Đề cương ôn thi toán 12 HK1 hot

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a√2, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=AC.. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a .

ĐỀ CƯƠNG

ÔN TẬP HỌC KỲ 1 MÔN TOÁN 12

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Bài toán 1 :Tìm m để hàm số tăng ( hoặc giảm ) trên D

Để hàm số tăng: ' 0y  hoặc giảm: ' 0 y  ( x D)

0

a

 







0

a

 









1 Cho hàm số: y = f(x) = x3 – 3mx2+3(2m – 1)x +1

Xác định m để hàm tăng trên tập xác định

2.Tìm m để hàm số : 3

2

mx y

x mx





  nghịch biến trong từng khoảng xác định của nó

Bài toán 2: Điểm cực trị − Cực đại− cực tiểu

Cách 1:

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x0 :y/ (x0) = 0 và y/ đổi dấu từ “ – “ sang “ +” + Hàm số đạt cực đại tại x0 : y/ (x0) = 0 và y/ đổi dấu từ “ + “ sang “–”

Cách 2:

 Hàm số đạt cực trị tại x0 khi:

/ 0 //

0

( ) 0 ( ) 0

f x

f x









 Cực đại: y/ (x0) = 0 và y// (x0) < 0

 Cực tiểu : y/ (x0) = 0 và y// (x0) > 0

1 Tìm m để hsố : y=(m+2)x3 +3x2 +mx −5 có CĐ,CT

2 Cho hàm số y= f(x = x3 – 3mx2+ 3(m2−1)x + m.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x0 = 2

3 Tìm m để hàm số y = f(x) = mx3 + 3x2 +5x +m đạt cực đại tại x0 = 2

4 Tìm m để hs: y=mx4 +(m2−9)x2 +10 có 3 điểm cực trị

Bài toán 3 : Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a ; b]

 Tìm xi [a,b]: f/(xi) = 0 hoặc f/(xi) không xác định

 Tính f(a), f(xi) , f(b)

[ ; ]

max max ( ); ( ); ( )i

a b y f a f x f b ; min[ ; ]a b ymin ( ); ( ); ( )f a f x f b i 

1- Tìm GTLN,NN của các h.số trên đoạn chỉ ra:

a)y2x33x21 trên [-2;-1/2] b)yx5 5x320x2 / [-2;2] c) y = 2x3 – 3x2 – 12x + 1 trên 2;5

2



  d) y = x3 – 3x + 3 trên [-2; 2] e) yx4 2x23 trên đoạn 3;2 f) yx64 1  x23trên 1;1

2

i) 3 1

3

x

y

x





 trên đoạn 0;2 j)

2

1 1

x y x





 trên 1;2

k) y 9 3 x trên đoạn [-1;1] l) y 3 2 x trên [ - 3 ; 1]

m) y 3x 5 trên đoạn [2;3] n) y 6x4 trên đoạn [0; 2]

2- Tìm GTLN, GTNN của hsố trên đoạn chỉ ra:

a) yx2 3x2 trên đoạn [-10,10] b) y =| x2 + 4x – 5 | trên [ -6; 6] c) y = | x2 – 4x| trên đoạn [ -5; 5] d) y = |x2 - 9| trên đoạn [- 4 ; 4] e)

1

y

x

 



3

x

 trên [2; 9]

2

x

  

 trên đoạn [-1;2] h) 4

1

x

 

 trên đoạn [0;2] 3- Tìm GTLN, GTNN của hsố

a) y  x  1   x  9 b) y 6 x 4x

c) y  x  4 x  2 d) y 5 4 x x 2

e)  y (x 2) 4 x 2 f) y x2 2x trên [4; 8]

g) y= x  2  4  x h) y= 6x+ 10 4x  2

2sin sin

3

2



  j) y = 2 cos2x4 sinx trên  

0;  2

Bài toán 4 : Các dạng phương trình tiếp tuyến

1 Cho đồ thị  :   1 3 2 1

3

C yf x  x  x  x Hãy viết phương trình tiếp

tuyến của (C ) tại điểm uốn của ( C).

2 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C): yx3 3x22 tại các giao đểm của nó với trục hoành

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1

1

y x

 



 , biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng y x

4 Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx3 3x2, biết tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng

3

x

y 

5 * Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của

(C) qua điểm A(0 ; 3).

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

1/ Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.

1o Tìm TXĐ

2o Xét sự biến thiên

a) Giới han – Tiệm cận

b) Lập bảng biến thiên

3o Vẽ đồ thị

- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)

- Xác định một số điểm dặc biệt của đồ thị ( Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ)

- Nhân xét đồ thị : Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng

2/.Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0)

Pt y’ = 0

có hai

nghiệm

phân

biệt

2

-2

O

2

-2

Pt y’ = 0

có

nghiệm

kép

Pt y’ = 0

vô

4

2

3 Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)

Pt y’ =

0 có ba

nghiệm

phân

biệt

-2

2

Pt y’ =

0 có

một

nghiệm

2

-2

4 Hàm số y = ( 0,  0)





bc ad c

d cx

b ax

D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0

4

2

4

2

-2

BÀI TẬP TỔNG HỢP

1 Cho hàm số yx3 3x1 có đồ thị (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm m để pt x3 3x6 2 m  có 3 nghiệm phân biệt0

c)*Viết pttt với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm A1; 6 

2.*Cho hàm số: yx3 3mx24m3 có đồ thị (C m)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = −1

b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT đối xứng nhau qua đường thẳng y x

c) Xác định m để đường thẳng y xcắt (C m) tại 3 điểm A, B, C sao cho

AB = BC

3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) : y = x2 − x3

b) * Đường thẳng d qua A(−1;2) và có hệ số góc k Xác định k để d

tiếp xúc với (C) Xác định tiếp điểm.

4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) :yx33x1

b)Tìm m đề phương trình: x3 3x m 0có hai nghiệm dương phân biệt

5 Cho hàm số y=x3 mx m 1 (Cm) (Đề TN)

a) Khảo sát hàm số (C3)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C3) tại điểm M mà xM=2

6 cho hàm số y x4mx2 m1 có đồ thị (C m)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = −1

b) Dựa vào đồ thị (C1), hãy biện luận theo k số nghiệm của phương trình sau: 4 (1x2  x2) 1  k

c) Viết pttt với (C1)biết tiếp tuyến song song với đthẳng 1 2

2

7 Cho hàm số yx42x21 có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Dùng đồ thị (C ), biện luận theo msố nghiệm thực của phương trình

2 2

2

m

x   

8.Cho hàm số y = x4 – 2x2 +3, có đồ thị là ( C )

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao của ( C ) với trục Oy

9 Cho hàm sốyx4 2x21

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C hàm số trên.

b) Tìm m để phương trình x42x2m có 4 nghiệm phân biệt.0

10 Cho hàm số: y x42(m1)x2 2m1 có đồ thị (C m)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 4

b) Tìm m để ( C m) có 3 cực trị

11 Cho hàm số: 1 4 2

2

y  x  ax b ( a, b là tham số ) a) Xác định a, b để hàm số cực trị bằng – 2 khi x = 1

b) Khảo sát và vẽ đồ thị khi a 1, 3

2

b 

12 Cho hàm số y = x4 +2(m – 2).x2 +m2 – 5m + 5, (Cm)

a) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

c) Tìm a để phương trình x4 – 2x2 – a = 0 có 2 nghiệm phân biệt

13 Cho hàm số y=x4 2x21 có đồ thị (C) (TN PB07)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C)

14 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C):y2x44x22

b)* Dùng đồ thị (C) tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 2x44x2 2m 0

15 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=3 2

1

x x



 (TN Phân ban 08) b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm tung độ bằng −2

16.Cho hàm số 2 3

3

x y x





  ( C )

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

b) Gọi A là giao điểm của đồ thị với trục tung Tìm phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A

17 a) Khảo sát hàm số

1

1 2







x

x

y có đồ thị là (C) b) Viết phương trình đường thẳng qua M(1 ; 0) cắt (C) tại hai điểm A, B nhận M làm trung điểm

PHƯƠNG TRÌNH MŨ − LOGARIT

a

a  b u  b (b >0); logau = b  u = ab (ĐK u > 0)

( ) ( )

( ) ( )

1

f x g x

f x g x

a a











a











Vấn đề 1: Phương trình mũ

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số Giải các phương trình sau

a) 2x 4 34

2

2x  x 16 2 c) 32x 3 9x2  3x 5

 d) 2x2 x 8 41 3  x

 e) 52x + 1 – 3 52x -1 = 110 f)

17 5

3

7 1

4

x x

x x







  g) 2x+ 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2 h) (1,25)1 – x = (0,64)2(1  x)

Dạng 2 đặt ẩn phụ : Giải các phương trình

a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0

c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 d)

1

e) 5 x 53  x 20

g) 251x 3.101x 2.91x h)4 15 x  4 15x 2

Vấn đề 2: Phương trình logarit

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số giải các phương trình

a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x + 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0 e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2 g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1) h) log3xlog 93 x2 9

2

log 4 log ( x1) 1 log (4   x ) j) log3 x + log x + 3 1

3

log x = 6

2

log 4.3x 6 log 9x 6 1

    l) log 32 x 1 log 2.3 2 x 2 2

2 log x 1 log x-1 n) log 5x x2 8x3 2

Dạng 2 đặt ẩn phụ giải phương trình

h

4 ln x2 ln x b) logx2 + log2x = 5/2

c) logx + 17 + log9x7 = 0 d) log2x + 10log2x  6 9 e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

2 log x3log xlog x2 h) lg 16 l g 64 3x2  o 2x 

i)4log9x log 3 3x  J)log 5x x2 8x3 2

k) 2 

log x1  6log x 1 2 0 30) 2

log x log x 1 1

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ − LOGARIT

* a 1 a f x) a g x) f(x) g(x)









loga f(x)loga g(x)  f(x)g(x)0

* 0a1 a f x) a g x)  f(x)g(x)

loga f(x)loga g(x)  0 f(x)g(x)

* Giải các bất phương trình.

1) 32 5 1





x

2) 27x <

3

1

2

1 2 5 4













 x  x

4) 62x 3 2x 7.33x 1

5) 9 3 1 4



 x

x

6) 3x – 3-x+2 + 8 > 0

7) log3 4 243





x

x

8) log (5 1) 5

2

9) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5)

1

2 1 (log

3





x x

11) log2x + log24x – 4 > 0 12) log 3 log 0

3



x

13) log2(x + 4)(x + 2) 6

1

1 3





x

x

x

15) log4 x 3 1 16) log2x + log3x < 1 + log2x.log3x

PHẦN HÌNH HỌC I/ Các cơng thức thể tích của khối đa diện:

1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG

TRỤ:

V= B.h

với B : diện tích đáy

h : chiều cao







B h

a) Thể tích khối hộp

chữ nhật:

V = a.b.c

với a,b,c là ba kích

thước

b) Thể tích khối lập

phương:

V = a3

với a là độ dài cạnh

2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:

V=1

3Bh

với B : diện tích đáy

h : chiều cao







3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ

DIỆN:

Cho khối tứ diện SABC và

A’, B’, C’ là các điểm tùy ý

lần lượt thuộc SA, SB, SC

ta cĩ:

SABC

SA ' B' C '

C'

B' A'

C

B A

S

Chú ý:

1/ Đường chéo của hình vuơng cạnh a là d = a 2,

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3,

Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a, b, c là d =

a  b  c ,

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3

2

a

3/ Hình chĩp đều là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng

nhau ( hoặc cĩ đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)

4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều

* Bài tập

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên

SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3

a Tính diện tích toàn phần & thể tích khối chóp S.ABCD

b Tính góc giữa SC với mp đáy, giữa (SBC) với (ABCD)

2 Cho hchóp S.ABC có đáy ABC vuông tại đỉnh B, SA(ABC).Biết SA=AB=BC=a

a Tính diện tích xung quanh & thể tích khối chóp S.ABC (TNPB07lần 1)

b Gọi M trung điểm SA Tính khoảng cách từ S đến mp (MBC)

3 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng

a√2, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=AC

a Tính diện tích xung quanh và V S ABCD. theo a (TN PB 07 lần 2).

b Tính khoảng cách từ D đến mp(SBC)

4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên

bằng 2a Gọi I là trung điểm của cạnh BC

a Chứng minh SABC

b Tính V S ABI. theo a (TN PB 08 lần 1)

5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,

SA ABC Biết AB=a , BC=a 3 , SA=3a

a Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

b Gọi I là trung điểm của SC , tính độ dài đoạn thẳng BI theo a

6 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) và (SAD) cùng

vuông góc với (ABCD).SC SAB ,( ) 300

a Tính V SABCD

b Gọi E là trung điểm CD Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BE

7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a,

SA ABCD Biết SA = a

a Tính thể tích hai khối chóp S.ABC và S.ABCD

b Tính góc giữa (SBC) và (SDC)

8 Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng a Các

mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy , SA a

a Chứng minh SA vuông góc với mặt phẳng đáy

b Tính thể tích của khối chóp

9 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, đường thẳng

SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC Biết SA3 ,a ABa BC, 2a

a Chứng minh đường thẳng AG vuông góc với đường thẳng BC

b Tính thể tích của khối chóp G.ABC theo a

10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a,

SA ABCD , cạnh bên SC = 2a.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của

SB và SD Chứng minh hai tứ diện IACD và KABC bằng nhau.

II) MẶT NÓN, HÌNH NÓN, KHỐI NÓN:

1) Mặt nón:

Cho hai đường thẳng  và d cắt nhau tại O

và tạo thành góc a (0 < a < 900) Mặt tròn

xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay

quanh đường thẳng  gọi là mặt nón

* d: đường sinh

* : trục

* O đỉnh

* 2a: góc ở đỉnh

2) Hình nón:

Hình nón tròn xoay là hình sinh ra bởi một

tam giác vuông khi quay quanh một cạnh

góc vuông

* Diện tích xung quanh: Sxq = rl

l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy.

3) Khối nón:

Hình nón cùng với phần trong của nó

được gọi là khối nón

* Thể tích khối nón: V= 

3

1

r2h

h: độ dài đường cao r: bán kính đường tròn đáy

III) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ:

1) Mặt trụ:

Cho hai đường thẳng  và d song song

nhau và cách nhau một khoảng bằng r

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d

khi quay quanh  gọi là mặt trụ

* d: đường sinh

* : trục

2) Hình trụ:

Hình trụ tròn xoay là hình sinh ra bởi một

hình chữ nhật khi quay quanh một cạnh

* Diện tích xung quanh: Sxq = 2rl

l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy.

3) Khối trụ:

Hình trụ cùng với phần trong của nó

được gọi là khối trụ

* Thể tích khối trụ: V=r2 h

h: độ dài đường cao r: bán kính đường tròn đáy

 Chú ý: đối với khối trụ h = l.

III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU, KHỐI CẦU:

1) Mặt cầu:

Cho điểm O cố định và số thực r Tập hợp các điểm M trong không

gian cách điểm O một khoảng bằng r được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r

Kí hiệu: S(O,r) = M OM  r

Chú ý: * OA > r A nằm ngoài (S)

* OA < r A nằm trong (S)

* OA = r A nằm trên (S)

2) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:

Cho mặt cầu S(O,r) và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P) và d= OH là khoảng cách từ O đến mp(P)

* d > r (P) không cắt (S

* d = r (P) tiếp xúc (S) tại H Khi đó: (S): tiếp diện, (H): tiếp điểm

* d < r (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm H, bán kính r 2 d2

 Chú ý: nếu d = 0 hay O º H thì (P) cắt (S) theo đường tròn

C(O,r)

3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:

Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O trên  và d= OH là khoảng cách từ O đến 

* d > r   không cắt (S) hay (S) = 

* d = r   tiếp xúc (S) tại H

Khi đó: : tiếp tuyến, (H): tiếp điểm

* d < r  (P) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B

4) Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu:

* Diện tích xung quanh hình cầu: Sxq = 4r2

* Thể tích khối cầu: V =

3

4 r3

* Bài tập

1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định tâm và bán kính

2) Cho tứ diện D.ABC có DA  (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện

3) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp

4) Cho tứ diện D.ABC có DA  (ABC) và DA = 4a, tam giác ABC vuông

tại B và AB = 6a, BC = 8a Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện

5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a, Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A,

B, C, D

6) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D

7) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng

8) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD).

Dựng mp(P) qua A và vuông góc với SC Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’

a) CMR: 7 điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ luôn nằm trên một mặt cầu b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo thành

9) Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp

với đáy một góc bằng 600

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng

10) Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao h

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu đó