Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Phần 1: Lý thuyết I. Định nghĩa : Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện (Đ) gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện (Đ). Từ định nghĩa suy ra : Tâm mặt cầu là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện. II. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ 1.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a.Trục của đờng tròn ( O; R ) : Đờng thẳng d gọi là trục của đờng tròn (O; R) khi và chỉ khi d qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đờng tròn đó. b. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : Hình chóp S.A 1 A 2 .A n nội tiếp mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đờng tròn. Chứng minh: Giả sử hình chóp S.A 1 A 2 .A n nội tiếp trong mặt cầu (S). Khi đó, các đỉnh A 1 , A 2 , ., A n của hình chóp nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp và đồng thời nằm trên đờng tròn giao tuyến của mặt phẳng đáy và mặt mặt cầu. Do vậy, đa giác đáy nội tiếp trong đờng tròn đó. Ngợc lại, S.A 1 A 2 .A n có đáy A 1 , A 2 , ., A n nội tiếp trong đờng tròn (C) thì ta gọi là trục của đờng tròn đó và gọi O là giao điểm của với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên, chẳng hạn SA 1 . Khi đó, OS = OA 1 = OA 2 = . = OA n . Vậy hình chóp có hình cầu ngoại tiếp, đó là mặt cầu tâm O, bán kính R. c. Nhận xét Phần thứ hai của việc chứng minh bài toán trên cũng chính là một trong những cách xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp ( trong trờng hợp ta đã biết hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp ). Việc xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sẽ dễ hơn nếu ta biết trục của đờng tròn ngoại tiếp đa giác đáy đồng phẳng với một cạnh bên bất kỳ. Khi đó, mặt phẳng trung trực của một cạnh bên sẽ đợc thay thế bằng đờng trung trực của cạnh bên đồng phẳng với Ta cũng có thể xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo định nghĩa, tức là xác định điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp, thông thờng là các đỉnh của hình chóp nhìn một đoạn thẳng dới một góc 90 0 , hoặc là phải dựa vào các yếu tố cân, đều của hình chóp . 2. Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ a. Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và đáy là một đa giác nội tiếp một đờng tròn. Chứng minh : Nếu (H) là một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì các mặt bên là những hình bình hành có đờng tròn ngoại tiếp nên phải là hình chữ nhật. Vậy (H) phải là hình 1 Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 lăng trụ đứng. ngoài ra, vì (H) có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là một đa giác có đờng tròn ngoại tiếp. Ngợc lại, cho (H) là hình lăng trụ đứng có các đờng tròn (C), (C) ngoại tiếp hai đa giác đáy. Gọi I, I lần lợt là tâm hai đờng tròn đó thì II là trục của hai đờng tròn. Vì vậy, gọi O là trung điểm của đoạn II, suy ra O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp. b. Nhận xét - Việc chứng minh ý hai của bài toán trên cũng chính là một trong những cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. - Cũng tơng tự hình chóp ta còn tìm một điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ. *********************************** Phần 2: Một số dạng bài tập áp dụng Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Trong dạng bài tập này ta sẽ xét một số bài tập xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, hình lăng trụ đứng có đáy là các đa giác dễ xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp nó. Bài 1: (Hình chóp đều) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là . Lời giải: Giả sử S.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy a. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó, theo giả thiết của bài toán thì SG chính là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SMG = . Gọi I là trung điểm SA, kẻ đờng trung trực của SA cắt SG tại O, ta có : OS = OA = OB = OC, suy ra O chính là tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp, bán kính OS.Ta có AM = 2 2 2 2 3 4 2 a a AB BM a = = suy ra 2 3 3 3 a AG AM= = ; 1 3 2 6 a GM AG= = . Trong tam giác vuông SGM 2 O S A B C MG N I Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 ta có : 3 6 GM GM a cos SG SG cos cos = = = , trong tam giác vuông SGA: Hai tam giác vuông SGA và SIO đồng dạng nên ta có SO SI SA SG = , suy ra: 2 2 . (1 4 ) 3 (1 4 ) . 2 12 3 4 3 SA SI SA a cos cos a cos SO SG SG cos a + + = = = = . Vậy bán kính của mặt cầu (S) là (1 4 ) 4 3 a cos R SO + = = . Nhận xét: Trong bài toán xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ta hay phải giải quyết các bài toán liên quan nh : xác định khoảng cách , xác định góc. Do vậy, giáo viên cần hớng dẫn học sinh phải xác định một cách chính xác hai bài toán xác định hình trên. Chẳng hạn, khi ta xác định trục của đờng tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp hay hình lăng trụ thì ta thờng tìm hai điểm cách đều các đỉnh của hình chóp và hình lăng trụ, hoặc tìm một điểm cách đều các đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy . Cũng với dạng bài toán trên ta có thể đa ra rất nhiều bài toán tơng tự nh sau: 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác đều trong các trờng hợp sau: a. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b b. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng c. Hình chóp có cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng d. Hình chóp có cạnh bên bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng e. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, chiều cao h f. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt bên bằng g. Hình chóp có tất cả các cạnh bằng a. 2. Hoàn toàn tơng tự ta cũng có các câu hỏi trên khi thay hình chóp tam giác đều bằng hình chóp tứ giác đều 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi E, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK. Bài 2: (Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA vuông góc với đáy, SA = 2a, ABC là tam giác đều cạnh a. Lời giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, d là đờng thẳng qua G và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Khi đó, d chính là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC . I là trung điểm SA suy ra SA // d. Gọi I là trung điểm SA, kẻ đờng trung trực của SA qua I cắt d tại O. Khi đó, OS = OA = OB = OC, suy ra 3 Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, bán kính R = OS. Tơng tự bài 1 ta có 3 3 a AG = , 2 a AI OG= = , suy ra 2 2 2 2 21 4 3 6 a a a R OA OG AG= = + = + = Nhận xét : - Trong trờng hợp hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì trục của đờng tròn ngoại tiếp đa giác đáy và cạnh bên này luôn đồng phẳng. - Ngoài cách xác định tâm mặt cầu theo cách hình học cổ điển nh trên, trong những bài toán dạng này ta còn có thể sử dụng ph- ơng pháp tọa độ để làm. - Ngoài việc cho một cạnh bên vuông góc với đáy trực tiếp nh trên thì có những bài toán cạnh bên nh vậy đợc cho là giao tuyến tuyến của hai mặt bên vuông góc với đáy. Chẳng hạn, ta xét bài toán sau : Cho hình chóp S.ABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Đáy ABCD là tứ giác nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán kính R. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biêt SA = h. Lời giải bài toán trên hoàn toàn đơn giản, vì trục của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là đờng thẳng qua O và song song với SA. Đáp số : 2 2 4 h r R= + Hoàn toàn tơng tự ta cũng có các bài toán sau: 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a. 2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình vuông cạnh 2a. 3. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình thang cân nội tiếp trong đờng tròn đờng kính AD = 2a. 4. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết ba góc đỉnh S bằng 90 0 và SA = a, SB = b, SC = c. 5. Cho tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB = 2a. Trên đờng thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S khác A. Chứng minh rằng hình chóp SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. 6. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. Tính bán kính R khi góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30 0 . 4 G S A B C M N O I Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 Đáp số: a. AC SB b. 42 6 a R = 7. Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, xét các hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy ( S, A cố định ), SA = h cho trớc, ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp trong đờng tròn đã cho mà AC vuông góc với BD. a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b. Tứ giác ABCD là hình gì để thể tích hình chóp S.ABCD lớn nhất ? Đáp số: a. 2 2 ' 4 2 h R R + = b. ABCD là hình vuông 8. Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn đờng kính AB = 2R, M là một điểm chuyển động trên đờng tròn , MH vuông góc với AB tại H sao cho AH = x, 0< x < 2R. Dựng đờng thẳng vuông góc với (P) tại M trên đó lấy điểm S sao cho MS = MH. Xác định tâm và tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM. Tìm x để r lớn nhất. Đáp số : 2 1 (2 ) 4 r R x R x= + ; r lớn nhất khi x = R Bài 3: ( Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy ) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a; BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau, góc BDC bằng 90 0 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b. Lời giải: Gọi M là trung điểm BC, do hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc với nhau nên AM (BCD), mặt khác, tam giác BCD vuông tại D nên M chính là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD, suy ra, AM là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Do vậy, tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng chính là tâm và bán kính của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tam giác ABC có AB = AC = a, BC = b suy ra 2 2 2 2 2 2 4 4 2 b a b AM AB BM a = = = và S ABC = 2 2 1 . 4 . 2 4 b a b AM BC = .Do vậy, 2 2 2 . . 4 4 ABC a a b a R S a b = = Nhận xét: 5 A B C D M N O Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 - Với hình chóp có một mặt bên (P) vuông góc với đáy thì trục của đờng tròn ngoại tiếp đa giác đáy thờng là đờng thẳng nằm trong mặt phẳng (P) hoặc là một đ- ờng thẳng song song với một đờng nằm trong (P) và vuông góc với đáy. Một số bài toán tơng tự : 1. Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác cân AB =AC = a, hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc với nhau và SA = SB = a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết SC = x. 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD). Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Đáp số : 21 6 a R = 3. Cho tứ diện SABC có góc ASB bằng 120 0 , góc BSC bằng 60 0 , góc CSA bằng 90 0 , xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 4. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = a, AD = b, hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. Xácđịnh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Đáp số : 2 2 2 3 a R a b = Bài 4: ( Chứng minh các điểm cùng thuộc một mặt cầu) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, AB = c, AC = b, góc BAC = . Gọi B 1 , C 1 lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua năm điểm A, B, C, B 1 , C 1 . Lời giải : Gọi AD là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó, vì BD AB và BD SA nên BD (SAB) suy ra BD AB 1 mà AB 1 SB (giả thiết) nên AB 1 (SBD) suy ra AB 1 DB 1. Chứng minh tơng tự ta cũng có AC 1 DC 1 , nh vậy 5 điểm A, B, C, B 1 , C 1 cùng nhìn AD dới một góc 90 0 hay 5 điểm này nằm trên mặt cầu đờng kính AD. Ta có, S ABC = 1 sin 2 bc = 4 abc R suy ra 2sin a R = mà theo định lý côsin ta có 6 S A B C D B 1 C 1 Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 a = b 2 + c 2 2bc.cos , do vậy 2 2 2 . 2sin b c bc cos R + = Nhận xét : - Đối với bài toán chứng minh các điểm cùng nằm trên một mặt cầu, ta thờng phải chứng minh chúng cùng nhìn một đoạn thẳng dới một góc 90 0 , hoặc chúng cùng cách một điểm cố định cho trớc một khoảng không đổi. Các bài toán tơng tự: 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = b, đờng cao của hình chóp là SA. Gọi B 1 , C 1 , D 1 lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. a. Chứng minh rằng A, B 1 , C 1 , D 1 cùng thuộc một mặt phẳng vuông góc với SC. b. Xác định tâm và tính diện tích của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D, B 1 , C 1 , D 1 . Đáp số: 2 2 2 2 , ( ) 2 a b R S a b + = = + 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông , SA vuông góc với đáy, (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lợt tại M, N, P. a. Chứng minh rằng BD vuông góc với AN b. Chứng minh rằng S, A, M, N, P cùng thuộc một mặt cầu 3.Cho tam giác ABC vuông tại C, trên đờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S. Gọi AD, AE lần lợt là hai đờng cao của các tam giác SAB, SAC . Chứng minh rằng A, B, C, D, E cùng nằm trên một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó. 4. Trong mặt phẳng (P) cho đờng thẳng d và điểm A không thuộc d , góc xAy di động quanh A cắt d tại B và C. Trên đờng thẳng qua A và vuông góc với (P) lấy một điểm S . Gọi H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC a. Chứng minh rằng A, B, C, H, K cùng thuộc một mặt cầu b. Tính bán kính mặt cầu trên khi AB = 2, AC = 3, góc BAC bằng 60 0 Đáp số: 21 3 R = 5. Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = DC = DA = a. Trên nửa đờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) ta lấy một điểm S di động . Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB cắt SB, SC, SD tại P, Q, R theo thứ tự đó. a. Chứng minh rằng 7 điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính diện tích mặt cầu đó. b. Chứng minh rằng CDQR là một tứ giác nội tiếp và đờng thẳng đi qua QR luôn đi qua một điểm cố định khi S thay đổi trên Ax. c. Cho SA = 3a . Hãy tính diện tích tứ giác APQR. Bài 5 (Xác định tâm mặt cầu bằng cách tìm điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện). 7 Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 1. Tứ diện ABCD có CD = 2a, các cạnh còn lại có độ dài 2a . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Lời giải : Theo giả thiết của bài toán ta có hai tam giác ACD và BCD lần lợt vuông tại A và B . Gọi O là trung điểm của CD suy ra, O cách đều tất cả các đỉnh của hình tứ diện . Do vậy, O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và bán kính của mặt cầu là: 2 CD R a= = 2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 3; AC = BD = 5; AD = BC = 6. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Lời giải : Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AB và CD thì dễ thấy IJ AB và IJ CD, bởi vậy: Nếu gọi O là trung điểm của IJ thì OA = OB, OC = OD. Ngoài ra, vì AB = CD = 3 nên hai tam giác vuông OIB và OIC bằng nhau, do đó OB = OC. Vậy O cách đều bốn đỉnh A, B, C, D. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O và có bán kính R = OA. Ta có: 2 2 2 2 2 2 9 4 4 4 IJ AB IJ OA OI AI + = + = + = . Vì CI là trung tuyến của tam giác ABC nên 2 2 2 2 2 2 113 4 4 a b c CI + = = Suy ra 2 2 2 2 113 113 9 26 4 4 4 c IJ CI CJ = = = = . Nh vậy : 2 2 26 9 35 35 4 4 2 R OA R + = = = = Bài 6 ( một số bài toán về hình lăng trụ) 1. Cho hình lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 , đáy ABC là tam giác có góc BAC bằng 120 0 , AB = a, AC = 2a, đờng chéo AB 1 của mặt bên ABB 1 A 1 tạo với đáy một góc 75 0 . Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Lời giải: 8 A B C D O I J A B C D O A B C A 1 B 1 C 1 M N I O E E 1 Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 Trong tam giác ABC theo định lý côsin ta có : BC 2 = AB 2 + AC 2 2AB.AC.cos120 0 = a 2 + 4a 2 + 2a 2 = 7a 2 7BC a = mà BC = 2Rsin120 0 nên bán kính r của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng : 0 7 21 2sin120 3 3 BC a a r = = = .Theo giả thiết AB 1 tạo với đáy một góc 75 0 nên góc BAB 1 = 75 0 suy ra, trong tam giác vuông ABB 1 ta có : 0 0 0 1 .tan 75 .tan(45 30 ) .(2 3)BB AB a a= = + = + Gọi E, E 1 lần lợt là tâm của các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 . Khi đó, EE 1 là trục của các đờng tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy, gọi I là trung điểm BB 1 kẻ đờng trung trực của BB 1 cắt EE 1 tại O suy ra OA = OB = OC = OA 1 = OB 1 = OC 1 hay O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bán kính R = OB. Ta có OI = EB = r , áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông OIB ta có: OB 2 = OI 2 + IB 2 = 2 2 2 2 7 (2 3) (49 12 3) 49 12 3 . 3 4 12 12 a a a R a + + + + = = 2. [Đại học S phạm Vinh 2000] Cho hình hộp chữ nhật ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có AB = p, AD = q, AA 1 = r, 0 < p < q < r. Gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, C 1 D 1 , và M, N là các điểm thỏa mãn 1 . , . ,0 1AM k AD BN k BB k= = uuuur uuur uuur uuur (1) a. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BDA 1 ) b. Chứng minh rằng với mỗi k thỏa mãn (1) thì I, M, J, N cùng thuộc một mặt phẳng. Tìm k để MN vuông góc với IJ c.Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABDA 1 và tâm H của đờng tròn là giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (BDA 1 ) Lời giải : Chọn hệ trục tọa độ nh hình vẽ, với A(0 ; 0 ; 0) , B(0 ; p ; 0) , D(q ; 0 ; 0) , C(q ; p ; 0) , A 1 (0 ; 0 ; r) B 1 (0 ; p ; r), C 1 (q ; p ; r), D 1 (q ; 0 ; r). a. Mặt phẳng (BDA 1 ) có phơng trình : 1 x y z q p r + + = Suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDA 1 ) là: 9 Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 pqr h p q q r r p q p r = = + + + + b. Theo giả thiết ta có : (0; ;0); ( ; ; ) 2 2 p p I J q r ; M(kq ; 0 ; 0) N(0 ; p ; kr) suy ra : ( ; ;0); (0; ; ); ( ;0; ) 2 2 p p IM kq IN kr IJ q r = = = uuur uur uur . Dễ thấy k IJ IM IN= + uur uuur uur nên bốn điểm I, M, J, N luôn đồng phẳng. 2 2 2 2 ( ; ; ); . ( )MN kq p kr IJ MN kq kr k r q= = + = uuuur uur uuuur , MN vuông góc với IJ khi và chỉ khi 2 2 . 0 ( ) 0 0IJ MN k r q k= = = uur uuuur (vì r > q) Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABDA 1 cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, tức là trung điểm của đờng chéo AC 1 ,do đó ( ; ; ) 2 2 2 q p r O và bán kính 2 2 2 2 p q r R + + = . Điểm H cần xác định chính là hình chiếu vuông góc của O xuống mặt phẳng (BDA 1 ). Mặt phẳng này có véc tơ pháp tuyến 1 1 1 ( ; ; )v q p r = r cũng là véctơ chỉ phơng của đờng thẳng OH suy ra đờng thẳng này có phơng trình là: 1 . 2 1 . , 2 1 . 2 q x t q p y t t R p r z t r = + = + = + thay vào phơng trình của mặt phẳng (BDA 1 ), ta đợc : 1 1 1 1 1 1 ( . ). ( . ). ( . ). 1 2 2 2 q p r t t t q q p p r r + + + + + = suy ra H có tọa độ : 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ; ; ; 2( ) 2( ) 2( ) q p r p q r r p q x y z p q q r r p p q q r r p p q q r r p + + + = = = + + + + + + Nhận xét : Đối với bài toán xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bất kỳ thì việc xác định là khó khăn, nhng lại có một đặc điểm thuận lợi là các tứ diện này thờng nằm trong một hình hộp đặc biệt chẳng hạn nh hình hộp chữ nhật hay hình lập phơng . Khi đó để giải quyết bài toán ta thờng dùng phơng pháp tọa độ. Bài tập tơng tự : 10 A B CD A 1 B 1 C 1 D 1 z I J M N x y [...]... cho NA = 2NB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AMNA Dạng 2 : Các bài toán liên quan tới mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Trong dạng bài tập này ta xét một số bài toán liên quan tới mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện , chẳng hạn khi cho biết bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ta có thể tính cạnh của hình đa diện Bài 1 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, tính a biết mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có... trong mặt I phẳng (ABH) kẻ đờng trung trực của AB cắt AH tại O Khi đó, O chính là D O tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính R = OA = 1 B a 3 a 3 ; BH = ; H 2 3 a2 a 6 ; Xét hai tam giác vuông đồng AH = a 2 = C 3 3 OA IA AB 2 a 2 3 2 6 = OA = = a= dạng AIO, AHB ta có: AB AH 2 AH 2a 6 3 Ta có : BM = M Bài 2: Cho hình cầu bán kính R Từ điểm S trên mặt cầu dựng ba cát tuyến bằng nhau cắt mặt cầu. .. thức Côsi Đáp số Vmax = 8R3 khi = 600 hay ABCD là tứ diện đều 9 3 Bài 3: Cho hình cầu tâm O bán kính R và đờng kính SS Một mặt phẳng vuông góc với SS cắt hình cầu theo một đờng tròn tâm H Gọi ABC là một tam giác đều nội tiếp trong đờng tròn này Đặt SH = x (0 < x < R) a Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R và x b Xác định x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh rằng... a.Tính thể tích V của tứ diện ABCD theo R và b Xác định để V lớn nhất Lời giải : S a AB = BC = CA vì các tam giác SAB, SBC, SCA bằng nhau Kẻ SH (ABC) thì HA = HB = HC do SA = SB = SC Vậy SABC đều SH cắt mặt cầu tại S AH cắt BC tại trung điểm M của BC Đặt SA = O C = SB = SC = x Vì x2 = SA2 = SH.SS = = SH.2R nên SH = Vì MC = x.sin x2 2R A 3 nên AM = 2MC = x 3.sin , 2 2 2 11 H M B S Đặng Việt Hùng... SB2 = AB2 3 27 Kết luận : Trên đây là một số dạng bài tập về mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện , nhóm tác giả đã cố gắng su tầm và chế biến và sau đó là sắp xếp lại để tạo thành một bài viết nhỏ, với hy vọng rằng có thể giúp ích đợc một phần nhỏ nào đó trong công việc giảng dạy của các thầy cô giáo tuy nhiên do thời gian cha có nhiều và do yêu cầu hạn chế của nội dung nên bài viết không tránh khỏi những . nghĩa suy ra : Tâm mặt cầu là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện. II. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ 1 .Mặt cầu ngoại tiếp hình. THPT Tiên Du số 1 mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Phần 1: Lý thuyết I. Định nghĩa : Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện (Đ) gọi là mặt cầu ngoại tiếp