Tự chọn : Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình

Mục tiêu - Làm cho học sinh nắm được nguyên tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình - Học sinh có kỹ năng biết chọn ẩn số , biểu diễn các số liệu có trong bài toán , biết dựa vào

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

I Mục tiêu

- Làm cho học sinh nắm được nguyên tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình

- Học sinh có kỹ năng biết chọn ẩn số , biểu diễn các số liệu có trong bài toán , biết dựa vào các quan hệ của bài để lập phương trình của bài toán

- Rèn cho học sinh có kĩ năng phân tích bài toán , tổng hợp , tính cẩn thận trong suy nghĩ và trình bày lời giải của bài toán

II Quy trình giảng dạy

A Nhắc lại kiến thức cơ bản :

Tóm tắt quá trình giải ( Theo sách giáo khoa lớp 8 )

Bước 1 : Lập phương trình

- Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn

- Biểu thị số liệu chưa biết qua ẩn

- Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình

Bước 2 : Giải phương trình

Bước 3 : Chọn kết quả thích hợp và trả lời

Dựa vào cơ sở trên , xây dựng nên quy trình giải dạng toán trên sẽ được thực hiện qua các bước sau nhằøm giúp cho học sinh biết tìm hiểu nội dung bài toán , biết phân tích các mối liên hệ có trong bài toán để từ đó biết lập phương trình của bài toán Sau đây là hệ thống các công việc mà học sinh cần phải làm khi tiến hành giải bài toán bằng cáh lập phương trình :

Câu hỏi 1 : Bài toán thuộc dạng nào ?

Câu hỏi 2 : Bài toán này có bao nhiêu đại lượng tham gia? Đó là những đại lượng nào , các đại lượng đó có liên quan với nhau bởi công thức nào ?

Câu hỏi 3 : Trong các số liệu của bài toán , số liệu nào đã biết , số liệu nào chưa biết ?

Câu hỏi 4 : Trong các số liệu chưa biết đó chung có liên quan gì với nhau ?

Câu hỏi 5 : Bài toán yêu cầu tìm số liệu nào ?

- Trong các số liệu chưa biết ta chọn số liệu nào là ẩn ? Xác lập điều kiện của ẩn ?

Câu hỏi 6 : Trong bài toán còn những số liệu nào chưa biết ?

Câu hỏi 7 : Em hãy dùng ẩn số và các số liệu đã biết để biểu thị các số liệu đó qua ẩn?

Câu hỏi 8 : Trong các mối quan hệ giữa các số liệu chưa biếât , còn mối quan hệ nào mà ta chưa dùng đến không ? Em hãy nhắc lại quan hệ ấy

Câu hỏi 9 : Dựa vào mối quan hệ ấy , em hãy lập phương trình của bài toán

 Từ câu hỏi thứ 4 giáo viên có thể hướng dẫn học sinh kẻ bảng để biểu thị các số liệu có liên quan trong bài toán Để điền đúng các giá trị trong bảng GV có thể hướng dẫn học sinh điền các giá trị đã biết vào trong bảng , còn các giá trị chưa biết là các ô trống

ở trong bảng Phần chọn ẩn số là sự lựa chọn một trong các số liệu chưa biết thể hiện

ở trong bảng , nhưng thông thường bài toán yêu cầu tìm gì thì chọn số liệu ấy làm ẩn Nhưng cũng có khi một số bài toán nên chọn ẩn số gián tiếp thì lời giải có phần đơn giản hơn , tôi sẽ trình bày chi tiết cách giải các bài toán bằng cách chọn ẩn số gián tiếp thông qua các ví dụ 4,5 Từ câu hỏi thứ 6 trở đi GV vừa hỏi học sinh và vừa yêu cầu học sinh điền tiếp các số liệu chưa biết khác vào trong bảng , khi nào điền hết các số liệu ở trong bảng thì GV mới thực hiện câu hỏi 8 Như vậy phần phân tích bài toán đã hoàn thành

 Tiếp đó GV gọi học sinh căn cứ vào bảng để trình bày lại phần lập phương trình của bài toán cho hoàn chỉnh

Sau khi học sinh lập được phương trình của bài toán ,giáo viên nên kiểm tra và sửa chữa phần trình bày của học sinh Rồi sau đó gọi một vài em lên giải phương trình của bài

toán Trong thời gian này giao viên tranh thủ kiểm tra việc làm bài của các học sinh

khác.Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình , tôi thường xuyên nhắc đi nhắc lại hệ thông câu hỏi trên, và đã tập cho hocï sinh thói quen biết xem xét và phân tich bài toán để từ đó biết giải dạng toán trên

MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1:

Một dội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40ha đất Nhưng khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha đất

Vì vậy không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm 4 ha nữa Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định

Hướng dẫn (Hệ thống câu hỏi đã nêu ở trên tôi không nhắc lại nữa ,trong phần này tôi chỉ nêu cách trả lời từng câu hỏi theo hệ thống câu hỏi đã nêu ở trên )

@ Trả lời câu hỏi 1 :Đây là dạng toán về công việc

@ Trả lời câu hỏi 2 : Các dữ kiện của bài toán liên quan với nhau theo công thức : Khối lượng công việc = Năng suất  thời gian làm việc

( Năng suất ở đây là số ha đất phải cày trong một ngày )

Các đại lượng tham gia trong bài toán là : Khối lượng công việc dự định ,khối lượng công việc thực hiện , năng suất dự định , năng suất thực hiện, thời gian thực tế làm và thời gian dự định làm

@ Trả lời câu hỏi 3 : Năng suất dự định là 40 ha, năng suất thực tế là 52 ha

Số liệu chưa biết là : Khối lượng công việc dự định và thực tế ; thời gian dự định , thời gian thực tế

@ Trả lời câu hỏi 4 : Khối lượng công việc thực tế hơn khối lượng công việc dự định là 4

ha, Thời gian dự định hơn thời gian thực tế là 2 ngày

 Phần trả lời các câu hỏi tiếp sau tiến hành cùng một lúc với kẻ bảng như sau

40 x

52

4

x 

@ Trả lời câu hỏi 5 : Tìm diện tích ruộng phải cày theo dự định , do vậy ta chọn diện tích ruộng phải cày theo dự định là x ( x > 0 ;ha )

@ Trả lời câu hỏi 6 và 7 : Diện tích ruộng mà đội đã cày được là x+ 4 (ha)

Thời gian đội dự định cày là 40x ( ngày)

Thời gian đội đã cày là x52+4( ngày)

@ Trả lời câu hỏi 8 : Thời gian dự định nhiều hơn thực tế là 2 ngày chưa dùng đến

@ Trả lời câu hỏi 9 : Theo bài ra ta có phương trình

2

52

4

x

40

x







GV gọi học sinh lên trình bày bước lập phương trình và giải phương trình Sau đó hướng dẫn học sinh trả lời bài toán

Ví dụ 2 : Tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km Biết thời gian đi ngược dòng nhiều hơn thời

gian đi xuôi dòng là 1 giờ 40 phút Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng Biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h.

@Trả lời câu hỏi 1:Toán chuyển động đều có liên quan đến vận tốc của dòng nước

Trả lời câu hỏi 2: Công thức QĐ = VT TG

Cụ thể là : QĐ = VTxd TGxd , QĐ = VTnd TGnd; có 7 đại lượng tham gia trong bài toán này :vận tốc thật của ca nô, vận tốc của dòng nước , vận tốc ca nô đi xuôi dòng ,vận tốc ca nô đi ngược dòng ,thời gian đi xuôi dòng ,thời gian đi ngược dòng , quãng đường

@Trả lời câu hỏi 3 : Quãng đường là 80 km , vận tốc dòng nước là 4 km/h

Số liệu chưa biết là :Vận tốc thật của canô ,vận tốc canô đi xuôi dòng ,vận tốc canô đi ngược

dòng ,thời gian ca nô đi xuôi dòng ,thời gian ca nô đi ngược dòng

@ Trả lời câu hỏi 4: Vxd =Vt + Vdn ,Vnd = Vt - Vdn ,thời gian đi xuôi dòng và ngược dòng hết

8 giờ 20 phút =25/3 giờ, TGxd =QĐ : Vxd , TGnd = QĐ : Vnd

 Hướng dẫn học sinh kẻ bảng và điền các giá trị thích hợp vào bảng

Quãng đường

Vận tốc thật của

ca nô

Vân tốc dòng nước

Vận tốc đi của

ca nô

Thời gian

4 x

80

 (giờ)

4 x

80

 ( giờ )

@Trả lời câu hỏi 5 :

Bài toán yêu cầu tìm vận tốc thật của ca nô Do vậy ta chọn vận tốc thật của ca nô là ẩn số

Gọi vận tốc thật của ca nô là x (x>4,km/h) (vận tốc canô > vận tốc dòng nước

@ Trả lời câu hỏi 6 :

Các số liệu cần biểu diễn qua ẩn là : Vận tốc ca nô đi xuôi dòng , vận tốc ca nô đi ngược dòng,thời gian đi xuôi dòng ,thời gian đi ngược dòng

@ Trả lời câu hỏi 7:

Vận tốc ca nô đi xuôi dòng là x +4 (km/h)

Vận tốc ca nô đi ngược dòng là x - 4 (km/h)

Thời gian ca nô đi xuôi dòng là x80+4 ( giờ)

Thời gian ca nô đi ngược dòng là x80-4 ( giờ)

@ Trả lời câu hỏi 8:

Thời gian đi ngược dòng nhiều hơn thời gian đi xuôi dòng là 1 giờ 40 phút là chưa dùng đến , dựa vào quan hệ này mà ta rút ra phương trình của bài toán

@ Trả lời câu hỏi 9:

Theo bài ra ta có phương trình

x80 -4 x804 35





Giáo viên hướng dẫn học sinh lập phương trình và giải phương trình của bài toán

Ví dụ 3: Lúc 6 giờ sáng , một xe máy khởi hành từ A đến B Sau đó 1 giờ một ô tô cũng

xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày Tính quãng đường AB

Bài toán thuộc dạng toán chuyển động đều , trong bài bày thời gian đi của mỗi xe đều đã biết Thời gian đi của xe máy là 9g30’ – 6 g = 3 g 30’ = 3,5 giờ ; của ô tô là 9g30’ –

6 g – 1 g = 2,5 g G V hướng dẫn học sinh phân tích bài toán thông qua việc kẻ bảng kết hợp việc điền các số liệu với các câu hỏi như đã nêu để cuối cùng điền được đầy đủ bảng sau :

Quaõng ñöôøng vaôn toâc Thôøi gian

5 3

x

5 2

x

Quan heô veă vaôn toâc cụa hai xe ta coù phöông trình sau : 20

5 3

x 5 2

x





, ,

Phaăn trình baøy baøi laøm hóc sinh laøm töông töï nhö caùc ví dú tređn

Hoaịc GV coù theơ höôùng daên hóc sinh ñaịt aơn soâ giaùn tieâp ñoù laø chón vaôn toâc cụa xe maùy laø x ; roăi höôùng daõn hóc sinh ñieăn ñaăy ñụ vaøo bạng sau :

Vì cuøng ñi tređn moôt quaõng ñöôøng neđn ta coù phöông trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20)

Trong hai caùch laøm tređn thì caùch thöù 2 caùch giại seõ ñôn giạn hôn

Ví dú 4 : (ví dú 3SGK trang 78) Hai ñoôi dađn cođng cuøng söûa moôt con möông heât 24

ngaøy Moêi ngaøy phaăn vieôc laøm ñöôïc cụa ñoôi I baỉng 121 phaăn vieôc ñoôi II laøm ñöôïc Hoûi neâu moêi ñoôi laøm moôt mình thì moêi ñoôi seõ söûa xong con möông trong bao nhieđu ngaøy ?

Baøi toaùn thuoôc dáng toaùn cođng vieôc , nhöng khoâi löôïng cođng vieôc ñöôïc coi laø 1 ñôn vò cođng vieôc ( Thöïc chaât coù theơ coi khoâi löôïng cođng vieôc laø a , trong quaù trình bieân ñoơi ñái löôïng naøy seõ bò trieôt tieđu vaø khođng ạnh höôûng gì ñeân keât quạ , ñeơ cho tieôn lôïi vaø thoâng nhaât vôùi khaùi nieôm phađn soâ ôû lôùp 6 ta coi khoâi löôïng cođng vieôc laø 1 ñôn vò cođng vieôc ñöôïc bieơu thò bôûi soâ 1 ) Tođi xin trình baøy lái caùch laôp phöông trình cụa baøi toaùn ôû SGK ñeơ caùc bán tham khạo vaø ñoăng thôøi höôùng daên hóc sinh chón aơn soâ giaùn tieâp ñeơ tieôn vieôc so saùnh Caùch laøm ôû SGK : Gói soâ ngaøy maø moôt mình ñoôi II phại laøm ñeơ söûa xong con möông laø x , ta coù bạng soâ lieôu sau

Phaăn vieôc laøm trong 1

3 x

1 2

3



Töø ñieău kieôn cụa baøi ta coù phöông trình : x1  3x 241

Caùch laøm khaùc : Höôùng daên hóc sinh trạ lôøi caùc cađu hoûi nhö caùc ví dú tređn

Khoâi löôïng cođng vieôc = Phaăn vieôc laøm trong moôt ngaøy × Soâ ngaøy laøm vieôc , maø ôû ñađy khoâi löôïng cođng vieôc ñöôïc bieơu thò baỉng 1 , phaăn vieôc laøm trong moôt ngaøy cụa moêi ñoôi chính laø naíng suaât cụa ñoôi ñoù Do vaôy naíng suaât cụa cạ hai ñoôi laø 1/24 cođng vieôc Neẫu chón soâ ngaøy laøm xong cođng vieôc cụa moêi ñoôi laøm aơn soâ thì ta thaây trong bạng soâ lieôu thaây khuyeât soâ ngaøy cụa ñoôi I, song thöïc teâ soâ ngaøy cụa ñoôi I khođng lieđn qua ñeân döõ kieôn naøo cụa baøi cho neđn ngöôøi ta boû qua Chính ñieău naøy laøm cho hóc sinh khođng thaây thoạ maõn vôùi nhöõng gì maø thaăy cođ giaùo höôùng daên ôû tređn Neâu chón aơn soâ giaùn tieâp noù seõ traùnh ñöôïc caùc thieâu soùt ôû tređn Döïa tređn cođng thöùc tređn ta gói naíng suaât cụa ñoôi II laø x thì thôøi gian cụa moêi ñoôi ñöôïc bieơu thò baỉng cođng thöùc 1 : naíng suaât Vôùi suy nghó ñoù ta höôøng daên hóc sinh laôp bạng nhö sau

Kl công việc Năng suất Thời gian làm

xong công việc

Làm chung Thời gian KL công việc đã làm

Dựa vào điều kiện của bài ta có phương trình : 36x + 24x = 1

Giải phương trình ta được x = 601

Vậy thời gian một mình đội II làm xong công việc là 1 : 601 = 60 ( ngày)

Vậy thời gian một mình đội I làm xong công việc là 1 : 











601 5

1, = 40 ( ngày)

Ví dụ 5 : Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B đến

A mất 5 giờ Tính khoảng cách giữa hai bến , biết vận tốc của nước chảy là 2 km/h

Ở bài này nếu chọn ẩn số trực tiếp khi lập phương trình sẽ khó , vì nộâi dung để lập phương trình lại là số liệu không thể hiện trong bài Đó là quan hệ giữa vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng và đi ngược dòng Với bài này thì vậân tốc khi đi xuôi dòng hơn vận tốc đi ngược dòng bằng 2 lần vận tốc của dòng nước , cho nên Vxd - Vnd = 4 km/h Do vậy nếu chọn quãng đường AB là x thì phương trình phải lập sẽ là : 4

5

x 4

x



 Như vậy cách giải bằng cách chọn ẩn số trực tiếp là khó đối với học sinh , cho nên nhiều giáo viên hướng dẫn học sinh giải bằng cách chọn ẩn số gián tiếp Việc phân tích cách giải tôi làm tương tự như

ví dụ 2 cho nên tôi không tiện viết ra mà chỉ tập trung phân tích mối liên quan giữa các số liệu để dẫn đến việc lập phương trình

Ta biết QĐ = Vxd × TGxd = Vnd × TGnd , mà Vxd = Vt + Vdn = Vt + 2 và Vnd = Vt – Vdn =

Vt – 2 Mà thời gian đi xuôi dòng hay ngược dòng đã biết , vì vậy để tìm QĐ ta phải tìm

Vxd hoặc Vnd Mà hai đại lượng này lại liên quan đến vận tốc của ca nô khi nước yên lặng ( Vận tốc thực của ca nô) Do vậy chọn vận tốc của ca nô đi khi nước yên lặng là x (km/h ,

x > 2 ) Hướng dẫn học sinh lập bảng như sau :

Vì ca nô cùng đi trên một đoạn đường nên ta có phương trình

4(x + 2) = 5( x – 2) Giải phương trình ta được x = 18 ( km/h)

Quãng đường AB là 4(18 + 2) = 80 (km)

Ví dụ 5 : Lan mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 120000 đ , trong đó tính cả 10000 đ

tiền thuế giá trị gia tăng (VAT) , biết thuế VAT đối với loại hàng thứ nhất là 10% và đối với lạo hàng thứ hai là 8% Hỏi không kể thuế VAT thì Lan phải trả mỗi loại hàng là bao nhiêu tiền ?

Biết a là giá tiền của loại hàng , b% là tiền thuế VAT thì số tiền để mua hàng tính cả thuế là a + b%.a Do vậy từ điều kiện của bài thì số tiền để mua hai loại hàng là 120000 đ – 10000 đ = 110000 đ Cho nên các đại lượng tham gia trong bài toán là : số tiền để mua mỗi loại hàng ; số tiền thuế để trả cho mỗi loại hàng Do vậy ta có thể kẻ bảng gồm 4 ô chưa biết , trong đó ta có thể chọn số tiền trả cho việc mua loại hàng thứ nhất là x , rồi sau đó ta biểu thị các đại lượng chưa biết khác thông qua việc điền các số liệu vào bảng sau :

Số tiền mua hàng số tiền thuế VAT

Thứ nhất x 10%x

Quan hệ về số tiền thuế phải trả là 10000 đ , để từ đó ta rút ra phương trình của bài toán

10% x + 8%(110000 – x) = 10000

Sau đây là một số bài toán để vận dụng quy trình trên:

Bài toán 1

Một bể nước có dung tích 664 lít ,người ta mở vòi nước nóng mỗi phút chảy được 27 lit ,rồi sau đó khóa vòi nước nóng lại Người ta mở tiếp vòi nước lạnh mỗi phút chảy được

34 lít Tổng số thời gian mở cả hai vòi chảy đầy bể là 22 phút Hỏi người ta đã mở mỗi vòi trong bao lâu ? Bài toán 2

Một nhà máy dự định hoàn thành kế hoạch trong 30 ngày Do không ngừng cải tiến kỹ thuật cho nên sau 28 ngày không những hoàn thành kế họch mà còn vượt mức 32 sản phẩm Hỏi nhà máy đó đã sản xuất bao nhiêu sản phẩm ?

Bài toán 3

Trong tuần đầu hai tổ công nhân sản xuất được 1500 bộ quần áo Sang tuần thứ hai

tổ 1 vượt mức 25% ,tổ thứ 2 giảm mức 18% , do đó trong tuần này cả hai tổ sản xuất được

1617 bộ quần áo

Bài toán 4

Lúc 4 giờ 30 phút ,một máy bay cất cánh từ thành phố A dến thành phố B với vận tốc 500

km/h Khi đến thành phố B ,máy bay nghỉ lại 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc 400 km/h Nó tới A lúc

11 giờ 45 phút Tính khoảng cách từ A đến B

Bài toán 5

Hai lớp 8A và 8B có cùng một số tiền để mua phần thưởng Lớp 8A mua loại vở giá 1000 đ ; lớp 8B mua loại vở giá 1200 đ Lớp 8B còn thừa 3000 đ và lớp 8A cong thừa 5000đ và mua nhiều hơn lớp 8B là

1 quyển vở Hỏi mỗi lớp mua được bao nhiêu quyển vở?

Bài toán 6

Trường THCS Lạc Long Quân đầu năm có số học sinh khối 7 gấp đôi số học sinh khối 9 Cuối học kỳ I khối 7 có 30 em xin chuyển trường ; nhưng khối 9 nhận thêm 10 em , cho nên số học sinh khối 9 bằng 5/9 số học sinh khối 7 Hỏi dàu năm mỗi khối có bao nhiêu học sinh ?

Bài toán 7

Một ôtô đi từ Lạng sơn về Hà nội , sau khi đi được 43 km ôtô dừng lại 40 phú Để về tới Hà nội kịp giờ đã định ôtô đi với vâïn tốc bằng 1,2 vận tốc trước.Tính vận tốc trước của ôtô Biết rằng Lạng sơn cách Hà nội 163 km

Bài toán 8 Một ôtô du lịch đi từ A đến B với vận tôc 50 km/h ,sau khi đi được 24 phút ôtô giảm vận tốc

10 km/h Do đó dến B chậm mất 18 phút Tính quãng đường từ A đến B.

Bài toán 9 : Hai thành phố A và B cách nhau 50 km Một người đi xe đạp từ A đến B Sau đó 1 giờ 30 phút một người đi xe máy cúng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1 giờ Tính vân tốc của mỗi xe Biêt rằng vận tốc của người đi xe máy bằng 2,5 lân vận tốc của người đi xe đạp

Người viết : Phạm duy Hiển