mặt cầu

MẶT CẦUTHPT Nguyễn Việt Dũng Cần Thơ... Ôn tập kiến thức cũ1.Trong mp Oxy viết phương trình đường tròn tâm Ia;b và phương trình tổng quát của đường tròn?. Viết phương trình đường tròn nh

MẶT CẦU

THPT Nguyễn Việt Dũng Cần Thơ

Ôn tập kiến thức cũ

1.Trong mp Oxy viết phương trình đường

tròn tâm I(a;b) và phương trình tổng quát

của đường tròn ?

2 Viết phương trình đường tròn nhận A(1;3) B(5,5) làm đường kính

I Phương trỡnh mặt cầu (S) tõm I, bỏn kớnh R

Trong khụng gian cho mặt cầu (S) cú tõm I=(a;b;c) và bỏn kớnh R>0

x

I R

y

z

O M

⇔

− + − + −

=

+ −

ậy phương trình:

Được gọi là phương trình của mặt cầu

2

2

2

M (x;y;z) (S) IM R

(x a) (y b) (z c) R (x a) (y b) (z c) R V

(x a) (y b) (z c) R (1 )





− 2 + − 2 + − 2 = 2

(x a) (y b) (z c) R

+ + =

2

x y z R2 2 2

Nếu I ≡ O thỡ phương trỡnh (S) trở thành

Vd1 Viết phương trình mặt cầu nhận A(1;3,0) B(5,5,6) làm đường kính

• Để viết phương trình

mặt cầu ta cần xác

định gì?

•Tọa độ tâm ?

•Bán kính ?

Tâm I : Trung điểm AB =>

I(3;4;3)

14 2

) 0 6 ( )

3 5 ( )

1 5

( 2

2 2

2

=

− +

− +

−

=

= AB

R

=> Pt mặt cầu (S): (x-3) 2 +(y-4) 2 +(z-3) 2 = 14

II Phương trình tổng quát của mặt cầu (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =R 2 (1)

x 2 -2ax+a 2 + y 2 - 2by + b 2 +z 2 -2cz +c 2 –R 2 = 0

x 2 +y 2 +z 2 -2ax -2by -2cz +a 2 +b 2 + c 2 –R 2 =0

x 2 +y 2 +z 2 -2ax -2by -2cz +d =0 (với d= a 2 +b 2 + c 2 –R 2 ) (2)

Do R 2 =a 2 +b 2 +c 2 -d nên nếu a 2 +b 2 +c 2 -d >0 thì (1)  (2) nên

Trong kg Oxyz phương trình tổng quát của một mặt cầu

có dạng :

x 2 +y 2 +z 2 -2ax -2by -2cz +d =0 với a 2 +b 2 +c 2 -d >0

I(a;b;c)

vd 1 cho mặt cầu (S1)

ã t©m vµ b¸n kÝnh lµ:

a.I(1;2),R=5 ; b I(1;-2;0),R= 5

c.I(-1,2;0), R=25 ; d I(1;-2;0),R=5 ;

1

S c

1

S :(x 1) (y ( 2)) − 2 + − − 2 + − z 0 2 = 5 2

1

S :(x − 1)2 + + (y 2)2 + = z2 5

Giải thích

vd 2 cho mặt cầu (S2)

2 2 2

2

S :x y z 2x 4y 1 0

c

ã t©m vµ b¸n kÝnh lµ:

a.I(1;2;0),R=2 ; b I(1;-2;0),R=4

c.I(1,-2;0), R= 6 ; d I(1;-2;0),R=4 ;

Giải thích

= −

= + + =

I (1; 2;0)

Vd3 Các phương trình sau PT nào là PT của mặt cầu ?

a x 2 +y 2 – 4x +2y-8=0

b 2x 2 +2y 2 +2z 2 -4x -5y -8=0

c x 2 +2y 2 + 2z 2 – 4x +2y-8=0

d x 2 + y 2 +z 2 -2x -2y +4z +6=0

a b c d

Bài 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

b) Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A(6 ;-2 ; 3 ),B(0 ; 1 ;6 ),C(2 ; 0 ;-1 ); D( 4 ; 1 ; 0 ) ,xác định toạ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).

Giải

Tâm I (2 ;-1 ; 3 ) ;

C

(S)

D

A

R = 4 1 9 3+ + + = 17

H

A

I

α

d gọi d=d(I, α )

d>R  (S) và ( α ) không có điểm chung III Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

R H A

I

α

d

d= R  (S) và ( α ) Tiếp xúc nhau III Vị trí tương đối giữa mặt phẳngvà mặt cầu

III Vị trí tương đối giữa mặt phẳngvà mặt cầu

d < R  (S) và ( α ) giao nhau theo

một đường tròn có phương trình là

{ }

α

= −

( )

T©m I' =Ch I

r R II'

( ) ( )

§Æc biÖt : I ( (

µ ®­êng trßn lín C I;R

) (S) ) C l





R

I' A

I

{ 2 2 2

0







Ax By Cz D

•

•

I

R

r

M



×m t©m vµ b¸n kÝnh ®­êng trßn :

2 2 2

T

x y z 12x 4y 6z 24 0 2x 2y z 1 0

( ) ( )

( )

=> =

äi (C) ã t©m S ã I ; R ta cã I= 6;-2;3

G c I'; bk r; c

;

R 36 4 9 24 25

2.6 2.2 3 1 12

3

9 II' 4

r 5 4 3

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= +



 = − +



 = +



α

−

⇔ =

−

=

I

ìm tâm : I'

ó pt đường thẳng d:

Thay d phương trình d vào pt ta có

T

Tac

x 6 2t (d); y 2 2t

z 3 t

( )

2 6 2t 2 2 2t 3 t 1 0

9t 12 0

4 t

3

10 14 5 I' ( ; ; )

r

n

•

•

H

I

R

r

M

•

I'

I

R

r

CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN TÌM TÂM VÀ BK ĐƯỜNG TRÒN (C)

Tìm BK : r

Xác định tâm và BK mặt cầu I ,R

aA+bB+cC+D Ýnh

Ýnh

Xác định tâm I'

( )

∈ ⊥ α

α I

Õt pt tham sè ®­êng th¼ng d

I d ( ) T×m I'=d Vi

• (S) có R=

• (S): (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=9

• Gọi (P) là tiếp diện của (S) tại M=>

– (P) đi qua M (3,3,2)

– (P) ⊥ IM =>

=>(P): 2(x-1)+2(y-1)+ (z-1)=0

 2x+2y+z -5=0

VD2 Cho I(1,1,1) M(3,3,2)

a Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I , đi qua M.

b Viết phương trình tiếp diện của (S) tại M

2 2 1

Các dạng toán cơ bản

• Viết phương trình mặt cầu biết I và R

• Viết phương trình mặt cầu qua 4 đỉnh của

tứ diện (4 điểm không đồng phẳng )

• Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

• Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng

• Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu

Câu trả l ời sai

Câu tr l i đúng ả ờ