BÀI TẬP SỐ PHỨC CHUẨN 2017

Tìm các thuộc tính phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, môđun của số phức, biết: a 2zi z... Tìm số phức và các thuộc tính khi nó thỏa mãn đồng thời c{c điều kiện sau: a z 5 và phần

Dạng tốn 1. Tìm các thuộc tính của số phức thỏa mãn điều kiện K cho trước

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

  Phương pháp giải:

 Bước 1 Gọi số phức cần tìm l| z x yi với x y  , .

 Bước 2 Biến đổi điều kiện K (thường liên quan đến mơđun, biểu thức cĩ chứa z z z, , , )

để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình nhờ 2 số phức bằng nhau, rồi suy ra x và y z

 Lưu ý Trong trường phức  , cho số phức z x y i. cĩ phần thực l| x v| phần ảo l| y với x y  , và 2 1 i   Khi đĩ, ta cần nhớ:  Mơnđun của số phức z x y i. là 2 2 z OM  x y (căn của thực bình cộng ảo bình)  Số phức liên hợp của z x y i. là z x y i. (ngược dấu ảo)  Hai số phức z1x1y i1. và z2x2y i2. được gọi l| bằng nhau khi v| chỉ khi 1 2 1 2 x x y y       (hai số phức bằng nhau khi v| chỉ khi thực  thực v| ảo  ảo)  Trong bài toán tìm thuợc tính cũa sớ phức z thõa mân điều kiện K cho trước, nếu K l| thu}̀n z (t}́t cã đều z) hoặc thu}̀n z thì đĩ l| b|i to{n giải phương trình bậc nhất (phép cợng – trừ – nhân – chia sớ phức) với }̃n z (hoặc z). Còn nếu chứa hai loại trở lên ( , , )z z z thì ta sẽ gọi z x yi, ( ; x y )  z x yi. Từ đó sữ dụng các phép toán trên sớ phức đễ đưa về hai sớ phức bằng nhau khi v| chỉ khi thực  thực, ảo  ảo để giải hệ phương trình tìm x y, z. B – BÀI TẬP MẪU BT 1 Tìm các số thực x và y thỏa mãn c{c điều kiện sau: a) (3x  2) (2y 1).i (x   1) (y 5) i ĐS: 3, 4 2 3 x y 

b) (1 2 )  i x  (1 2 )y i  1 i. ĐS: x 1, y 1.

c) 3x 2iy ix 5y  7 5 i ĐS: x 1, y 2.

d) 2x 3iy 4ix 2y  5 10i (x  y 2) i y(  x 3). ĐS: x 1, y 2.

e) 3 2 1 x yi i i     ĐS: x5, y1.

f) 3 3 3 3 y x i i i       ĐS: x2, y8.

g) 3 ( 1   4 )i x  (1 2 )i y  2 9 i ĐS: 95; 17 46 46 x y  

h) 2 2 1 2 2 (4 3 ) (3 2 ) 4 (3 2 ) 2 i x i xy y x xy y i        ĐS: 0 3 2 x y x y        

BT 2 Tìm hai số thực x y, để số phức: 2 5

1 9 4 10

z  y   x i v| số phức 2 11

2 8 20.

z  y  i l| liên hợp

BT 3 Tìm các thuộc tính (phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, môđun) của số phức, biết: a) z (2  4 )i  2 (1 3 ).i  i ĐS: z 8 6 i

b) (1 i z)  14  2 i ĐS: z 6 8 i

c) 2 (1 2 ).(2 ) z  i i ĐS: z 11 2  i

d) 2 3 (3 2 ) (2 ) z  i  i ĐS: z 7 i.

e) z (2  4 )i  2 (1 3 ).i  i ĐS: z 8 6 i

f) 2 3 (3 2 ) (2 ) z  i  i ĐS: z 7 i.

g)    z1 2 ,z2 biết rằng: z1 1 2 , i z1 2 3 i ĐS:   3 8 i

h)   z z1 ,2 biết rằng: z1  2 5 , i z2  3 4 i ĐS:  26  7 i

m) (1 i z)    1 5i 0. ĐS: z 3 2 i

n) (3 i z)  13 9  i ĐS: z 3 4 i

z i với log (4 n  3) log (4 n  9) 3. ĐS: z 8 8 i

v)

100

96 98

(1 ) (1 ) (1 )

i z

z   

w) 2015 1 2 2 3 , 4 z z z z             với: z1 4 3 , i z2i. ĐS: zi.

x) 2 (1 i) (2 i z)     8 i (1 2 ) i z ĐS: z  2 3 i

BT 4 Tìm các thuộc tính (phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, môđun) của số phức, biết: a) 2zi z   2 5 i ĐS: z  3 4 i

b) z  (2 i z)   3 5 i ĐS: z 2 3 i

c) 2z 3(1 i z)   1 9 i ĐS: z  2 3 i

d) (3zz)(1  i) 5z  8i 1. ĐS: z 3 2 i

e) 2

(2  3 )i z  (4 i z)   (1 3 ) i ĐS: z 2 5 i

f) 2 (1 ) (1 2 ) z i z  i ĐS: z 10  3 i

g) z  (2 3 )i z  1 9 i ĐS: z  2 i.

h) z 2(iz z)   3i 1. ĐS: 1 11 4 10 5 z   i z   i

i) z 2z  6 2 i ĐS: z 2 2 i

j) z 2z  3 2 i ĐS: z 1 2 i

k) z  (2 i z)   5 3 i ĐS: 1 7 2 2 z   i

l) (1 i z)   (3 i z)   2 6 i ĐS: z  2 3 i

m) (1 i z)   (2 i z)   4 i. ĐS: z 2 i.

n) (2 i)(1    i) z 4 2 i ĐS: z 1 3 i

o) (3  2 ).i z 5(1 i z)   1 5 i ĐS: z  1 i.

p) (3 i z)   (1 2 ).i z  3 4 i ĐS: z 2 5 i

q) 2 (1  2 ) i z  z 4i 20. ĐS: z  4 3 i

r) (1  2 ).i z  (2 2 ).i zi. ĐS: 4 . 3 z  i

s) 3(z  1) 4zi.(7 i). ĐS: z  2 i.

t) 2(z  1) 3.zi.(5 i). ĐS: z 1 i.

u) (1 2 )  i z 3(1 i z)   2 7 i ĐS: z 3 2 i

v) 2 (1 3 )  i z  (1 i z)   5 i. ĐS: 5 2 3 3 z   i

w) z(1 2 )  i  z 10  4 i ĐS: z  2 3 i

x) 2 9 (1 2 ) 3 z  i   i z i ĐS: 1 1 6 2 z   i

y) (1  2 ).i z  (2 3 ).i z  2 2 i ĐS: z  1 i.

z) z 2.(z  z) 2 6 i ĐS: 2 6 5 z  i

aa) z  (2 i z)  (5  3 ).i z 1. ĐS: 1 1

6 6

z    i

bb) (1 i z)   (2 i z)   1 4 i ĐS: z 3 4 i

cc) (3 i z)   (1 i).(2   i) 5 i. ĐS: 2 4 5 5 z   i

dd) (z 2)(3   i) (z 3)(1 2 )  i   4 i. ĐS: 13 21 5 5 z   i

ee) 1 (3 ) 1 2 z z i i      ĐS: z 4 i.

ff) (2z 1)(1   i) (z 1)(1   i) 2 2 i ĐS: 1 1 .

3 3

gg) z z  3(z  z) 4 3 i ĐS: 15 1 2 2 z   i

hh) 3 18 26 z   i ĐS: z 3 i.

ii) 2 0. z  z ĐS: z0; z i.

jj) 2 2 . z  z z ĐS: 0, 1 1 2 2 z z   i

kk) z  (z 3).i 1. ĐS: z  3 4 i

ll) 2 2 (z 1)  z 1  10i z 3. ĐS: z 1 2i hoặc 1 5 2 z   i

mm) z 5 i 3 1 0. z     ĐS: z 1 3   z 2 3.

nn) (1 3 ) 2 1 iz i z z i     ĐS: z 0 hoặc 45 9 26 26 z   i

oo) 1 (1 ) (1 ) i z i z i z      ĐS: zi.

pp) z i (i 1) z z. z      ĐS: 1 1 2 2 2 2 z i              

qq) 2 ( 2 ) (1 2). z i i ĐS: z  5 2.i z  27.

rr) 3 1 3 1 i z i               ĐS: z  2 2i z2 2.

ss) 2 3 20 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

z    i i  i   i ĐS: 10 10 2 (2 1) z   i

BT 5 Tìm số phức  và các thuộc tính của nó trong c{c trường hợp sau: a) z.(1  2 )i   7 4 ,i với    z 2 i ĐS:   3 4 i

b)  2iz  (1 2 ) ,i z với (1 2 )  i z  1 2 i ĐS: 13 4 5 5 i     

c)    iz z, với z 3 2 i ĐS:   1 i.

d) 2 16 , z z    với z  1 i 3. ĐS:   2 2 3 .i

e)    z iz, với 1 3 1 i z i     ĐS:   1 i   2.

f) 2 , z z    với (2 ). 1 5 1 i i z i i       ĐS:   5 5i  5 2.

g)     z 2 3 ,i với (1i z). 2.z2. ĐS:   3 4 i

h) Tìm z 2 ,z với iz  3i 2. ĐS: z 2z  85.

i) Tìm zi với (z   i) (z i) 2 iz ĐS: z i 2.

j) Tìm 25i , z biết rằng (4 3 ) 26 6 2 z i z i i     ĐS: 25 5. i z 

k) 2 1 iz z ,     với z  (2 i z)   5 i. ĐS:  3 i

l)    z 2 ,z với (1i z). 2 i z 5 3 i ĐS:   6 i.

1 z z ,

1

i z



 

n)    z iz, với: 3 (1 3) 1 i z i     ĐS:   8 8i  8 2.

o) z 22z 1, z    với: (1 i z)(  i) 2z 2 i ĐS:   1 3i   10.

p) 4 , 1 z z     với: 2 2 1   z z i  (iz 1) ĐS: 1 2 , 1 1 2 2 i i     

BT 6 Tìm số phức và các thuộc tính khi nó thỏa mãn đồng thời c{c điều kiện sau: a) z 5 và phần thực bằng 2 lần phần ảo ĐS: z   3 i.

b) z   2 i 2 và phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị ĐS: z 2 2 (1 2) .i

c) z   2i 1 5 z  2 3i 0 và phần thực bằng 2 lần ảo ĐS: 4 2 3 3 . 2 z  i   z i

d) z z 10 và z 13. ĐS: z  5 12 i

e) z  1 2i  5 và z z . 34. ĐS: 3 5 29 3 . 5 5 z  i   z  i

f) z   (2 i) 10 và z z . 25. ĐS: z 3 4 i  z 5.

g) z  1 2i  z 2 i và z  1 5. ĐS: 1 3 2 6 5 5 z  i    z i

h) 2z   i z z 2i và 2 2 ( ) 4. z  z  ĐS: 3 3 1 4 4 z  i

i) z2 2 z zz2 8 và z z 2. ĐS: z 1 i z,  1 i.

j) z 1và 2 2 3 z z  có phần thực dương, phần ảo âm ĐS: 3 1 1 3 . 2 2 2 2 z  i   z i

k) 12 5 8 3 z z i    và 4 1 8 z z    ĐS: z 1 i.

BT 7 Tính: 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 1 1 1 1 , P z z z z z z z z                                 biết 3 1 2 i z    ĐS: P 15.

BT 8 Tìm số phức và các thuộc tính khi nó thỏa mãn đồng thời c{c điều kiện sau: Số phức z a bi là thuần ảo  phần thực a 0 và z là số thực  phần ảo 0. b  a) z  2 và 2 z là số thuần ảo ĐS: z  1 i z,   1 i.

b) z i 2 và (z 1)(zi) là số thực ĐS: z 1, z  1 2 i

c) (1 3 )  i z là số thực và z  2 5i 1. ĐS: 2 6 , 7 21 5 5 z  i z  i

d) (z 1)(z 2 )i là số thực và z  1 5. ĐS: z 2 , i z  2 2 i

e) 2z   i z z 2i và (2 z i)( z) là số thực ĐS: 1 5 3 5 .

2

z     i

BT 9 Tìm z thỏa z 2 và 2 1 z i   là số thực ? ĐS: z  3i.

BT 10 Tìm z thỏa 2z z 13 và (12 ).i z là số thuần ảo ? ĐS: z 2 i z,  2 i.

BT 11 Tìm z thỏa z z 6 và 2 2 8 z  z i là số thực ? ĐS: z 3 2 i

BT 12 Tìm z thỏa z  2 z và (z   1) (z i) là số thực ? ĐS: z  1 2 i

BT 13 Tìm z thỏa: z 3i  1 iz v| z 9

z

 là số thuần ảo ? ĐS: z2 , i z  52 i

BT 14 Cho hai số phức z1 và z2 thỏa: 2 2 2

1 2 1 2 ( 1 2 )

z z z z  z z Chứng minh rằng: z1 z2

?

BT 15 Tìm z z1, 2 thỏa: 2013

4z  3.i iz  5 và 2 2013

1 1

4

z z

1 1 , 2 4 (4 2 ) .

z  i z    i

BT 16 Giả sử z z1, 2 là hai số phức thỏa mãn đồng thời c{c điều kiện: 6z  i 2 3iz và

1 2

1 3

z z   Tính môđun của z1z2 ? ĐS: 1 2 3

3

BT 17 Cho z là số phức thỏa mãn (1 z i)( z) là số ảo Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: P z i ? ĐS: min 0 khi

Câu 28 Số phức liên hợp của số phức 5 2   i 3( 7 6 ) (2i  i) là?

A 18 17i B 18 17i C  14 19i D 28 17i

Câu 29 Phần ảo của số phức 3 2

2

i i

3 42019

có tọa độ là :

Câu 38 Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau :

A Số phức z a bi được biểu diễn bằng điểm M a b( ; ) trong mặt phẳng Oxy

B Số phức z a bi có số phức liên hợp là  a bi

C Số phức z     a bi 0 a b 0

D Số phức z a bi có số phức đối  a bi

Câu 39 Cho số phức z a bi ab, 0.Khi đó số phức 2

z là số thuần ảo trong điều kiện nào sau đ}y?

m m

m m

m m





  



Câu 43 Cho số phức za a( R) Khi đó khẳng định đúng l|

A z là số thuần ảo B z có phần thực là a, phần ảo là i

Câu 44 Cho số phức z, khi đó mệnh đề sai là

Câu 47 Cho các số phức: z13 ,i z2   1 3 ,i z3   2 3i Tổng phần thực và phần ảo của số phức

có mô đun lớn nhất trong 3 số phức đã cho l|

A 3 B 5 C 1 D 5

Câu 48 Cho các số phức: z1  1 3 ,i z2   2 2 ,i z3  2 3i Tích phần thực và phần ảo của số phức có mô đun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho l|

A 3 B 2 2 C 2 3 D 2 2

Câu 49 Cho các số phức: z1 3 ,i z2   1 3 ,i z3  m 2i Tập giá trị tham số m để số phức z3 có

mô đun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho l|

A  ; 5  5; B  5; 5

  C  5; 5 D m  5; 5

Câu 50 Cho các số phức: z12 ,i z2   m 3 2 ,i z3 1 2i Tập giá trị tham số m để số phức z2 có

mô đun lớn nhất trong ba số phức đã cho l|

Câu 52 Cho số phức z  2 m (m3)i Điểm biểu diễn trên mặt phẳng  Oxy của số phức zcó

mô đun nhỏ nhất có tọa độ là

Câu 54 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 2i  z 2i Mô đun nhỏ nhất của số phức z là

x x

x x

m m

m m

Câu 64 Cho số phức z a bi a b; , R a, 2b20 Khi đó số phức z2(a bi )2là số thuần ảo

trong điều kiện n|o sau đ}y?

Câu 70 Cho hai số phức z a bi a b; , R và z' a' b i a b' ; ', 'R (Trong đó a a b b, ', , ' đều

kh{c 0) điều kiện giữa a a b b, ', , ' để z

z ' là một số thuần ảo là

Câu 71 Cho số phức z a bi a b; , R Để z3 là một số thực, điều kiện của a và b là:

Câu 75 Cho 2

z i

Câu 80 Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận

sau, kết luận n|o đúng.?

A zR B z 1 C z là số thuần ảo D z  1

Câu 81 Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A Số phức z a biđược biểu diễn bằng điểm M a b( ; ) trong mặt phẳng phức Oxy

Câu 90 Cho hai số phức: z1 6 8i, z2 4 3i Khi đó gi{ trị z1z2 là:

Câu 95 Cho các mệnh đề sau:

I Mỗi số thực a được coi l| số phức

II Số ảo l| số phức có phần thực bằng 0

III Số phức a+bi=0 khi v| chỉ khi a b 0

Các mệnh đề đúng là:

A.I B II và III C III D I, II và III

Câu 96 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện 2  2 

Câu 104 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   (2 i z )  13 3  i Phần ảo của số phức z

Câu 134 Số phức z

i

32



D

72

Câu 135 Phần ảo của số phức zi3 là

i z

i i

21