Đề thi HSG môn toán

Chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị hàm số 1 và tiếp tuyến tại đó có hệ số góc nhỏ nhất.. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.. Mặ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CAO BẰNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KÌ THI

CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA

NĂM 2015 - VÒNG 1 Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI

(Đề gồm: 01 trang)

Câu I: (4 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3 x2 + 3(1 − m x ) + + 1 3 m (1)

1 Chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (1) và tiếp tuyến tại

đó có hệ số góc nhỏ nhất

2 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại một điểm duy

nhất

Câu II: (3 điểm)

1 Giải phương trình: 32 2 sin 2 1 1 3 ( )

2 cos sin 2 tan

x

x

+

2 Tìm m để phương trình: 2(sin4 x + cos4 x ) cos 4 + x + 2sin 2 x + = m 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;

2

π

 

 

 

Câu III: (4 điểm)

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 5 Mặt

phẳng (P) là mặt phẳng chứa AB cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M và N và khoảng cách giữa CD và mặt phẳng (P) bằng a

1 Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD)

2 Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) Tính diện tích của

thiết diện này

Câu IV: (3 điểm) Chứng minh:

( ) ( ) ( )2 2 2 ( )2

2

Câu V: (3 điểm) Giải phương trình:

( x + 2)(2 x − − 1) 3 x + = − 6 4 ( x + 6)(2 x − + 1) 3 x + 2 ( x ∈ ℝ )

Câu VI: (3 điểm) Cho một hình chữ nhật có chu vi là P và diện tích là S Chứng

minh rằng:

32

S P

S P

≥

H ế t _

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015

ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,5 điểm)

yx  mx  m x nghịch biến trên một đoạn có

độ dài lớn hơn 4

b) Chứng minh rằng với mọi a, đường thẳng d y:  x a luôn cắt đồ thị hàm số

 

1

2 1

x

x

 



 tại hai điểm phân biệt A B, Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với  H tại A và B Tìm a để tổng k1k2 đạt giá trị lớn nhất

Câu 2 (2,0 điểm)

2 cos x2 3 sin cosx x 1 3 sinx 3 cosx b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn điều kiện a b c

Câu 3 (1,5 điểm)

Giải hệ phương trình:

2

,

x y





Câu 4 (1,5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó trung điểm của cạnhBC là điểmM3; 1 , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh Bđi qua điểm E   1; 3 và đường thẳng chứa cạnh ACđi qua điểm F 1;3 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm D4; 2 

Câu 5 (1,5 điểm)

Cho hình chóp S ABCD thỏa mãn SA 5,SBSCSDABBCCDDA 3 Gọi

M là trung điểm của cạnh BC Tính thể tích khối chóp S MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM CD,

Câu 6 (1,0 điểm)

Cho các số thực a b c , , 1 thỏa mãn a b c  6 Chứng minh rằng:

a  b  c  

-Hết -

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ……….Số báo danh……….

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015

(Gồm 06 trang)

Lưu ý khi chấm bài:

- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó

- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm

- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm

- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau

- Trong lời giải câu 5 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

Câu 1 (2,5 điểm)

a) 1,0 điểm

2

y  x  mx m    1 Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một

đoạn có độ dài lớn hơn 4  y0trên đoạn có độ dài lớn hơn 4   1 có hai nghiệm

 

1; 2 1 2

x x x x thoả mãn x1x2  4

0,25

2

1 2

0 0



 





 



5 0

0,25

Vậy hàm số  1 nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4

1 21 1 21

Phương trình hoành độ giao điểm của d và  H :

  2

1 1

2

2 1

x x

x a

x

x ax a

 

     

    



0,25

Vì

2

2 2 0,

0,



     



     

   



nên  * có hai nghiệm phân biệt x x khác 1, 2 1

2 với mọi a

0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC

Vậy d luôn cắt  H tại hai điểm phân biệt A B, với mọi a

GọiA x y 1; 1 ,B x y2; 2 với x x là hai nghiệm của 1, 2  * Theo định lý Vi-ét ta có

1 ,

2

a

x x  a x x  

Tiếp tuyến tại A v Bà có hệ số góc là

;

Ta có

           

0,25

 2     2 2

 2

4 a 1 2 2, a

      

Dấu bằng xẩy ra    a 1

0,25

Câu 2 (2,0 điểm)

Phương trình cos 2x 3 sin 2x 2 3 3 cosxsinx

cos 2 sin 2 1 3 cos sin

0,25

2 cos 2 1 3cos 2 cos 3cos

             

3 cos

x





0,25

3

x   Zk k

0,25

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn điều kiện a  b c 1,0 điểm

Ta xét 4 trường hợp sau:

TH1 a  b c

Mỗi số abc là một tổ hợp chập 3 của chín phần tử 1, 2, ,9 suy ra số các số abc thỏa 

mãn a  là b c 3

9

C

0,25

TH2 a  b c

Mỗi số abc là một tổ hợp chập 2 của chín phần tử 1, 2, ,9 suy ra số các số abc thỏa 

mãn a  là b c 2

9

C

0,25

TH3 a  b c

Mỗi số abc là một tổ hợp chập 2 của chín phần tử 1, 2, ,9 suy ra số các số abc thỏa 

mãn a  là b c 2

9

C

0,25

TH4 a  b c

Số các số abc thỏa mãn a b c  là 1

9

C

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3 2 2 1

9 9 9 9 165

C C C C 

0,25

Câu 3 (1,5 điểm)

 

         



y

 



 



0,25

f t  t t  t f t  t     Vậy hàm số t f t đồng  

biến trên Từ  1 ta có f x  1 f y        2 x 1 y 2 y x 1  3 0,25

   6       6

 

 

5 6

x

x

 







5 : x      6 0 x 6 y 7 x y;  6;7 là một nghiệm của hpt

0,25

0,25

Câu 4 (1,5 điểm)

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , ta chứng minh được BDCH là hình bình hành

nên M là trung điểm của HD suy ra H 2;0 Đường thẳng BH có vtcp là

 3;3

F E

M

O H

D

C

A

B

Do ACBH nên vtpt của AC là n AC u BH  1;1  pt AC x:    y 4 0

Do ACCD nên vtpt của CD là n DC u AC 1; 1  pt DC x:    y 6 0 0,25

Do C là giao của AC và DC nên tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình

 

5; 1

C

0,25

Do M là trung điểm của BC nên B1; 1 Vì  AH vuông góc với BC nên AH có vtpt

là BC 4;0  AH x:   2 0

Do A là giao điểm của AC và AHnên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:

 

2; 2

A

0,25

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A  2; 2 ,B 1; 1 , 5; 1     0,25

Câu 4 (1,5 điểm)

m MN = 5.64 cm

m OS = 7.09 cm

m AD = 3.51 cm

m BC = 3.31 cm

O

S

Ta thấy ABCD là hình thoi, tam giác SBD cân tại S suy ra BDSAC

0,50

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta thấy SBD ABD CBD c c c 

2

OAOCOS AC nên SAC vuông tại S

Xét SAC ta có

Gọi N là trung điểm của ADnên CD/ /SMN 

( , ) ( , ( )) ( , ( )) C SMN

SMN

V

d CD SM d CD SMN d C SMN

S



12

0,25

SMN

S  SM MN  SMN  (2)

3 15

( , )

23 23

4

C SMN

SMN

V

d CD SM

S



0,25

Câu 6 (1,0 điểm)

1,0 điểm

Không mất tổng quát giả sử a  Mà b c a b c    6 c 2 ,a b 4 0,25

2 2

2

a b

a b    

     

 

     

4

2

a b

a b a b    a b a b a b a b

 

 2  2 22   2  2 2

16 a b  a b 4ab a b  a b  a b 4ab

( do 2

4 16

ab  ab ) Đặt

2

a b

x 

2

x

  

0,25

2 6 2 2 , 2;

2

f x  x    x   x  

   

f x  x  x x  x ,

0,25

  3 5 5

5 2;

2

x

f x f

 

  

Dấu bằng khi và chỉ khi a   b c 2

Vậy nếu a b c , , 1 thỏa mãn a b c   , thì 6  2  2  2 

……… Hết………