CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO TOÁN 9

Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO TOÁN 9 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC... Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9 PHƯƠNG

Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO

TOÁN 9

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC

Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

THU VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I/ MỤC TIÊU:

-Giải thành thạo các phương trình dạng: Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình bậc 3, phương trình bậc cao, phương trình trùng phương, phương trình bậc hai

- Rèn luyện kỹ năng giải phương trình

II/ SỐ LƯỢNG : 6 TIẾT

III/ NỘI DUNG:

Cho học sinh ôn lại cách giải phương trình bậc hai, hằng đẳng thức đáng nhớ cách giải phương trình trùng phương

1/ Phương trình có ẩn số ở mẫu:

Cách giải:

- Thu tất cả về 1 vế, vế còn lại bằng 0

- Đặt điều kiện các mẫu khác 0 Từ đó suy ra điều kiện của ẩn trong phương trình

- Giải phương trình bằng cách quy đồng mẫu thức, so sánh điều kiện trước khi trả lời

Ví dụ: Giải phương trình

1 5 2 2

x

x x



 



ĐK: x 0, x  2

MTC: x ( x – 2)

2 2

x x x x

     

 

 ( x +1)(x – 2) – 5x – 2x ( x – 2) = 0

 x2 + 2x +2 = 0

  ' 1 -2 = -1 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

a/ 72x x724 2 3



b/ x 4120x 9(xx120)



ĐS: a/ x 1 = 16: x2 = -12

b/ x1 = 360; x2 = 72

2/ Phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0

Cách giải: Biến đổi đưa về phương trình tích.

Ví dụ: Giải phương trình x3 + 2x2 + 2 2x + 2 2 = 0

 x3 + 2x(x + 2) + ( 2)3 = 0

 ( x + 2)( x2 - x 2 + 2) + 2x( x + 2) = 0

 ( x + 2) x22 2x2 

 =0 Phương trình x + 2 = 0 có nghiệm x = - 2

Phương trình x2 + ( 2 - 2)x +2 = 0 vô nghiệm vì < 0

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = - 2

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

a/ ( x2 – 5x + 4)( x2 – 7x + 10) = 0

b/ ( 3x2 – 7x + 1)2 = ( x2 – 3x + 5)2

Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9

Giải:

a/ phương trình có 4 nghiệm: x1 = 4; x2 =1; x3 = 5; x4 = 2

b/ ( 3x2 – 7x +1)2 = ( x2 – 3x + 5)2

 ( 3x2 – 7x + 1)2 – ( x2 – 3x + 5)2 = 0

 (3x2 – 7x + 1 – x2 + 3x – 5)( 3x2 – 7x + 1 + x2 – 3x + 5)= 0

 ( x2 – 2x – 2 )( 2x2 – 5x + 3) = 0

ĐS: Phương trình có 4 nghiệm 3;1;1 3;1 3

2  

3/ Phương trình bậc cao dạng : ax4 + bx2 + c = 0 ( a 0)

Cách giải: Đặt ẩn phụ x2 = y ( y  0) rồi đưa về phương trình bậc hai để giải

Ví dụ: Giải phương trình x4 – 34x2 + 225 = 0

đặt x2 = y ( y  0)

Ta có phương trình y2 – 34y + 225 = 0

’ = 172 – 225 = 64

y1 = 25  x = 5; x = -5

y2 = 9  x = 3; x = -3

Vậy Phương trình có 4 nghiệm 5; -5; 3; -3

Bài tập tương tự:

Giải các phương trình sau:

a/ x4 – 13x2 + 38 = 0 b/ x4 – 8x2 – 9 = 0

c/ x4 – 7x2 – 144 = 0 d/ x6 + 2x3 – 80 = 0

Hướng dẫn:

a/ ĐS: Phương trình có 4 nghiệm: 2; -2; 3; -3

b/ Phương trình có 2 nghiệm: 3; -3

c/ Phương trình có 2 nghiệm 4; -4

d/ Đặt x3 = y

Phương trình có nghiệm x1= 2; x2= 3  10

4/ Phương trình đối xứng bậc 4: Dạng: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 ( a  0)

Cách giải: Chia 2 vế của phương trình cho x2 ( vì x 0) rồi đặt y = 1

x Khi đó

y 2 = ( x + 1

x)2 = x2 + 1

x + 2  2 + 2 = 4

Do đó y 2

Ví dụ: Giải phương trình

( x + 1)4 = 2 ( x4 +1)  x4 – 4x3 – 6x2 – 4x +1 = 0 (1) Chia 2 vế cho x2 ( hiển nhiên x 0Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình)

Ta có: x2 – 4x – 6 – 4/x + 1/x2 = 0

 x2 + 12

x – 4( x + 1

x) – 6 = 0 (2) đặt x + 1

x = y thì x2 + 12

x = y2- 2 phương trình (2) trở thành

y2 – 2 – 4y – 6 = 0  y2 – 4y – 8 = 0  y = 2 2 3

Với y = 2 +2 3 ta có x2- 2( 1+ 3)x + 1 = 0

x = 1 + 3  3 2 3 

Với y = 2 - 2 3: Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 + 3  3 2 3 

Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

a/ x4 – 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0

b/ x4 + x3 – 4x2 + x + 1 = 0

Hướng dẫn:

a/ Đưa về y2 – 2y – 3 = 0  y = -1 ( loại) ; y = 3 3 5

2

x 

 

b/ x1= 1; x2,3= 3 5

2



5/ Phương trình dạng ax 2 ax 2

mx mx

p

bx d cx d 

   

Cách giải: Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x 0ta được 1 phương trình mới rồi đặt ẩn phụ và giải phương trình

Ví dụ: Giải phương trình 22 2 7 1

3 2 3 5 2

x  x  x  x 

ĐK: x -1; x  2

3



x = 0 không là nghiệm của phương trình

Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x  0 ta được

2 7

2 2

3x 1 3x 5

x x



    = 1

Đặt 3x +2 +2x= y Phương trình trở thành

2 7

1

3 3

y  y  ĐK : y  3 Ta có

2( y + 3) – 7 ( y – 3) = ( y + 3)( y – 3)

 2y + 6 – 7y + 21 – y2 + 3y – 3y + 9 = 0

 - y2 – 5y + 36 = 0

 y1 = -9; y2 = 4

 y1 = -9 ta có 3x + 2 + 2/x = -9 có nghiệm x = 11 97

6

 

 y2 = 4 ta có 3x + 2 + 2/x = 4 vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 11 97

6

 

Bài tập tương tự Giải các phương trình sau:

4 8 7 4 10 7

x  x  x  x 

b/ 2 2 213 6

2 5 3 2 3

x  x  x  x 

Hướng dẫn:a/ Chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho x rồi đặt y = 4x + 7

x

ta được y = 9 và y = 16

Đáp số: Phương trình có nghiệm là 1

2 và 7

2

b/ Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x rồi đặt y = 2x + 3

x

ta được y = 1 và y = 11

2

Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9

KIỂM TRA

GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU

a/ ( 2x2 – x – 1)2 – ( x2 – 7x + 6)2 = 0 (3đ)

b/ x4 – 3x3 – 6x2 +3x + 1 = 0 ( 3,5 đ)

c/ 2 2

3 7 4

3 1 1

x x

x  x x  x  ( 3,5đ)

ĐÁP ÁN

a/ ( 2x 2 – x – 1) 2 – ( x 2 – 7x + 6) 2 = 0

 ( 2x2 - x – 1 + x2 – 7x + 6)( 2x2 – x – 1 – x2 + 7x – 6) = 0 ( 0,5đ)

 ( 3x2 – 8x + 5) ( x2 + 6x -7) = 0 ( 0,5đ)

 3x2 – 8x + 5 = 0 hoặc x2+ 6x – 7 = 0 ( 0,75đ)

 x = 1; x = 53 hoặc x = 1; x = -7 ( 0,75đ)

Vậy phương trình có nghiệm 1; 53 ; -7 ( 0,5 đ)

b/ x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1 = 0 (1)

Chia 2 vế của phương trình cho x2 ta có x2 – 3x – 6 + 3

x + 12

x = 0 ( 0,25đ)

 x2 + 1/x2 – 3( x – 1/x) – 6 = 0 (2) ( 0,5đ)

đặt x - 1

x = y ( 0,25)

 y2 = x2 + 12

x – 2  x2+ 12

x = y +2 thế vào phương trình (2) ( 0,25đ)

Ta được y2 + 2 – 3y – 6 = 0 ( 0,25đ)

 y2 -3y – 4 = 0  y1 = -1, y2 = 4 ( 0,5đ)

Với y1 = -1 ta có x – 1x = -1  x2 – 1 + x = 0 ( 0,25đ)

Phương trình có nghiệm x = 1 5

2

  ( 0,25đ) Với y = 4 ta có x – 1

x = 4  x2 – 1 – 4x = 0 ( 0,25đ)

Có nghiệm x = 2  5 ( 0,25đ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1,2 = 1 5

2

  ; x3,4 =2  5 ( 0,5 đ)

3 1 1

x x

x  x x  x 

Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x ta được

Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9

3 7

4

1 1

3 1

x x

x x

 

    ( 0,25 đ) Đặt x + 1 y

x Ta có ( 0,25đ)

3 7 4

3 1

y y  ĐK: y -1; y 3 ( 0,25đ)

 3( y + 1) + 7( y – 3) = -4 ( y -3)( y + 1) ( 0,25đ)

2 2

3 3 7 21 4 4 12 12 0

4 2 30 0

5 3;

2

y y y y y

y y

y y

        

   

  

( 0,75đ)

y1= -3 Ta có x + 1 3

x  x2 + 1 + 3x = 0 ( 0,25đ)

Có nghiệm là x = 3 5

2

  ( 0,25 đ)

y2 = 5

2 Ta có x + 1 5

2

x ( 0,25) 2

2x 2 5x 0

    ( 0,25đ) có nghiệm x1 = 2, x2 = 1

2 ( 0,25đ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm 2; 1

2 ; 3 5

2

  ( 0,5đ)