SỞ GDĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 2 THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 11 LẦN 2 NĂM HỌC 2016– 2017 Môn thi: TOÁN HỌC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1(6,0 điểm). Giải các phương trình sau: a) b) Câu 2(5,0 điểm). Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp Tính xác suất để trong ba số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp. Cho dãy số xác định bởi: Tìm công thức số hạng tổng quát theo n. Câu 3(5,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a (a>0). Lấy M thuộc AB, P thuộc CD sao cho AM=DP = . Mặt phẳng (α) chứa MP và song song với AC cắt tứ diện theo một thiết diện. Trình bày cách xác định thiết diện
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 2
THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 11 LẦN 2
NĂM HỌC 2016– 2017 Môn thi: TOÁN HỌC
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1(6,0 điểm) Giải các phương trình sau:
4sin 3 cos 2 1 2cos ( )
x
6
x
x + x − = −
Câu 2(5,0 điểm)
a) Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp A={1;2; ;20}. Tính xác suất để trong ba số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp
b) Cho dãy số ( )u xác định bởi: n *
u = u + = u + ∀ ∈n ¥ Tìm công thức số hạng tổng quát u theo n n
Câu 3(5,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a (a>0) Lấy M thuộc AB, P thuộc
CD sao cho AM=DP =
3
a
Mặt phẳng (α) chứa MP và song song với AC cắt tứ diện theo một thiết diện
a Trình bày cách xác định thiết diện
b.Tính diện tích thiết diện
Câu 4(2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Điểm
M thuộc cạnh AB sao cho AM=2MB Biết B(6;4), phương trình CM: x y+ − =8 0,
điểm D thuộc d: 2x y− + =2 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, C và D
Câu 5(2,0 điểm) Cho ba số thực dương thay đổi , ,a b c thỏa mãn:
a + + ≥ + +b c a b c ab bc ca+ +
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
abc
……….Hết……….
Trang 2Hd chấm
1
(6,0đ)
4sin 3 cos 2 1 2cos ( ) (1).
x
Phương trình đã cho tương đương với
3 2(1 cos ) 3 cos 2 1 1 (2 )
2
2cosx 3 cos 2x sin 2x
sin 2 cos 2 cos
sin(2 ) cos
3
5
k
b) (3,0 điểm)
Điều kiện xác định: 5x2 − ≥ 2 0.
Đặt 5 2 2( 0).
6
x
Phương trình đã cho trở thành
3 x + 6t + − = ⇔ 2 1 t x + 6t + = + 2 (t 1) 0,5
2
2
2 2
1
1
6
x
x x
x
≥ −
+ + =
⇔ = − + (tm đk)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x= − + 6 28.
0,5
2 a) (3,0 điểm)
Trang 3Số cách chọn ba số đôi một khác nhau từ tập A là 3
20 1140
Số cách chọn ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp là 17*2+17*16=306 1,0
Vậy xác suất cần tìm là 1140 18 306 816 68.
b) (2,0 điểm) Cho dãy số ( )u xác định bởi n *
1 1, 1 2 3 ,n .
u = u + = u + ∀ ∈n ¥ Tìm công thức số hạng tổng quát u theo n n
Với mọi n∈ ¥ , ta có *
1
1 2 3n 1 3n 2( 3 )n
Xét dãy số ( ),v với n 3 ,n *
v = −u ∀ ∈n ¥ Ta có: v n+1 = 2 v n Do đó, dãy số ( )v là một cấp số nhân có công bội n q 2= và số hạng đầu bằng −2 0,5 Suy ra 1 n 1 2 n
n
Vậy 3n 3n 2 n
4
(2,0đ)
M thuộc cạnh AB sao cho AM =2MB. Biết B(6;4), phương trình CM: x y+ − =8 0, điểm D thuộc d: 2x y− + = 2 0 Tìm A, C, D
Gọi I là giao điểm của BD và CM.
Ta có DI DC 3 BD 4BI (1).
( ;8 ).
I CM∈ ⇒ I t −t Từ (1), ta có: D(4t 18;20 4t).− −
2
C CM∈ ⇒C(c;8 c);CB (6 c;c 4),CD ( c;c 6).− uuur= − − uuur= − −
CB.CD 0
c 6 C(6;2)
=
=
Với C(2;6),AB DCuuur uuur= ⇒A(4;0)
C D
M I
Trang 4(2,0đ)
Từ giả thiết, ta có: (a b c+ + ) 2 ≥ + + (a b c ab bc ca) + + − 2(ab bc ca+ + )
2 2 2
a b c 2 ab bc ca+ + ≥ + + ⇔ + + ≥a b c 2(ab bc ca)+ +
0,5
2 (b c a) 4bc (1)
⇔ + − ≥ Vì vai trò a, b, c như nhau nên giả sử
a min a,b,c= Từ (1) ta có b c a+ − ≥ 2 bc. 0,5
P a b c 2(ab bc ca) 2(a b c)
abc
4
2 bc 2 bc 4a 4 2 bc.2 bc a.4 8.
0,5
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi 1, 2.
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8.
0,5