TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.
Trang 1
Dạng 1: Tìm m để hàm số tăng (giảm)
1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
Tập xác định
Đạo hàm y/
Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng
xác định): y/ 0 x R
0
0
a
Giải tìm m Chú ý:Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì
phải xét khi a = 0
Tương tự cho hàm số giảm:
y/ 0 x R
0
0
a
2.Hàm số nhất biến :
d cx
b ax y
Tập xác định
Đạo hàm y/
Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác
định : y/ > 0 ( y / < 0 ) Giải tìm m
Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét
thêm c = 0
Dạng 2: Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trị
Tập xác định
Đạo hàm y/
Giải phương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0
Đạo hàm y//.Tính y//(x0)
* Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
* Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0
Dạng 3: Tìm m để hàm số bậc 3 có cực đại ,
cực tiểu
Tập xác định R
Đạo hàm y/
Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai
nghiệm phân biệt
0
0
a
Giải tìm m
Dạng 4: Tìm m để hàm số bậc 4 có cực đại , cực tiểu (cĩ 3 cực trị)
yax bx c
Tập xác định R
Đạo hàm 3
y/ = 0 3
2
0
4 2 0 (1)
4 2 0 (2)
x
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y/ = 0 có ba nghiệm phân biệt pt(2) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 0
Giải tìm m
Dạng 5 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0
Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số đạt cực trị tại x0 :
y/(x0) = 0 giải ra tìm m
Thử lại
Chú ý:
Đạo hàm y//.Tính y//(x0)
* Nếu y // (x 0 ) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
* Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0
Dạng 6: Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0
Tập xác định Đạo hàm y/= f/ (x) Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi
0 ) (
) (
0 ) (
0 //
0 0 0 /
x f
y x f
x f
Dạng 7 Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b]
Tìm xi [a,b]: f/(xi) = 0 hoặc f/(xi) không xác định
Tính f(a), f(xi) , f(b)
Kết luận max max ( ); ( ); ( )i
min min ( ); ( ); ( )i
MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN LIÊN
QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Trang 2Dạng 8: Tiếp tuyến của đường cong ( C)
1.Tiếp tuyến tại M(x 0 ,y 0 ): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0
2.Tiếp tuyến đi qua A(x A , y A ):
(d): y = k.(x – xA) + yA = g(x)
Điều kiện tiếp xúc:
) ( ) (
) ( ) (
/ /
x g x f
x g x f
3.Tiếp tuyến sg sg (d) yaxb thì f x0 a
4.Ttuyến vuông góc (d):yaxb thì 0
1
a
Dạng 9; Dùng đồ thị (C) biện luận số
nghiệm phương trình f (x) – g(m) = 0
Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*)
Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của
(C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox )
Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương
trình (2 đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm thì
phương trình cĩ bấy nhiêu nhiệm)
Dạng 10; Biện luận số giao điểm của ( C)
và d
(d): y = k(x – xA) + yA = g(x)
Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
Nếu (*) là phương trình bậc 2:
1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)
2) Xét a 0 : + Lập = b2 – 4ac
+ Xét dấu và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
0
0
a
Nếu (*) là phương trình bậc 3:
1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0
(2) ) ( 0
2
0
x g C
Bx
Ax
x x
2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0
3) Tính của (2), xét dấu và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi
phương trình (2) có 2 n o pb x 1 , x 2 khác x 0 )
0 ) ( 0 0
0
) 2 (
x g A
ĐẠO HÀM
2
/ /
2
/ / /
/ /
/ /
/
/ / /
5
) 0 (
4
3
2
1
v
v C v
C
v v
u v v u v u
v C v C
v u v u v u
v u v u
x x
x x
x x
x x
x x
a x x
e e
a a a
x x
x x
x x
x C
a
x x
x x
2 /
2 /
/ / / / / / / 2 /
1 /
/ /
sin
1 cot
18
cos
1 tan
17
sin cos
16
cos sin
15
1 ln
14
ln
1 log
13
12
ln
11
2
1
10
1 1
9
8
1
7
0
6
sin cot
cos tan
sin cos
cos sin
ln
ln log
ln
2
1
2
/ /
2
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ / 2
/ /
/ 1 /
u
u u
u
u u
u u u
u u u u
u u
a u
u u
u e e
u a a a
u
u u
v
v v
u x u
a
u u
u u
d cx
b ax y
) (cx d
bc ad y
2 2 2 2
1 1 2 1
20
c x b x a
c x b x a y
Trang 3
2 2 2 2
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2 2
1 1
/
2
c x b x a
c b
c b x c a
c a x b a
b a
y
Trang 4
LŨY THỪA
a a a
an .
( n thừa số)
n
m n
m
n m n
m
n n
a
a a
a a
a
a
a
a
1
1
0
n n
n m n
m
n m m n n
m
n
n n
n n n
a a
a a
a a
a
b a
b a b
a
1
.
) ( ) ( b
a
)
(
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
) ( ) (
) ( )
) ( ) (
1 0
x g x f
x g
x
f
D D
a x
g x f
a a
a
0 ) ( ) ( )
1 (
0
) ( )
(
x g x f a
a a
a f x g x
) ( ) (
thì
1
a
0
) ( ) (
ì th
1
a
) ( ) (
) ( ) (
x g x f a
a
x g x f a
a
x g x f
x g x f
LOGARIT
) 1 a 0 N
a,
(
log
a
N
aN
log
0 1 log
1 log
aa
N
N
log a
a
N k
N N
k N
a N
N N
a a
N N
N N
N
N
N N
N
N
a k
a a
N a
b a
b
b a
a a
a a
log log
log
1 log
log
1 log
log log
log log
log log
log log
log
log log
log
k
a
b
2 1
2
1
a
2 1
2 1
a
) ( ) ( 0 ) ( log ) ( log thì
1
a
0
0 ) ( ) ( ) ( log ) ( log thì
1
a
a
a
x g x f x
g x
f
x g x f x g x
f
a
a
g(x) f(x)
) 0 g(x) ( 0 ) (
1 0
) ( log ) (
a x
g x
a
0 g(x)]
-1)[f(x)
-(a
0 g(x)
0 ) ( 1 0
) ( log ) (
a x
g x
a
SỐ PHỨC
* i2 1
*
2
1
z
z
z
* z ab.i a2 b2
*z ab.izab.i
* z z a2 b2
d b
c a i d c i b
*
) )(
(
) )(
(
i b a i b a
i b a i d c i b a
i d c
*z1z2 z1z2
*z1z2 z1z2
*
2 1 2
1 2 1 2
1 ;
z
z z
z z z z
1 ab.i.Gọi là căn bậc 2 của , ta có:
2
2
2 2 2
2
b a a i b a a
2
2
2 2 2
2
b a a i b a a
2
r b r a b a r i
r z
sin
cos )
sin (cos
2 2
3 z1.z2 r1r2[cos(12)i.sin(12)]
2 1 2
1 i
r
r z z
5 1 1[cos()i.sin()]
r z
6 r(cosi.sin)n r n(cosni.sinn) (cosi.sin)n (cosni.sinn)
TÍCH PHÂN
Trang 5
) cot(
1 ) ( sin
cot sin
)
10
) tan(
1 ) ( cos
tan
cos
)
9
) sin(
1 ) cos(
sin
cos
)
8
) cos(
1 )
sin(
cos sin
)
7
ln
1 ln
)
6
1 )
5
) (
1 1 ) (
1
1
)
4
ln
1 ln
1
)
3
1
) ( 1 )
( 1 )
2
)
1
2 2
2 2
) ( )
(
) ( )
(
2 2
1 1
b ax a
b ax
dx x
x
dx
b ax a b ax
dx x
x
dx
b ax a dx b ax x
xdx
b ax a
dx b ax x
xdx
C a
a c dx a C a
a
dx
a
C e
a dx e C e
dx
e
C b ax a b ax
dx C
x
dx
x
C b ax a b ax
dx C
x
dx
x
C b
ax a dx b ax C
x
dx
x
C kx kdx C
x
dx
d cx d
cx x
x
b ax b
ax x
x
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
1.f(e u(x)).u/(x)dx Đặt t u (x)
2 (ln ).1dx
x
x
3 f(n axb).dx
Đặt n
b ax
4.f(sinx,cosx)dx
• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công
thức hạ bậc:
2
2 cos 1 sin , 2
2 cos 1 cos2 x x 2 x x
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt
2 tan x
t
5 f( a2 x2).dx Đặt xasint
6 f( a2 x2).dx Đặt xatant
7 f( x2 a2).dx Đặt
t
a x
cos
8 ( 1 )
2
2 dx
a x
a x x
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
b
a b
a
vdx u a
b v u dx v
dx e x
P ax b
)
e a v e
v
x P x
P u
1 chon
) ( u
có ta ) (
/
/ /
dx b ax x
P
( ).cos( )
Đặt:
) sin(
1 chon ) cos(
) ( u
có ta ) (
/
/ /
b ax a v b
ax v
x P x
P u
dx b ax x
P
( ).sin( )
Đặt:
) cos(
1 chon ) sin(
) ( u
có ta ) (
/
/ /
b ax a
v b
ax v
x P x
P u
dx x u x P
( ).ln ( )
Đặt:
dx x P v x
P v
x x
u
) ( chon
) (
1 u có ta ln
/
/
Chú ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản
hơn còn v/ là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân mà nguyên hàm của phần này đã biết
DIEÄN TÍCH , THEÅ TÍCH
dx y y V
dx y
b x a x
C C
H
b
a
C C Ox
C
2 2 2 1
b
a
2 C1
2 1
y S
b) (a ,
) ( và ) ( ) (
dy x
d d y c y
C C
H
d
c
C C Oy
C
2 2 2 1
d
c
2 C1
2 1
x S
) (c ,
) ( và ) ( ) (
Trang 6hoctoancapba.com
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
2 1
2 1 1 3
1 3 3 2
3 2
3 3 2 2 1 1
3 3 2 2 1 1
3 3 2 2 1
1
3 3
2 2
1 1
2 3 2 2 2
1
3 2 1
3 3 2 2 1 1
2 2
2
, ,
a
10
0
0
a
9
0
//
a
8
a
7
a
6
a
5
, ,
a
k
4
, ,
3
2
) ,
, (
1
b b
a a b b
a a b b
a a
b
b a b a b a b
a
b
b
a b
a b
a b
a b k a
b
b a b a b
a
b
b a
b a
b a b
a a a
ka ka ka
b a b a b a
b
a
z z y
y x
x AB
AB
z z y y x x
AB
A B A
B A
B
A B A B A B
c
b,
,
a
11 đồng phẳng ab.c0
c
b,
,
a
12 khơng đồng phẳng ab.c0
13 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
k
kz z k
ky y k
kx x
1 1
1
14 M là trung điểm AB
2
, 2
, 2
B A B A B
x
M
15 G là trọng tâm tam giác ABC
, 3
, 3
, 3
C B A C B A C B
x
G
16 Véctơ đơn vị : e1 (1,0,0);e2 (0,1,0);e3 (0,0,1)
17 M(x,0,0)Ox;N(0,y,0)Oy;K(0,0,z)Oz
18 M(x,y,0)Oxy;N(0,y,z)Oyz;K(x,0,z)Oxz
2
1 2
1
a a a AC
AB
20 V ABCD (AB AC).AD
6
21 V ABCD.A/B/C/D/ (AB AD).AA/
CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
A,B,C là ba đỉnh tam giác [ AB, AC ] ≠ 0
S ABC =
2
1
AC]
, [AB
Đường cao AH =
BC
SABC
2
S hbh = [AB ,AC]
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
ABCD là hbh ABDC
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
AC ,
AB ] AD ≠ 0
V td =
6
1
AD AC]
, [AB
Đường cao AH của tứ diện ABCD
AH S
V BCD 3
1
BCD
S
V
AH 3
Thể tích hình hộp :
/ / / / / AB;AD.AA
V ABCD A B C D
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1 H là hình chiếu của M trên mp
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp : ta có a d n
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
2 H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
Viết phương trình mp qua M và vuông góc với (d): ta có n a d
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
Dạng 5 : Điểm đối xứng 1.Điểm M / đối xứng với M qua mp
Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1)
H là trung điểm của MM/
2.Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d:
Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
H là trung điểm của MM/ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Trang 7TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Vectơ pháp tuyến của mp :
n≠0 là véctơ pháp tuyến của n
2 Cặp véctơ chỉ phương của mp :
a b là cặp vtcp của a ,b cùng //
3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a ,b: n = [ a ,b]
4 Pt mp qua M(x o ; y o ; z o ) có vtpt n = (A;B;C)
A(x – x o ) + B(y – y o ) + C(z – z o ) = 0
() : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ;
C(0,0,c) : xabycz 1
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7 Chùm mặt phẳng : giả sử 1 2 = d trong đó
(1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :
m(A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + n(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0
8 Vị trí tương đối của hai mp (1) và (2) :
° cắtA1:B1:C1A2:B2:C2
°
2 1 2 1 2 1 2
1
//
D
D C
C B
B A
A
°
2 1 2 1 2 1 2
1
D
D C
C B
B A
A
ª A1A2B1B2 C1C2 0
9.KC từ M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) đến () : Ax + By + Cz + D = 0
2 2 2
o o o
C B A
D Cz By Ax
) d(M,
10.Góc giữa hai mặt phẳng : 1 2
.
.
n n
n n
) , cos(
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:
AB,
AC °
]
) (
[ AB , AC n
vtpt
qua
C hay B hay A
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
AB vtpt
AB điểm trung M qua
n
Dạng 3: Mặt phẳng qua M và d (hoặc AB)
°
)
(AB
n
(d) nên vtpt ad Vì
M qua
Dạng 4: Mp qua M và // : Ax + By + Cz + D = 0
°
quaVì M// nênvtpt n n
Dạng 5: Mp chứa (d) và song song (d / )
Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
Mp chứa (d) nên a d a
Mp song song (d/) nên a d/ b
■ Vtpt na d,a d/
Dạng 6 Mp qua M,N và :
■ Mp qua M,N nên MN a
■ Mp mp nên n b
°
] ,
n n
vtpt
N) (hay M qua
Dạng 7 Mp chứa (d) và đi qua
■ Mp chứa d nên a d a
■ Mp đi qua M(d)và A nên AM b
°
] , [ AM n
vtpt
A qua
d a
MẶT PHẲNG
//
Trang 8TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua
M(x o ;y o ;z o ) có vtcp a= (a 1 ;a 2 ;a 3 )
t a z
z
t a y
y
t a x
x
(d)
3 o
2 o
1 o
:
2.Phương trình chính tắc của (d)
3
z z a
y y a
x
x
1
3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp 1 và 2
0 D z B
x A
0 D z B
x A
(d)
2 2 2 2
1 1 1 1
C y
C y
Véctơ chỉ phương
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1
, ,
B A
B A A C
A C C B
C B a
4.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :
(d) qua M có vtcp ad; (d’) qua N có vtcp ad /
d chéo d’ [ad
, /
d
a ].MN ≠ 0 (không đồng phẳng)
d,d’ đồng phẳng [ad, /
d
a ].MN = 0
d,d’ cắt nhau [ad,ad / ]0 và [ad,ad / ].MN =0
d,d’ song song nhau { ad
// /
d
a và M (d/) }
d,d’ trùng nhau { ad // ad / và M(d/) }
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp ad
; (d’) qua N có vtcp /
d
a
Kc từ điểm đến đường thẳng:
d
d
a
AM a d A d
]
; [ ) ,
Kc giữa 2 đường thẳng :
]
; [
]
; [ )
; (
/
/
/
d d
d d
a a
MN a
a d
d
6.Góc : (d) có vtcp ad
; ’ có vtcp /
d
a ; ( ) có vtpt n
Góc giữa 2 đường thẳng :
/
/
.
'
d d
d d
a a
a a
) d cos(d,
Góc giữa đường và mặt :
n a
n a
d
d
.
) sin(d,
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B
AB a
Vtcp
hayB quaA
d
d
) (
) (
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ()
d a vtcp nên ( //
(d) Vì
qua
A
d )
(
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp
nên vtcp ad n (
(d) Vì
qua
A
d )
(
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên : d / =
Viết pt mp chứa (d) và vuông góc mp
]
; [
) ( ) (
) (
n a n
b n
a a d
d quaM
d
d
ª
) (
) ( ) ( /
d
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d 1 ),(d 2 )
] d a , d a a vtcp
qua
)
A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d 1 và d 2 :
+ Tìm a d = [ ad1, ad2]
+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d) d =
Dạng 7: PT qua A và d cắt d 1 ,d 2 : d = với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)
Dạng 8: PT d // và cắt d 1 ,d 2 : d = 12
với mp1 chứa d1 // ; mp2 chứa d2 //
Dạng 9: PT d qua A và d 1 , cắt d 2 : d = AB
với mp qua A, d1 ; B = d2
Dạng 10: PT d (P) cắt d 1 , d 2 : d = với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 , (P)
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0
Trang 9TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R
S(I, R) : x a 2 y b 2 z c2 R 2 (1)
S(I, R) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0(2)
(với a2b2c2d0)
Tâm I(a ; b ; c) và R a2b2c2d
2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho (S): xa2 yb2 zc2R2
và : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S)
đến mp :
d > R : (S) =
d = R : tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, :
tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp )
Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mp : ta có a d n
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
d < R : cắt (S) theo đường tròn có pt
0 D Cz By Ax
:
R c z b y a x
:
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính r R2d2(I,)
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)
Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mp : ta có a d n
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
t a z z
t a y y
t a x x
d
3 o
2 o
1 o
(S): xa2 yb2 zc2 R2 (2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª S(I, R) : x a 2 y b 2 z c2 R 2(1)
Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
Tâm I là trung điểm AB
Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp
2 2 2
.
) (
C B A
D I z C I y B
S
d(I, ) A.xI R
I tâm cầu mặt Pt
Dạng 4: Mặt cầu tâm I và tiếp xúc ()
) d(I, R
I tâm
)
(S
Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2) S(I, R) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0
A,B,C,D mc(S) hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)
S(I, R) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0(2) A,B,C mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α) Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
Tiếp diện của mc(S) tại A : qua A,vtpt nIA
Dạng 8: Mặt phẳng tiếp xúc (S) và
+ Viết pt mp vuông góc : na (A,B,C)
+ Mp : Ax + By + Cz + D = 0 + Tìm D từ pt d(I , ) = R
Dạng 9: Mặt phẳng tiếp xúc (S) và // 2 đt a,b :
R d(I,
từ
0 Cz
By Ax : pt
] b , a [ n
D
D
Dạng 10: Mp chứa và tiếp xúc mc(S) :
n m, d(I,
R
chứa mp chùm thuộc
MẶT CẦU
