tu chon

Kiến thức: - Biết vận dụng sơ đồ KSHS để khảo sỏt và vẽ đồ thị cỏc hàm số đa thức, phõn thức hữu tỷ quen thuộc.. - Biết cỏch phõn loại cỏc dạng đồ thị của cỏc hàm số bậc 3, bậc 4 trựng

Trang 1

Tiết 6: KHẢO SÁT HÀM SỐ và các bài toán liên quan

Ngày soạn: 22/9/2008

I - Mục tiờu:

1 Kiến thức:

- Biết vận dụng sơ đồ KSHS để khảo sỏt và vẽ đồ thị cỏc hàm số đa thức, phõn thức hữu tỷ quen thuộc.

- Biết cỏch phõn loại cỏc dạng đồ thị của cỏc hàm số bậc 3, bậc 4 trựng phương, cỏc hàm phõn thức qua đú phỏt hiện được những sai sút trong khi vẽ đồ thị như thiếu tớnh đối xứng qua tõm hoặc qua trục, vị trớ của đồ thị với cỏc tiệm cận chưa cõn xứng

- Biết biện luận số nghiệm của 1 phương trỡnh bằng cỏch xỏc định số giao điểm cỏc đường

2 Kĩ năng: Tăng cờng kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức đã học và tìm hiểu 1 số kiến thức

mới nâng cao về khảo sỏt hàm số, các bài toán liên quan.

3 Thái độ: Làm cho HS tự tin, hứng thú, kiên trì, sáng tạo trong học tập môn Toán.

II - Chuẩn bị của thầy và trũ:

- Sỏch giỏo khoa, biểu bảng biểu diễn đồ thị của một số hàm số.

III - Tiến trỡnh tổ chức bài học:

1 Ổn định lớp:

- Sỹ số lớp:

- Nắm tỡnh hỡnh sỏch giỏo khoa, sự chuẩn bị bài tập của học sinh.

2 Bài mới:

CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Lí THUYẾT CẦN NHỚ: Cho hàm sụ y= f( )x ,đồ thị là (C) Cú 3 dạng phương trỡnh tiếp tuyến như

sau:

Dạng 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x y ( 0; 0) ( ) ∈ C

- Tớnh đạo hàm và giỏ trị f x ' ( )0

- Phương trỡnh tiếp tuyến cú dạng: y = f x ' ( ) (0 x x − 0) + y0

Chỳ ý: tiếp tuyến tại điểm M x y ( 0; 0) ( ) ∈ C cú hệ số gúc k = f x ' ( )0

Dạng 2: Biết hệ số gúc của tiếp tuyến là k

- Giải phương trỡnh: f x ' ( ) = k , tỡm nghiệm x0 ⇒ y0

- Phương trỡnh tiếp tuyến dạng: y k x x = ( − 0) + y0

Chỳ ý: cho đường thẳng : Ax+By+C=0 ∆ , khi đú:

- Nếu d // ( ) d : Ax+By+m=0 hsg k : A

B

- Nếu d ( ) d B : x-Ay+n=0 hsg k : B

A

Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A x y ( 0; 0) ( ) ∉ C

Trang 2

- Gọi d là đương thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó

( ) d : y k x x = ( − 0) + y0

- Điều kiện tiếp xúc của ( ) ( ) d v à C là hệ pt sau có nghiệm:

( )

'

f x k x x y

f x k





Chú ý: Cho đường cong ( )C : y= f( )x và đường thẳng ( )d :y=kx+b Điều kiện để d tiếp xúc với (C) là hệ sau có nghiệm ( )

( ) '

f x kx b

f x k





=



1 Cho hàm số y x = 4− 2 x2, khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a Tại điểm có hoành độ x = 2

b Tại điểm có tung độ y = 3

c Tiếp tuyến song song với đường thẳng: ( ) d y1 = 24 x + 2008

d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: ( )2

1 2008 24

d y = − x +

2 Cho hàm số

1

x x y

x

− − +

=

+ có đồ thị là (C).

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

c Viết phương trình tt của (C) tại giao điểm của (C) với trụng hoành

d Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1,-1)

e Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến k = -13

3 Cho hàm số 2 1 ó do thi là C ( )

1

x x

x

− −

=

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0

d Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C)

4 Cho hàm số y=x3 −3mx2 −x+3m( )C m Định m để ( )C m tiếp xúc với trục hoành

5 Cho hàm số y= x4 +x3 +(m− )x2−x−m( )C m

1 Định m để ( )C m tiếp xúc với trục hoành

6 Cho hàm số ( )

1

4

+

−

=

x

x y

C Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C)

7 Cho đồ thị hàm số ( )C :y=x3−3x2+4 Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tt với (C)

8 Cho đt hàm số ( )C :y=x4−2x2 +1 Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tt đến (C)

9 đồ thị hàm số ( )C :y =x3−3x+2 Tìm các điểm trên đt y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tt với (C)

I - Mục tiêu:

Trang 3

2 Kĩ năng: Tăng cờng kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức đã học và tìm hiểu 1 số kiến

thức mới nâng cao về khảo sỏt hàm số, các bài toán liên quan.

2 Bài mới:

CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG

1 Tỡm số giao điểm của 2 đường cong

Để tỡm giao điểm của 2 đường cong y = f x ( ) cú đồ thị là ( ) C và 1 y g x = ( ) cú đồ thị là ( ) C 2 thường cú 2 cỏch như sau:

Cỏch 1: - Lập phương trỡnh hoành độ giao điểm f x ( ) = g x ( )

- Số nghiệm của pt trờn chớnh là số giao điểm của ( ) C và 1 ( ) C 2 Cỏch 2: Dựa vào đồ thị để biện luận số giao điểm với 2 đường.

2 Biện luận nghiệm dựa vào đồ thị

- Biến đổi phương trỡnh về dạng f x ( ) = ξ ( ) m (1)

- Phương trỡnh (1) là phương hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng ( ) dm y = ξ ( ) m

song song với trục hoành.

- Cho ξ ( ) m thay đổi từ −∞ đến +∞ trờn trục Oy để tỡm số giao điểm của (C) và ( ) dm

1 Cho hàm số ( )2

1 1

x y x

−

= + cú đồ thị là (C).

a Khảo sỏt và vẽ đồ thị của hàm số.

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh x2− ( m + 2 ) x m − + = 1 0

2 Cho hàm số ( ) (2 )2

y = + x x − cú đồ thị là (C).

a Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số trờn.

b Dựng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh ( 2 )2

x − − m + =

3 Cho hàm số y x = +3 ax2− 4

a Khảo sỏt hàm số trờn khi a = 3.

b Tỡm cỏc giỏ trị của a để phương trỡnh x3+ ax2− = 4 0 cú nghiệm duy nhất.

CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH.

Trang 4

Lí THUYẾT CẦN NẮM:

Cỏc cụng thức về khoảng cỏch: ( ) (2 )2

AB = x − x + y − y

Cho đường thẳng ( ) d Ax+By+C=0

1 Cho hàm số y=x3 −3mx2 −3x+3m+2( )C m Định m để ( )C m cú cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cỏch giữa chỳng là bộ nhất

2 Cho ( )

1

2 2 :

−

+

=

x

x y

C Tỡm tọa độ cỏc điểm M nằm trờn (C) cú tổng khoảng cỏch đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

3 Cho hàm số ( )

1

1 :

2

−

+

−

=

x

x x y

C Tỡm cỏ điểm M thuộc (C) cú tổng khoảng cỏch đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất

4 Cho hàm số ( )

1

2 2 :

−

+

=

x

x y

C Tỡm 2 điểm M, N thuộc hai nhỏnh khỏc nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất

5 Cho hàm số ( )

1

1 :

2

+

+ +

=

x

x x y

C Tỡm 2 điểm M,N thuộc 2 nhỏnh khỏc nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất

6 Cho hàm số ( )

1

1 2 :

2

−

+ +

=

x

x x y C

• Tỡm cỏ điểm A thuộc (C) cú tổng khoảng cỏch đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất

• Tỡm 2 điểm M,N thuộc 2 nhỏnh khỏc nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất

Trang 5

2 Bài mới:

CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH

1 Cho hàm số y=x3 −3(m−1)x2 −3mx+2( )C m CMR: ( )C m luôn qua 2 điểm cố định khi m thay đổi

2

3 Cho hàm số ( ) ( )

2

4 6

2 :

2

+

− +

=

mx

x m x

y

C m CMR đồ thị ( )C m luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi

4 Cho hàm số ( )C m :y=(1−2m)x4+3mx2 −(m+1) Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên

5 CMR: y=(m+3)x3−3(m+3)x2 −(6m+1)x+m+1( )C m luôn đi qua 3 điểm cố định

ĐỒ THỊ CÓ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Cho hàm số ( )

2 2 : 2

−

+

=

x

x x y C

• Khảo sát hàm số

• Định a để pt sau có 4 nghiệm phân biệt a

x

x x

=

−

+

2 2

2

2 Cho hàm số ( )

1

3 3

+

+ +

=

x

x x y C

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m

x

+

+ +

1

3 3

2

3 Cho hàm số ( )

1

4 :

2

−

=

x

x x y C

• Định m để pt x2 +(m− 4)x −m= 0có 4 nghiệm phân biệt

4 Cho hàm số ( )

2

1 :

2

+

− +

=

x

x x y C

• Định m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: x2 +(1 −m)x − 2m− 1 = 0

CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG.

Điểm I(x0; y0) là tâm đối xứng của đồ thị ( )C :y= f( )x ⇔ Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’)

thuộc (C) thỏa:

( ) ( )







= +

0

0 '

2 '

2

y x f x f

x x

x

( ) ( )







=

− +

−

=

⇔

0 0

0

2 2

2

'

y x x f x f

x x x

Vậy I(x0; y0) là tâm đối xứng của (C) ⇔ f( )x =2y0 − f(2x0 −x)

1 Cho hàm số ( )

3 2

2 2 2 :

2

+

+ + +

=

x

m x

x y

C m Định m để ( )C m có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O

2 Cho hàm số ( )

1

2 :

2 2 2

+

+ +

=

x

m x m x y

C m Định m để ( )C m có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O

Trang 6

3 Cho hàm số y x x x ( )C

3

11 3 3

2 3

− + +

−

= Tỡm những điểm trờn (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục tung

4 Cho hàm số y=x3+ax2+bx+c ( )1 Xỏc định a, b, c để (1) cú tõm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;-1)

Ngày soạn: 13/10/2008

2 Bài mới:

CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

Lí THUYẾT CẦN NHỚ: Cho hàm sụ y= f( )x ,đồ thị là (C) Cỏc vấn đề về cực trị cần nhớ:

- Nghiệm của phương trỡnh f x ' ( ) = 0 là hoành độ của điểm cực

trị

( )

0

f x



 <

 thỡ hàm số đạt cực đại tại x x = 0

( )

0

f x



 >

 thỡ hàm số đạt cực tiểu tại x x = 0.

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp

Trang 7

- Để hàm số y = f x ( ) có 2 cực trị

0

a



- Để hàm số y = f x ( ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung

CD CT

y y

⇔ <

- Để hàm số y = f x ( ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung

CD CT

x x

⇔ <

- Để hàm số y = f x ( ) có hai cực trị nằm trên trục hoành 0

CD CT

y y

+ >



⇔  >



- Để hàm số y = f x ( ) có hai cực trị nằm dưới trục hoành 0

CD CT

y y

+ <



⇔  <



- Để hàm số y = f x ( ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔ yCD yCT = 0

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Dạng 1: hàm số y ax = 3+ bx2+ + cx d

- Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Dạng 2: Hàm số

2

y

dx e

+ +

=

+

- Đường thẳng qua 2 điểm cực trị có dạng ( )

2

'

+ +

+

1 Chứng minh rằng hàm số y =x2 m m ( 2 1 ) x m4 1

x m

− luôn có có cực trị với mọi m.

2 Cho hàm số 1 3 2 ( )

3

y = x − mx + m + x − Định m để:

a Hàm số luôn có cực trị

b Có cực trị trong khoảng ( 0; +∞ )

c Có hai cực trị trong khoảng ( 0; +∞ )

3 Định m để hàm số y x = −3 3 mx2+ ( m2− 1 ) x + 2 đạt cực đại tại x = 2

4 Cho hàm số y = x3−3x2+3mx+3m+4

a Khảo sát hàm số khi m = 0

b Định m để hàm số không có cực trị

c Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu

5 Cho hàm số y=x3 −3mx2 +9x+3m−5.Định m để đt hàm số có cực đại cực tiểu, viết pt đt đi qua hai điểm cực trị ấy

6 Cho hàm số ( )

m x

m x m x y

−

+

− + +

= 2 1 1, chứng minh rằng đt hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành

Trang 8

7 Cho hàm số y=x3+(1−2m)x2 +(2−m)x+m+2 Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

8 Cho hàm số

m x

m mx

x y

−

− + +

= 2 2 1 3 2 Định m để đt hs có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục tung

9 Cho hàm số y x mx (2m 1)x m 2( )C m

3

+

−

− +

−

= Định m để hs có hai điểm cực trị cùng dương

Tiêu đề	Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Tác giả	Đỗ Mạnh Cường
Trường học	Trường THPT Khoái Châu
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo án
Năm xuất bản	2008
Thành phố	Hưng Yên

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	315 KB