Định nghĩa: Mặt cầu gọi là ngoại tiếp khối đa diện nếu mặt cầu đó đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện.. Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ: Điều kiện: một hình lăng trụ có mặt cầu ngoạ
Trang 1mặt cầu ngoại tiếp khối da diện
I/ Các khái niệm cơ bản
1 Định nghĩa mặt cầu
2 Vị trí tơng đối giữa
a) Mặt cầu và mặt cầu
b) Mặt cầu và mặt phẳng
c) Mặt cầu và đờng thẳng
II/ Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
1 Định nghĩa: Mặt cầu gọi là ngoại tiếp khối đa diện nếu mặt cầu đó đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện Tâm của mặt cầu là điểm cách đều tất cả các đỉnh Khoảng cách từ tâm đến 1 đỉnh nào đó là bán kính
2 Ví dụ: Chu tứ diện ABCD: AB (BCD); góc BCD); góc B ˆ C D = 900 Kẻ BH AC,
BK AD
a) Chứng minh: bốn điểm A, B, H, K
thuộc m/c (BCD); góc S1)
5 điểm B, C, D, H, K, m/c (BCD); góc S2)
b) Tìm giao tuyến của (BCD); góc S1) và (BCD); góc S2)
c) HK CD tại T , Chứng minh:
BT là tiếp tuyến của (BCD); góc S1) và (BCD); góc S2)
Giải:
a) Các điểm H, K nhìn đoạn AB dới 1 góc
vuông nên chúng m/c S1 đờng kính AB
AB CD
BC CD
CD BH và AC BH
BH (BCD); góc ACD) BH HD
Các điểm C, H, K nhìn BD dới một góc vuôngnêm nằm trên m/c (BCD); góc S2) đờng kính BD
b) Hai mặt cầu (BCD); góc S1) và (BCD); góc S2) có chung nhau 3 điểm H, K, B nên cắt nhau theo 1 đờng tròn C qua H, K, B
Vì BH (BCD); góc ACD) BH HK và BH AD AD (BCD); góc BHK)
AD BK
giao tuyến của (BCD); góc S1) và (BCD); góc S2) là đờng tròn đờng kính BK mặt phẳng đi qua B và AD
c) BT (BCD); góc AHK) BT ( ABD)
AB BT
AD BT
BT BD BT là tiếp tuyến của mặt cầu (BCD); góc S2) và hiển nhiên BT AB BT là tiếp tuyến của mặt cầu (BCD); góc S1)
III Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ:
Điều kiện: một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình lăng trụ đó là lăng trụ đứng và đáy có đờng tròn ngoại tiếp Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm đờng tròn ngoại tiếp 2 đáy
Ví dụ: Đáy của hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' là cân AB = AC = a; góc
C
A
B ˆ mặt phẳng (BCD); góc A'BC) tạo với (BCD); góc ABC) một góc Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
Giải: Gọi H là trung điểm của BC BC AH BC A'H
A H ˆA' là góc giữa mặt phẳng (BCD); góc A'BC) và (BCD); góc ABC)
Gọi I, I' là tâm đờng tròn ngoại tiếp
hai đáy
Trong mặt phẳng (BCD); góc AHH'A') kẻ đờng
trung trực AA' cắt II' tại O thì:
'
' '
'
OA OA
OC OB
OA
OC OB
OA
O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ và R = OA = AI 2 OI2
AI = r là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC
Trang 2
2 cos a 2
sin
a r
2
2
sinB r
a
a
R
.tg 2
a.cos 2
1 tg 2 AB.cos AH.tg
2
1 AA' 2
2 2 2
2
cos
2
1 2
1
'
2
1
tg a
II
BI
IV Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
Điều kiện cần và đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó có đờng tròn ngoại tiếp Khi đó tâm của mặt cầu đợc xác định nh sau:
+) Xác định O' là tâm của đờng tròn ngoại tiếp đáy
+) Dựng O'x đáy
+) Dựng mặt phẳng trung trực (BCD); góc P) của 1 cạnh bên nào đó (BCD); góc P) O'x tại O thì O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Đặc biệt:
Nếu O'x và một cạnh bên nào đó (BCD); góc chẳng hạn SC) cùng nằm trong mặt phẳng (BCD); góc Q) thì trong (BCD); góc Q) ta dựng đờng trung trực của SC , đờng trung trực này cắt O'x tại O Thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy (BCD); góc hay cạnh bên bằng nhau) thì đáy luôn luôn có đờng tròn ngoại tiếp (BCD); góc tâm là chân đờng cao) nên hình chóp luôn có mặt cầu ngoại tiếp và đờng cao SH với cạnh bên bất kỳ cùng 1 mặt phẳng nên trong mặt phẳng đó kẻ đờng trung trực của cạnh bên đó , đờng trung trực này cắt đờng cao tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Hình chóp đều có cạnh bên nghiêng đều với đáy nên có kết quả tơng tự
Ta xét các ví dụ sau:
VD1: Trong mp(BCD); góc P) cho nửa đờng tròn đờng kính AB, C là điểm thay đổi trên nửa đờng tròn Kẻ CM AB, H là trung điểm của CM dựng Ht (BCD); góc P), ttrên
đó lấy S sao cho A ˆ S B = 900
a) Chứng minh mặt phẳng (BCD); góc SAB) cố định
b) Chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp SAHB chạy trên 1 đờng thẳng cố
định
Giải:
CM AB
P
là góc giữa (BCD); góc SAB) và (BCD); góc P)
H là trung điểm CM SM = SC
Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông
SC
SM
SMC CM
SM MB
MA
CM
MB MA
SM
.
.
2
2
đều
S ˆ M C = 600 mp(BCD); góc SAB) đi qua AB cố định
tạo với mp(BCD); góc P) 1 góc không đổi (BCD); góc SAB) cố định
b) Xem tứ diện SAHB là hình chóp HSAB đáy SAB có tâm đờng tròn ngoại tiếp O' là trung điểm AB nên tâm mặt cầu ngoại tiếp HSAB thay đổi trên O'x (BCD); góc SAB) mà O' và (BCD); góc SAB) cố định O'x cố định
VD2: Cho tứ diện OABC; OA; OB; OC vuông góc với nhau từng đôi một a) Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
b) Chứng minh: I, O và trọng tâm G của ABC thẳng hàng
Giải:
a) Xem tứ diện OABC là hình chóp AOBC,
đáy hình chóp có đờng tròn ngoại tiếp hình
chóp có mặt cầu ngoại tiếp
Tâm đờng tròn ngoại tiếp OBC là O'
trung điểm của BC
dựng O'x (BCD); góc OBC) O'x // AO
Trang 3 O'x và OA cùng thuộc mp(BCD); góc Q) Trong (BCD); góc Q) kẻ
đờng trung trực của OA cắt O'x ở I thì I là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OABC
b) AO' OI tại G, ta có: 2
' 'O I
OA GO
GA
GA = 2GO' G là trọng tâm ABC Hay I, O, G thẳng hàng
VD3: Cho hình chóp SABC: SA = SB = SC = a, A ˆ S B = 900 , B ˆ S C =
1200; C Sˆ A 60 0 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O nằm trong hay ngoài hình chóp
Giải:
Theo giả thiết có AB2 = 2a2, AC = a, AC2 = a2, BC = a 3 BC2 = 3a2
BC2 = AB2 + AC2 ABC vuông ở A
Kẻ SH (BCD); góc ABC) Vì SA = SB = SC
H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC
H là trung điểm của BC
Trong mp(BCD); góc ABC) kẻ trung trực SB
cắt SH ở O thì OS = OA = OB = OC
O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
SH 2
a a SO 2
a 2
1 a.
SBcos60 SH
:
mặt khác
0
a a
H S I
SI OS
R
2
12 60
cos
2 ˆ
nên O nằm ngoài hình chóp
VD4: Cho hình chóp tam giác đầu SABC, cạnh đáy bằng a; chiều cao bằng h
a) Xác định h theo a để đoạn thẳng nối trung điểm của cạnh bên và cạnh
đáy là đờng vuông góc chung của hai cạnh đó
b) Khi đó chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tâm mặt cầu tiếp xúc với các mặt của hình chóp là trùng nhau
Giải:
a) Gọi I, K lần lợt là trung điểm của BC và SA
IK là đờng vuông góc chung của SA và
BC khi và chỉ khi SIA là tam giác cân SI = AI
SI2 = AI2
2 2
2 2 2
2
3 2
3
a SH HI h a
3
6 a h 2a 8a h
2 2
2
3 12 12
4
2
2 a
h
b)
