Skkn kỹ thuật vẽ hình trong bài toán tính thể tích khối đa diện

Vì vậy, bên cạnh việc ứng dụng khoa học công nghệ vào các bài giảng, người giáo viên cần phải giúp các em học sinh hình thành những kỹ năng cơ bản, những tư duy và giúp cho học sinh thấy

Mục lục

MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài: 2

2 Mục đích của đề tài: 3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 3

4 Phương pháp nghiên cứu: 3

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 3

NỘI DUNG 5

1 Tóm tắt lý thuyết 5

2 Kỹ thuật vẽ hình và ứng dụng 7

2.1 Phương pháp vẽ hình chóp 8

2.2 Phương pháp vẽ hình lăng trụ 17

3 Bài tập 21

3.1 Hình chóp 21

3.2 Hình lăng trụ 22

3.3 Một số bài toán thi đại học – cao đẳng 23

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Sáng tạo trong học tập không phải là quá trình tự phát mà là quá trình có sự hướng dẫn của giáo viên, trong đó giáo viên khéo léo đặt học sinh vào các tình huống hiện tại nhằm khám phá lại những tri thức di sản văn hóa của loài người Để làm được điều

đó, bên cạnh việc cung cấp nguồn tri thức cho học sinh, giáo viên còn phải tổ chức các hoạt động dạy – học sao cho phù hợp với đối tượng học sinh của mình

Dạy học phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập là mục tiêu của dạy học trong mọi thời đại Vì vậy, bên cạnh việc ứng dụng khoa học công nghệ vào các bài giảng, người giáo viên cần phải giúp các em học sinh hình thành những kỹ năng cơ bản, những tư duy và giúp cho học sinh thấy được tính ứng dụng của môn học trong thực tế

Hình học nói chung, hình học không gian nói riêng là ngành toán học có nhiều mối liên hệ với thực tế nhưng lại yêu cầu cao về trí nhớ cũng như rèn luyện tư duy trừu tượng, mối quan hệ logic liên thuộc và nhiều đối tượng bị che khuất khi biểu diễn trong không gian 2 chiều luôn làm nản lòng nhiều thế hệ học sinh Do vậy, giúp học sinh tư duy tốt cũng như giải quyết tốt các bài toán hình học không gian, làm cho học sinh “bớt sợ” môn hình học không gian hơn, yêu thích môn học này hơn luôn là niềm trăn trở của nhiều thế hệ giáo viên

Trong các bài toán hình học không gian nói chung, các bài toán về tính khoảng cách, tính thể tích của khối đa diện hay nói cách khác là những bài toán chứa đựng yếu tố xác định đường vuông góc luôn là bài toán khó đối với học sinh THPT, vẽ đúng và chính xác hình sẽ giúp cho khả năng làm được bài trên 80%

Trước yêu cầu thực tiễn như vậy, qua thời gian giảng dạy môn toán, tôi mạnh dạn chia sẽ cùng quý thầy cô đồng nghiệp, cùng các em học sinh yêu toán kỹ thuật vẽ hình trong môn hình học không gian của mình

2 Mục đích của đề tài:

Với những lý do trên, nhằm chia sẻ và trao đổi kinh nghiệm trong học tập cũng

như giảng dạy bộ môn toán, đề tài: “Kỹ thuật vẽ hình trong bài toán tính thể tích khối đa diện” ra đời nhằm góp phần vào việc nâng cao chất lượng bộ môn toán nói

chung cũng như góp phần vào phong trào học tập, nghiên cứu môn hình học không gian của các em học sinh ngày càng có chất lượng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Với mục đích như trên, đề tài tập trung vào phân tích bài toán và đưa ra kỹ thuật

vẽ hình đặc biệt chú trọng đến yếu tố đường cao của khối đa diện nhằm giúp học sinh xác định hướng giải bài toán bởi đường cao là yếu tố then chốt để tính thể tích khối

đa diện Trong khuôn khổ đề tài, tôi chỉ tập vào việc phân tích và vẽ hình ban đầu cho một số dạng toán cụ thể chứ không đi sâu vào việc kỹ thuật trình bày cách giải một bài toán cụ thể

Đề tài có thể áp dụng cho học sinh lớp 11, nhưng chủ yếu là các em học sinh lớp

12 ôn thi tốt nghiệp và chuẩn bị dự thi vào các trường đại học, cao đẳng

4 Phương pháp nghiên cứu:

Dựa trên tài liệu sưu tầm được và những bài toán do bản thân sáng tác, đề tài tổng hợp lại các vấn đề phục vụ cho mục đích nghiên cứu, phù hợp với thực tiễn trong vấn

đề giảng dạy Toán tại trường THPT

Một phần quan trọng của đề tài là sưu tầm, phân loại và hệ thống lại những bài toán về hình học không gian ở chương trình phổ thông trung học, trong đó một số bài toán là đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng một số năm

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Do đó, đề tài mang tính thực tiễn, khoa học, đảm bảo tính sư phạm và phần nào đóng góp vào thực tiễn dạy và học Toán ở bậc phổ thông

Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng không tránh khỏi những thiếu sót và suy nghĩ chủ quan, tác giả mong nhận được nhiều đóng góp, ý kiến từ phía quý thầy cô giáo, các em học sinh nhằm làm cho đề tài hoàn thiện hơn, đề cập được những khía

cạnh hay hơn mà đề tài chưa thực hiện được Tác giả cũng sẽ tiếp tục nghiên cứu và

bổ sung thường xuyên để đề tài ngày càng được cập nhật, làm tài liệu hữu ích hơn đối với quý thầy cô giảng dạy môn Toán và các em học sinh

 Cho đường thẳng a và mặt phẳng (β) song song với nhau Nếu đường thẳng b vuông góc với mp(β) thì b vuông góc với đường thẳng a

 Nếu đường thẳng a không chứa trong mp(β) cùng vuông góc với đường thẳng

 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm của

AB đồng thời vuông góc với đoạn thẳng AB Do đó, mỗi điểm thuộc mặt phẳng trung trực đều cách đều hai đầu đoạn thẳng

 Trục của tam giác (trục đường tròn ngoại tiếp tam giác) là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, vuông góc với các cạnh của tam

giác và các cách đều các đỉnh của tam giác

Định lý 2: (Định lý về ba đường vuông góc)

Cho mp(β), đường thẳng b chứa trong (β) và đường thẳng a không vuông góc với (β) Khi đó, b vuông góc với a nếu và chỉ nếu b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (β)

 Nếu (α) và (β) vuông góc với nhau và A là điểm thuộc (α) thì đường thẳng đi qua A và vuông góc với (β) sẽ nằm trong (α)

 Nếu hai mặt phẳng (α) và (beta) vuông góc với nhau và cùng vuông góc với () thì giao tuyến của (α) và (β) cũng vuông góc với ()

Trong khuôn khổ khai thác yếu tố, tính chất của hình vẽ để vẽ hình nhằm phục

vụ cho việc chứng minh một tính chất hay tính thể tích Do đó, tôi không đi sâu vào việc trình bày lời giải chi tiết cho một bài toán cụ thể mà chỉ đi phân tích cách

vẽ hình và xác định các bước vẽ hình cho bài toán Đặc biệt, chuyên đề muốn đề cập đến một số hình vẽ thường gặp trong chương trình toán THPT nhằm giúp các

em học sinh định hướng khi vẽ hình và giúp tư duy tốt hơn trong việc làm toán Hình học không gian gắn liền với phát triển trí nhớ và tư duy trừu tượng, việc

mô tả các đối tượng nhìn thấy hay bị che khuất, hình dung quỹ đạo chuyển động

của đối tượng điểm, đường thẳng,… là những yếu tố có ảnh hưởng quan trọng đến việc học tập môn hình học Trong các bước giải một bài toán hình học không gian thì công đoạn vẽ hình và quan sát hình đóng vai trò quyết định đến việc giải hay không giải được bài toán đó Do vậy, hình thành kỹ năng vẽ hình cho học sinh là yếu tố rất quan trọng để các em học tốt môn hình học không gian

Đối với bước vẽ hình, tùy theo bài toán nhưng thường là thực hiện theo quy

tắc sau: đối tượng cong vẽ trước, phẳng vẽ sau; lớn vẽ trước, nhỏ vẽ sau

Đối với bước quan sát hình, ta thực hiện theo quy tắc:

a) Hướng trực diện: Mục đích xác định đường và mặt gần hay xa, nhìn thấy hay bị che khuất b) Hướng thẳng đứng: Mục đính xác định các yếu tố nằm phía trên và phía dưới

c) Hướng ngang: Mục đích xác định các yếu tố bên trái và bên phải

d) Điền các yếu tố: Độ dài, góc

Trong bước quan sát hình, ta nên thực hiện:

a) Xoay hình: Theo yêu cầu của bài toán, những yếu tố cần xét quan sát chưa rõ hay bị che khuất

Qui tắc: Xoay đáy (đối với hình chóp, lăng trụ), đặt nằm ngang (đối với lăng trụ, hình trụ)

b) Tách hình: Vẽ riêng ra ngoài một phần của hình khi chỉ cần xét trong hình đó

Qui tắc: Phẳng hóa (nếu cần tính toán), đồng dạng (nếu quan sát hướng)

Và để thuận tiện cho việc giảng dạy của giáo viên thì ngoài các công cụ vẽ hình truyền thống như: phấn màu, thước,… người giáo viên nên tận dụng ứng dụng khoa học công nghệ vào dạy học, ví dụ như sử dụng phần mềm Cabri 3D, The Geometer’s Sketchpad,… Những công cụ trên giúp người giáo viên dễ dàng, thuận tiện trong việc mô tả cũng như thiết kế bài giảng

Sau đây là cách vẽ hai loại đa diện thường gặp trong chương trình toán THPT

2.1 Phương pháp vẽ hình chóp

Đối với hình chóp, trong khuôn khổ của chuyên đề này, tôi xin trình bày một

số dạng vẽ hình cơ bản có ảnh hưởng đến những bài toán tính thể tích của học sinh lớp 12 thông qua các bài từ dễ đến khó, có phân tích đặc điểm mỗi hình và chia làm hai loại thường gặp: hình chóp có đáy là tam giác và hình chóp có đáy là tứ giác a) Quy tắc: thực hiện lần lượt các bước sau

1 Vẽ đáy phẳng, vẽ đáy không gian

2 Xác định chân đường cao, vẽ đường cao

 Thuận lợi trong việc chỉnh sửa những yếu tố nét khuất

Đối với học sinh: Các em nên vẽ nháp hình theo cách sau bằng bút chì:

1 Vẽ đáy phẳng trên tờ giấy, đặt tờ giấy trên mặt bàn học

2 Lấy thước đặt vuông góc với mặt bàn để mô tả đường cao

3 Quan sát các phía, tưởng tượng các cạnh bên

4 Chọn hướng vẽ hình, vẽ vào giấy

Để làm công đoạn này cho tốt, học sinh cần có đầy đủ các dụng cụ vẽ hình: thước, bút chì, tẩy,…

Ví dụ 1: Cho các cạnh bên của hình chóp O.ABC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b,

OC = c Tính thể tích của khối chóp OABC

Phân tích:

Không khó khăn để ta nhận ra tam giác OBC vuông tại O và OA vuông góc với (OBC) tại O Đây là ví dụ đơn giản nhất để dựng đường cao của hình chóp

Vẽ hình:

o Dựng tam giác OBC (vuông tại O)

o Dựng đường thẳng Δ qua O và vuông góc (OAB), trên Δ lấy A sao cho góc nhìn dễ

và nối A với B, C

o Xác định các nét khuất

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông

góc với mặt phẳng (ABC)

a Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh AH  SC

b Giả sử SCx BC,  y SC,  z Tính theo x, y, z thể tích khối chóp S.ABC

Phân tích:

SA vuông góc với mp(ABC) nên hình chiếu của S là A

Vẽ hình:

o Vẽ đáy là tam giác ABC

o Qua A, dựng đường thẳng Δ vuông góc với (ABC) (H – 2.1)

o Chọn trên Δ điểm S sao cho: góc nhìn hình rộng, ít nét khuất Và nối S với các đỉnh B,C (H – 2.2)

C C

B O

C

B

O

H- 2.3 H-2.2

Lưu ý: Lúc đoạn thẳng AC chuyển từ trạng thái nhìn thấy nét liền thành không nhìn

thấy (nét khuất) Vì vậy, nên yêu cầu học sinh phác thảo trên giấy nháp hoặc

vẽ bằng bút chì để có thể chuyển về nét khuất bằng cách tẩy đi vẽ lại

60

o Vẽ đáy ABC, lấy H thuộc AC sao cho AH = 2HC

o Dựng đường thẳng Δ qua H và vuông góc với (ABC)

o Chọn S thuộc Δ sao cho SH= 3

Ví dụ 4: Cho tứ diện OABC có AOB AOC COB,OAOBOC l

a) Tính α để diện tích xung quanh của tứ diện OABC lớn nhất

H S

b) Tính α để thể tích tứ diện OABC lớn nhất

Phân tích:

Các mặt bên của tứ diện đều là tam giác cân và bằng nhau, do đó đáy của hình chóp O.ABC là tam giác đều Suy ra hình chóp O.ABC là hình chóp đều nên hình chiếu của O xuống mp(ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC đồng thời là trọng tâm của tam giác

Vẽ hình:

o Dựng đáy ABC là tam giác

o Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao của ba đường trung trực (H – 4.1)

o Qua H, kẻ đường thẳng Δ vuông góc với mp(ABC) Chọn điểm O thuộc Δ sao cho hình vẽ dễ quan sát nhất, nối O với A, B, C (H – 4.2)

o Xác định các nét khuất của hình (H – 4.3)

Ví dụ 5: Cho các cạnh bên của hình chóp O.ABC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b,

OC = c Tính thể tích của khối lập phương nằm trong hình chóp này mà một đỉnh

trùng với O, ba cạnh cùng xuất phát từ O nằm trên OA, OB, OC còn đỉnh đối diện với O nằm trên mp(ABC)

Phân tích:

o Giả sử khối lập phương cần dựng là OA’HB’.C’GEF Khi đó H phải thuộc đường cao của tam giác OAB và E là thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng (HAO) và (BAC)

Vẽ hình:

o Dựng hình chóp O.ABC (theo ví dụ 1) (H – 5.1)

o Dựng mặt phẳng (α) chứa OC và vuông góc với AB, gọi d, d’ lần lượt là giao tuyến của (α) với các mặt phẳng (OAB) và (BAC) Trên d lấy H sao cho khoảng cách từ H đến OA, OB và d’ bằng nhau (H – 5.2)

o Bây giờ ta có thể xác định các điểm còn lại là C’, G, F và xác định các nét khuất (H – 5.3)

Ví dụ 6: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các

cạnh bên tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp đó

C' E

B' A'

E

B' A'

A

C

B O

A

Ví dụ 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a,

các mặt bên tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp đó

Phân tích:

o Giả sử H là chân đường cao hạ từ S xuống (ABC), theo định lý ba đường vuông góc thì HA’  SA’, HB’  SB’, HC’  SC’ với A’, B’ C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên BC, CA, AB

o Mặt khác, các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau nên ΔSHA’ = Δ SHB’

= ΔSHC’ nên HA’ = HB’ = HC’ Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

N

O M

N

O

M

N A

H H

o Kẻ đường thẳng Δ qua H và vuông góc với (ABC), xác định hình chiếu A’ của

H trên BC, trên Δ chọn S sao cho SA H'  60o (H – 7.2)

o Nối S với A, B, C và xác định nét khuất (H – 7.3)

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông

góc với (ABC), SA = 2a Gọi H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A của

các tam giác ΔSAB, ΔSAD xuống các cạnh đáy tương ứng SB, SD

a Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AHK và S.ABD

b Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AHK)

Phân tích:

Rõ ràng đề cho SA là đường cao của hình chóp Việc vẽ hình không khó khắn

Vẽ hình:

o Vẽ đáy ABCD, qua A vẽ đường thẳng Δ vuông góc với (ABCD) (H – 8.1)

o Chọn S thuộc Δ thỏa SA = 2a, nối S với B, C, D (H – 8.2)

o Xác định nét khuất (H – 8.3)

Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc

với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ Biết rằng , ' 2

o Chọn S thuộc Δ sao cho hình có góc nhìn rộng, ít nét khuất

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành diện tích bằng 3,

góc giữa hai đường chéo là 600 Các cạnh bên hình chóp nghiêng đều với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp.

B

A S

C

2.2 Phương pháp vẽ hình lăng trụ

Đối với hình lăng trụ, ta cũng thực hiện theo các bước sau:

1 Vẽ đáy dưới

2 Xác định hình chiếu vuông góc của 1 đỉnh đáy trên lên đáy dưới

3 Kẻ đường thẳng vuông góc tại hình chiếu vuông góc đó

4 Chọn 1 đỉnh của đáy trên, nối cạnh bên thứ nhất và các cạnh còn lại

5 Xác định nét khuất

Ví dụ 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, A’A = 2a, BC = 6a

Lấy điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM = 3MD

o Vẽ đáy ABCD, dựng đường thẳng Δ qua A và vuông góc với đáy (H – 11.1)

o Trên đường thẳng Δ lấy A’ sao cho A’A = a (H – 11.2)

Ví dụ 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a E, F lần lượt là trung điểm

của B’C’ và C’D’

a Dựng thiết diện tạo bởi mp(AEF) và hình lập phương

b Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương do mp(AEF) cắt ra

Phân tích:

o Bước đầu, không khó khăn để học sinh dựng được hình lập phương

o Tuy nhiên, khi dựng thiết diện, nếu học sinh chọn không tốt góc nhìn thì hình

sẽ bị rối và có nhiều đường chồng lấn lên nhau dẫn đến khó quan sát Do vậy, đối với bài tập này giáo viên cần chuẩn bị phấn màu hoặc tốt hơn là máy chiếu

và vẽ hình bằng phần mềm (Cabri 3D hoặc Sketchpad) nhằm giúp học sinh quan sát hình tốt hơn

Vẽ hình:

o Dựng hình lập phương

o Dựng mặt phẳng (AEF)

o Dựng thiết diện

Ví dụ 13: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi AM

là trung tuyến của tam giác ABC, I là trung điểm AM Biết rằng A’I vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy góc 300 Tính tỉ số thể tích giữa khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC