), khi đó phương trình (3) trở thành phương trình bậc hai ẩn u Giải phương trình này, ta tìm được nghiệm u thỏa mãn điều kiện, từ đó suy ra nghiệm t và suy ra nghiệm x

- Dạng: ax4 bx3 cx2 bkx ak 2 0

+ Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Biến đổi phương trình về

dạng:

2 2

2

kb k a

2 2 2

        

+ Đặt

k

t x

x

 

, thay vào phương trình (2) ta được phương trình bậc hai ẩn t Giải phương trình bậc 2 để tìm nghiệm t và suy ra nghiệm x

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9

Lời giải:

(x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9

(x 4x 3)(x 4x 5) 9

Đặt t = x2 4x 3 (

2

(1 3)

4



) Khi đó, phương trình (*) trở thành:

t(t 8) 9 

2

t 8t 9

2

t 8t 9 0

    (**)

Xét phương trình (**) ta có: a = 1, b = -8, c = - 9

Dễ thấy, a – b + c = 1 – (-8) – 9 = 0

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là: t1 1 (thỏa mãn điều kiện)

và 2

( 9)

1

 

(thỏa mãn điều kiện) Với t = -1, ta có:

x 4x 3 1

2

x 4x 3 1

2

x 4x 4 0

2

(x 2) 0

 

Với t = 9, ta có:

2

x 4x 3 9 

2

x 4x 6 0

    (***)

Giải phương trình (***) ta có:

2

4 4.1.( 6) 40

     > 0

Do đó, phương trình (***) có hai nghiệm phân biệt là:

1

2.1

 

2

4 40

2.1

 

Vậy tập nghiệm của phương trình (x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 5) = 9 là:

S 2; 2  10; 2  10

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (x 1) 4 (x 2) 4 3

Lời giải:

(x 2) (x 4) 8

Đặt t = x – 3, khi đó, phương trình trở thành:

4 4

(t 1) (t 1) = 8

(t 2t 1) (t 2t 1) 8

t4 4t2 1 4t3 4t 2t2 t4 4t2 1 4t3 4t 2t2 8

t 4t 6t 4t 1 t 4t 6t 4t 1 8

2t 12t 2 8

2t 12t 6 0

t 6t 3 0

    (*)

Đặt u t 2 u 0 , phương trình (*) trở thành:

2

u 6u 3 0 

Giải phương trình u2 6u 3 0  ta có:

2

' 3 1.( 3) 12

     > 0

Do đó, phương trình u2 6u 3 0  có hai nghiệm phân biệt:

1

3 12

1

 

(thỏa mãn điều kiện)

2

3 12

1

 

(không thỏa mãn điều kiện)

Với u  3 2 3  t2  3 2 3  t 3 2 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

S  3 2 3 3;   3 2 3 3

Ví dụ 3: Giải phương trình sau x4  5x3 10x 4 0 

Lời giải:

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có:

x  5x 10x 4 0 

2

2

10 4

x x

2

2

        

Đặt

Thay vào (2) ta được:

2

t  5t 4 0  (*)

Giải phương trình (*) ta có: a = 1, b = -5, c = 4 nên a + b + c = 1 – 5 + 4 = 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm t = 1 hoặc t =

4 4

1  Với t = 1 thì ta có:

2

x

(3)

Giải phương trình (3) ta có:   ( 1)2  4.1.( 2) 9  > 0

Do đó, phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt là:

1

( 1) 9

2

  

( 1) 9

2

  

Với t = 4, thì ta có:

2

x

(4)

Giải phương trình (4) ta có:   ( 4)2  4.1.( 2) 24  > 0

Do đó, phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt là:

3

( 4) 24

2

  

4

( 4) 24

2

  

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1;2;2 6;2 6

Dạng 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của ẩn

- Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu

- Giải phương trình bậc hai nhận được, kiểm tra lại nghiệm với điều kiện xác định

và kết luận

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2

x 4x 4 3x 

Lời giải:

2

x 4x 4 3x 

Điều kiện xác định của phương trình là:

x 0





Với điều kiện xác định trên, ta có:

2

x 4x 4 3x 

2

0

x 4x 4 3x

2

0 3x x 4x 4 3x x 4x 4

6x x 4x 4 0

2

5x 4x 4 0

    (*)

Giải phương trình (*) ta có:

2

( 4) 4.5.( 4) 96

      > 0

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

1

( 4) 96 2 2 6

x

(thỏa mãn điều kiện xác định)

2

( 4) 96 2 2 6

x

(thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

2 2 6 2 2 6

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

2

2x 3 x



Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: x 0

Với điều kiện xác định trên, ta có:

2

2x 3

x



2

x 6 2x.x 3.x





x 6 2x 3x

2x 3x x 6 0

2

x 3x 6 0

    (*)

Giải phương trình (*) ta có:

2

( 3) 4.1.6 9 24 15 0

       

Vậy phương trình (*) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình

2

2x 3 x



là S = 

Dạng 4: Phương trình tích

Phương pháp giải:

- Chuyển vế và phần tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0

- Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (x2 2x 5) 2  (x2  x 6) 2 0

Lời giải:

(x 2x 5)  (x  x 6) 0

(x 2x 5 x x 6)(x 2x 5 x x 6) 0

2

(3x 11)(2x x 1) 0

2

3x 11 0

2x x 1 0 (1)



 

  



2

11

x

3

2x x 1 0 (1)











  



Giải phương trình (1) ta có:

2

1 4.2.1 7

    < 0

Do đó, phương trình (1) vô nghiệm

Vậy phương trình (x2 2x 5) 2  (x2  x 6) 2  có tập nghiệm là: 0

11 S 3

 

 

 

Ví dụ 2: Giải phương trìnhx3  5x2 4x x 2 5x 4

Lời giải:

x  5x 4x x  5x 4

x 1 x  2 5x 4 0

2

x 1 0

x 5x 4 0

 



 



x 1

x 5x 4 0(*)





 

Giải phương trình (*) ta có: a = 1, b = -5, c = 4

Dễ thấy, a + b + c = 0 Do đó phương trình (*) có hai nghiệm, một nghiệm là

1

x  là một nghiệm là 1 2

c 4

a 1

  

(**)

x 1

x 4





  



Vậy tập nghiệm của phương trình x3  5x2 4x x 2  5x 4 là S = {1; 4}

Dạng 5: Phương trình chứa căn

Phương pháp giải:

- Đặt điều kiện xác định cho phương trình

- Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế

B 0

A B

A B





  





Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Giải phương trình: x 1 3 x  

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: x 1 0   x 1

Với điều kiện xác định trên, ta có:

x 1 3 x  

3 x 0

x 1 (3 x)

 



 

  



2

x 3

x 1 9 6x x





 

   



2

x 3

x 7x 8 0 (1)





 

Giải phương trình (1) ta có:

2

( 7) 4.1.8 49 32 17

       > 0

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

1

( 7) 17 7 17

x

(thỏa mãn điều kiện xác định)

2

( 7) 17 7 17

x

(thỏa mãn điều kiện xác định)

Do đó, ta có:

(*)

x 3

7 17 x

2

7 17 x

2









 





 





7 17

x

2



Vậy tập nghiệm của phương trình là:

7 17 S

2

Ví dụ 2: Giải phương trình: x2  1 2x

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình là:

2

x 1 0

x 0 2x 0

  





 Với điều kiện xác định trên, ta có:

2

x  1 2x

2

x 1 2x

  

2

x 2x 1 0

    (*)

Giải phương trình (*) ta có:

2

' ( 1) 1.1 0

    

Vậy phương trình (*) có nghiệm kép

( 1)

1

 

(thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình x2  1 2x là S = {1}

Dạng 6: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

| f (x) | | g(x) |  f (x) g (x)

f (x) g(x)

| f (x) | | g(x) |

f (x) g(x)







f (x) g(x)

f (x) 0

| f (x) | g(x)

f (x) g(x)

f (x) 0

 











  

 



 



Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: | 3x 2 | x  2 2x 3

Lời giải:

2

| 3x 2 | x  2x 3

TH1: 3x – 2 > 0

2 x 3

Khi đó, ta có:

2

| 3x 2 | x  2x 3

2

3x 2 x 2x 3

2

x x 5 0

    (1)

Giải phương trình (1) ta có:

2

( 1) 4.1.5 19

     < 0

Vậy phương trình vô nghiệm

TH2: 3x – 2 < 0

2 x 3

Khi đó, ta có:

2

| 3x 2 | x  2x 3

2

3x 2 x 2x 3

2

x 5x 1 0

    (2)

Giải phương trình (2) ta có:

2

5 4.1.1 21

    > 0

Do đó, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là:

1

5 21

x

2

 



(thỏa mãn điều kiện)

2

5 21

x

2

 



(thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình | 3x 2 | x  2 2x 3 là

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: | 2x2  1| | x 2  3x 2 |

Lời giải:

| 2x  1| | x  3x 2 |

2x 1 x 3x 2

 

   



2

2

x 3x 3 0 (1)

3x 3x 1 0 (2)

 



Giải phương trình (1) có:

2

3 4.1.( 3) 21

     > 0

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

1

3 21

x

2

 



; 2

3 21 x

2

 



Giải phương trình (2) ta có:

2

( 3) 4.3.1 3

     < 0

Do đó, phương trình (2) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình | 2x2  1| | x 2  3x 2 | là:

Dạng 7: Các phương trình liên quan đến tham số m.

Phương pháp giải:

Sử dụng các kiến thức về phương trình bậc hai để biện luận, phân tích đề bài và tìm điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Áp dụng các kiến thức:

- Dạng tổng quát: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) 2

- Tính biệt thức:  b2- 4ac hoặc  ' b'2- ac (với b = 2b’)

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2

b

x x

2a

 

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

     

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2

b'

x x

a

 

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 2

     

Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) Nếu2

x , x là nghiệm của phương trình thì ta có:

1 2

b

S x x

a c

P x x

a



  







Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Tìm m để phương trình x2 2(m 1)x 4m 0   có nghiệm kép

Lời giải:

Xét phương trình x2 2(m 1)x 4m 0   (*) có:

' (m 1) 1.4m m 2m 1 4m m 6m 1

          

Để phương trình (*) có nghiệm kép khi và chỉ khi

' 0

 

2

m 6m 1 0

    (**)

Giải phương trình (**) ta có:

2

' ( 3) 1.1 8

     > 0

Do đó phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

1

( 3) 8

1

  

2

( 3) 8

1

  

Vậy khi m = 3 2 2 hoặc m = 3 2 2 thì phương trình x2 2(m 1)x 4m 0  

có nghiệm kép

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 2x m 1 0   , với m là tham số Tìm giá trị của

m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn

2

1 2

6x x 4(m m )

Lời giải:

Xét phương trình: x2 2x m 1 0  

Có:  22  4(m 1) 4 4m 4 8 4m     

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

8 4m 0   m 2

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

x x m 1

 





 



Mặt khác, ta có:

2

1 2

6x x 4(m m )

2

6(m 1) 4(m m )

2

6m 6 4m 4m

2

4m 2m 6 0

2

2m 1m 3 0

    (**)

Xét phương trình (**) có a = 2, b = 1, c = -3 nên a + b + c = 2 + 1 – 3 = 0

Do đó, phương trình (**) có một nghiệm là m = 1 (thỏa mãn điều kiện) và một

nghiệm m =

3 2

 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi m = 1 hoăc m =

3 2

 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1

và x2 thỏa mãn6x x1 2 4(m m ) 2

C Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải phương trình 3x4 10x2  5 0

Bài 2: Giải phương trình 5x4 2x2  16 10 x  2

Bài 3: Giải phương trình (x 2) 4 (x 6) 4 32

Bài 4: Giải phương trình x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8

Bài 5: Giải phương trình 2

x 2  x 3 x  5x 6

Bài 6: Giải phương trình (x 1) 3  (x 2) 3 0

Bài 7: Giải phương trình x2  3x 4  14x 6

Bài 8: Giải phương trình | 4x2 5x | | 2x 2  3|

Bài 9: Cho phương trình x2 2x m 1 0   , với m là tham số Tìm giá trị của m

để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn

x x  6x x 4(m m )