Dao động kỹ thuật động lực học công trình

ĐỘng lực học công trình và dao động kỹ thuật Nhiệm vụ môn học Tính toán các máy móc, thiết bị, công trình chịu tải trọng động lực học ( tải trọng tất định và tải trọng ngẫu nhiên ) Tải trọng chu kỳ Tải trọng không chu kỳ

Chương 3

HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO3.1 Phương trình vi phân dao động của hệ

Các lực tác dụng trên một điểm của hệ

Pi(t) - tải trọng bên ngoài;

2 22

21

1 12

n

n n

k k

k

k k

k

k k

2 1

2 22

21

1 12

n n

n n

y

y y

k k

k

k k

k

k k

k

n n

c c

c

c c

c

c c

2 22

21

1 12

n

n n

c c

c

c c

c

c c

2 22

21

1 12

11

    Fc  C    Y ( 3.8 )

Ma trận hệ số cản

F

F

2 1

n

n n

m m

m

m m

m

m m

m

2 1

2 22

21

1 12

11

. 2





[ Fq ] =

n

n n

m m

m

m m

m

m m

m

2 1

2 22

21

1 12

11

( 3.11 )

Phương trình chuyển động ( 3.2 )

n n

2 22

21

1 12

n

n n

2 22

21

1 12

11

[ K ] = [ Δ ]-1 ; [ Δ ] = [ K ]-1

( 3.5 ) + ( 3.13 )

2

/

3 EI l Q

QA  B  

; 8 / 3

; 8 /

5 ql Q ql

QA  B  

BIỂU ĐỒ MOMEN UỐN

);1

()2/(Pl v v2

 Pv / 2   3 v2  ;

;8/

2

ql

M A 

l EI

( )

2 / ( Pl u2v u

ul

C P

BIỂU ĐỒ MOMEN UỐN ( TIẾP )

; /

3 EI l2

M A  

; /

3 EI l3Q

QA  B  

; /

3 EI l2

M A  

; /

3 EI l3Q

QA  B

; 2 / ) 3

1 ( v2m

2 / ) 1

(

3 m v2 l Q

ul

C m

t2Δt=t1-t2

M A  

;

2vPl u

2

ql M

M A   B  

2 /

ql Q

QA   B 

;/2

;/

4EI l M EI l

/

6 EI l2Q

6 EI l2M

M A  B  

/

12 EI l3Q

QA  B 

;

/ h

t EI

M

M A  B  

; 0

cao chieu

h 

.

dai dan

so he





; ) 3 2

v

M A  

; ) 3 2

u

M B  

/

6 uvm l Q

Thí dụ 3.1 Xác định ma trận độ cứng và ma trận lực đàn hồi

2 21

12

3 3

11

L

EI L

EI

k  

;

12 2

4 4

EI L

EI

.

4 2

4

2

32

EI L

EI k

d

F F

y

2 1

2 1 11

EI

l EI

dx M

4 33

0

3

1 31

13

EI

l EI

dx M

3

0

2 3

l EI

dx M

5

; 3

23

322

EI

l EI

2 Ma trận khối lượng tập trung

Kết cấu được chia thành nhiều

đoạn,khối lượng của mỗi đoạn

được phân về các điểm mút

của mỗi đoạn theo phương

0 0 0 mi 0

0 0 0 0 mn[ m ] =

3 Ngoại lực: phân bố theo các nguyên tắc của tĩnh học

12001800

k32=-1200

k12=-600

1

k23=-1200

k33=3000

k13=0

1

k11=600

k21=-600

k31=0Lần lượt cho các tầng khung chuyển vị đơn vị:

y1 = 1 hoặc y2 = 1 hay y3 =1

1 -1 0 -1 3 -2

0 -2 5

600 ( kN/m ) ;[ K ] =

0 -2 5 – 2B

600 ( kN/m )[ K ] – ω2[ M ] =

1 , 31

5 , 14 2124

966

210

2 3 2

2 1

2 )

(

) (

M K

E

Y E

i i

i i

1

.

.

1 1

2 2

1

2 2

1

i

ni ni

i

i i

i ni

i

ni

i i

i

y

y y

y y































































































0 0 0 0

.

1

3 2 ) ( ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 33 ) ( 32 ) ( 31 ) ( 2 ) ( 23 ) ( 22 ) ( 21 ) ( 1 ) ( 13 ) ( 12 ) ( 11 ni i i i nn i n i n i n i n i i i i n i i i i n i i i ф ф ф e e e e e e e e e e e e e e e e                                0 0 1

0 )

( 00

)

(

01

)

( 10

)

(

11

i i

i

i i

E E

E e



)

( 00

)

(



















i

i

  0   0

)

( 10

)

(









( 3.20 )

( 3.21)

1 )

( 00

0i E i E i



    0 0

)

( 00

i

ni

i i

i oi

y

y y

2 22

21

1 12

-1 0

( 3.22 )

, 0

1

1 )

E 0,585 -2

-2 1,780

81 , 0

E 2,475 -2

-2 4,300

68 , 6

1

1 )

      0 ; ( 2 2 )

'

i j

i i

M

Y

M z

( 3.44 )

Tính chất trực giao của các dạng dao động:

Trong một số trường hợp có thể coi

( 3.48 )( 3.47b )

3 Trình tự giải quyết bài toán

Biến đổi toạ độ chuẩn sẽ chuyển hệ n phương trình vi phân

thành n phương trình độc lập khi hệ có lực cản thoả mãn (3.46).a/ Lập phương trình chuyển động

Trường hợp hệ chuyển động với chuyển vị ban đầu zi(0)

và vận tốc ban đầu cần thêm vào lời giải ( 3.49 )số hạngứng với dao động tự do:

t z

t

z

i i

i i

g/ Lời giải chuyển vị trong hệ toạ độ thực:

(rad/s)

1,000 1,000 1,0000,644 -0,601 -2,5700,300 -0,676 2,470

4,0

5,

00

Điều kiện ban đầu:

Khối lượng quy đổi:

  M

600

1 -1 0-1 3 -2

0 -2 5

(kN/cm)[K] =

0 455

, 2 0

0 0

802 ,

i

i i

M

Y

M M

0

802 ,

1

3 , 0

4 , 0

5 ,

0 6 , 0 966 ,

0 1 0

0

108 ,

0

592 ,

0 0

4 802

, 1

0 9

0 6 , 0 966 ,

0 1 0

30,3

33,

40

t t

t

t t

z

t z

t

z t

Z

3 2

1 3

2

1 3

2

1

cos 019

, 0

cos 108

, 0

cos 592

, 0 sin

033 ,

0

sin 106

, 0

sin 332

, 0

3B4 – 15B2 + 14 = 0 ;

; 7583 ,

3

; 2417 ,

,3

;2417

,

1

1

2 2 1

2 1

M

k M

6 2

k

k kB

k

Phương trình chuyển động trong hệ toạ độ chuẩn

Phương trình chuyển động trong hệ toạ độ thực

y1 = 0,7947cosω1t – 0,7947cosω2t ;

y2 = 0,8792.0,7947cosω1t -0,3792.(-0,7947)cosω2t ;

y2 = 0,6987cosω1t +0,3013cosω2t

Thí dụ 3.9 Xét hệ trong thí dụ 3.7 dao động cưỡng bức không

có lực cản dưới tác dụng của lực P2(t) = P0cospt

4319

,32417

,

M1=

2 2

5 4314

, 1 7584

P01

1212 ,

4

8792 ,

k

P k

5

3792 ,

k

P k

Phương trình chuyển động của

hệ trong hệ toạ độ chuẩn:

pt k

P k

z

pt k

P k

z

d

d

cos 0705

, 0

; cos

2133 ,

0

0 2 2

0 1 1

hệ trong hệ toạ độ thực:

Bài tập 3.1 Tìm các phần tử của ma trận độ cứng, xác địnhtần số dao động riêng và các dạng dao động của hệbiết M1=0,5T; M2=1,5T; k1=1000kN/m; k2=2000kN/m; k3=4000kN/m

, 49 4

, 86 6

M1 k2 M2

3

Z01 = -Z02 = 0,7947 ; Phương trình chuyển động của hệ trong hệ toạ độ

chu ẩn: Z1(t)=0,7947cosω1t ; Z2(t)=-0,7947cosω2t

Bài tập 3.3.Nghiên cứu dao động cưỡng bức của hệ cho trên hình: xác định các khối lượng quy đổi , độ

cứng quy đổi, lực quy đổi, phương trình chuyển động

trong hệ toạ độ chuẩn v à trong hệ toạ độ thực.

1 10,8792 -0,3792[Ф] =

=24610N

569 ,

1 83

, 49

30 1

30 1

, 1

4120000

100

24610

pt

Z1(t)=10,64cos30t (cm)

Z2(t)=0,052cos30t (cm).

0 8792

, 0

1 1

2

1 2

t

z t

y

t y

Y C t

Y M

Điều kiện cân bằng đlh:

Phương trình vi phân chuyển động

Tải trọng:

P z

K z

C z

i i

i

M

P z

i i

i i

i

M

C M

K

(3.55) Phương trình chuyển động trong hệ toạ độ chuẩn:

Các đại lượng quy đổi:

sin

M

t

e M

t z

d i

i

i

t

t i

Lời giải chuyển vị trong hệ toạ độ chuẩn:

Lời giải lực đàn hồi:

 

t e

y M

M T

t

i

i i

(2.68) phổ chuyển vị ứng với dạng dao động chính thứ i

 ,  1 Svi i, i 

i

i i



CÂU HỎI ÔN TẬP

1.Thành lập hệ phương trình vi phân dao động của

hệ nhiều bậc tự do dưới dạng ma trận.

2.Dao động tự do của hệ nhiều bậc tự do: thành lập phương trình tần số.

4.Toạ độ chuẩn của hệ dao động nhiều bậc tự do.

5.Phương trình chuyển động dao động cưỡng bức của hệ nhiều bậc tự do dưới dạng toạ độ chuẩn.

6.Trình tự giải bài toán dao động cưỡng bức của

hệ nhiều bậc tự do.

3.Các dạng dao động của hệ nhiều bậc tự do.