Bai tap ung dung dao ham de khao sat ve do thi ham so

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  Tìm tập xác định của hàm số.. + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ trong trư

Netschool.edu.vn

BI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Bài 1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y  2x24x5 b)

x

d) y x 32x2 x 2 e) y (4 x x)( 1)2 f) y x 33x24x1

g) 1 4 2 2 1

4

y  x  x  h) y  x4 2x23 i) 1 4 1 2 2

5

x

y

x





1 2

x y

x





1 1 1

y

x

 

 n)

2

2

y

x

 



1 3 1

x

   

 p)

2

3

y

x

Bài 2 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y 6x48x33x21 b)

2 2

1 4

x y x





2 2

1 1

x x y

x x

 



 

2x 1

y

x



x y



  f) y x  3 2 2x g) y  2x 1 3x h) y x 2x2 i) y 2x x 2

VẤN ĐỀ 2 Tìm điều kiện để hàm số luơn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luơn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nĩ:

a) y x 35x13 b)

3 2

3

x

2

x y x





 d)

2 2 3

1

y

x

 



 e) y3xsin(3x1) f)

2 2 1

y

x m





Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau luơn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nĩ:

a) y  5x cot(x1) b) ycosx x c) ysinxcosx2 2x

Bài 3 Tìm m để các hàm số sau luơn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nĩ: a) y x 33mx2(m2)x m b)

3 2

x m





 d) y mx 4

x m





2 2 1

y

x m



2 2 3 2

2

y





Bài 4 Tìm m để hàm số:

a) y4x3(m3)x2mx nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 1

Netschool.edu.vn

y x  mx  mx m nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 3

c) 1 3 ( 1) 2 ( 3) 4

3

y  x  m x  m x đồng biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 4

Bài 5 Tìm m để hàm số:

a)

3

2

3

x

y  m x  m x đồng biến trên khoảng (1; +)

b) y x 33(2m1)x2(12m5)x2 đồng biến trên khoảng (2; +)

c) y mx m

 đồng biến trên khoảng (1; +)

d) y x m

x m





 đồng biến trong khoảng (–1; +)

e)

2 2 3 2

2

y



 đồng biến trên khoảng (1; +)

f)

2

y

x



 nghịch biến trên khoảng 1 ;

2

 

 

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

3

6

x



c) tan , 0

2

d) sin tan 2 , 0

2

Bài 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tan , 0

b b   



2

2

Bài 3 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin 2 , 0

2

x

c) xsinx cosx 1,với 0 x

2



BI 2: CỰC TRỊ HM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y3x22x3 b) y x 32x22x1 c) 1 3 4 2 15

3

Netschool.edu.vn

d)

4

2 3 2

x

4

2 3

x

g)

2 3 6 2

y

x

  



2

1

y

x

 



2 2 15 3

y

x

 





Bài 2 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y(x2) (3 x1)4 b)

2 2

x x y

x x



2 2

1

x x y

x x



 

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị

Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luơn cĩ cực đại, cực tiểu:

a) y x 33mx23(m21)x m 3 b) y2x33(2m1)x26 (m m1)x1

c)

2 ( 2 1) 4 1

y

x m



1

y

x m



 

Bài 2 Tìm m để hàm số:

a) y(m2)x33x2mx5 cĩ cực đại, cực tiểu

b) y x 33(m1)x2(2m23m2)x m m ( 1) cĩ cực đại, cực tiểu

c) y x 33mx2(m21)x2 đạt cực đại tại x = 2

d) y mx42(m2)x2 m 5 cĩ một cực đại 1

2

x e)

2 2 2

y

x m



 đạt cực tiểu khi x = 2

f)

2 ( 1) 2 4 2

1

y

x



 cĩ cực đại, cực tiểu

g)

2

1

y

x

 



 cĩ một giá trị cực đại bằng 0

Bài 3 Tìm m để các hàm số sau khơng cĩ cực trị:

a) y x 33x23mx3m4 b) y mx 33mx2(m1)x1

c)

3

y

x



2 ( 1) 2 4 2

1

y

x





Bài 4 Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) y ax 3bx2cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4

27 tại x =

1 3 b) y ax 4bx2c cĩ đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3

c)

2

1

y

x

 



 đạt cực trị bằng –6 tại x = –1

Netschool.edu.vn

d)

2

y

bx a

 



 đạt cực trị tại x = 0 và x = 4

e)

2 2

2 1

ax x b

y

x



 đạt cực đại bằng 5 tại x = 1

Bài 5 Tìm m để hàm số :

a) y x 32(m1)x2(m24m1)x2(m21) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

1 2

1 2

2 x x

3

y x mx mx đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1x2 8

c) 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1

y mx  m x  m x đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x12x2 1

Bài 6 Tìm m để hàm số :

a)

1

y

x m



  cĩ cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu

b)

2 ( 1) 2 4 2

1

y

x



 cĩ cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

c)

2 3 4

y

x

  



 cĩ giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả M m 4 d)

2

2

y

x

  



 cĩ y CĐy CT 12

Bài 7 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y  x3 mx24 cĩ hai điểm cực trị là A, B và

2

2 900 729

m

b) y x 4mx24x m cĩ 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm

c)

y

x m



 cĩ hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung Chứng minh hai điểm cực trị luơn luơn nằm cùng một phía đối với trục hồnh

d)

2

1

y

x





 cĩ khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10

e)

2 2 5 1

y

x



 cĩ hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng y = 2x f)

2 2 3

y

x m

  



 cĩ hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

Bài 8 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y2x3mx212x13 cĩ hai điểm cực trị cách đều trục tung

Netschool.edu.vn

b) y x 33mx24m3 cĩ các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất c) y x 33mx24m3 cĩ các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d):

3x2y 8 0

d)

2 (2 1) 2 1

1

y

x



 cĩ hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng (d):

2x3 1 0y 

Bài 9 Tìm m để đồ thị hàm số :

a)

2 ( 1) 2 1

y

x m



 cĩ hai điểm cực trị ở trong gĩc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ b)

2

y



 cĩ một điểm cực trị nằm trong gĩc phần tư thứ hai và điểm kia nằm trong gĩc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ

c)

2 ( 2 1) 4 2

y

x m



 cĩ một điểm cực trị nằm trong gĩc phần tư thứ nhất và điểm kia nằm trong gĩc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ

d)

2 (2 1) 2 1

1

y

x



 cĩ hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hồnh (tung)

Bi 10 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :

a) y x 32x2 x 1 b) y3x22x3 c) y x 33x26x8

d)

2

3

y

x

 



2 1 2

y x

 





Bi 11 Khi hàm số cĩ cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số:

a) y x 33mx23(m21)x m 3 b)

y

x m

 



 c) y x 33(m1)x2(2m23m2)x m m ( 1) d)

1

y

x m



 

Bi 12 Tìm m để hàm số:

a) y2x33(m1)x26(m2)x1 cĩ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1

b) y2x33(m1)x26 (1 2 )m  m x cĩ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng

y = –4x

c) y x 3mx27x3 cĩ đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuơng gĩc với đường thẳng y = 3x – 7

d) y x 33x2m x m2  cĩ các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ():

BI 3: GI TRỊ LỚN NHẤT V GI TRỊ NHỎ NHẤT

Netschool.edu.vn

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Bài 1 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y x 24x3 b) y4x33x4 c) y x 42x22

d) y x2 x 2 e) 2

1

x y





2 2

1

x x y

x





Bài 2 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y2x33x212x1 trên [–1; 5] b) y3x x 3 trên [–2; 3]

c) y x 42x23 trên [–3; 2] d) y x 42x25 trên [–2; 2]

e) 3 1

3

x

y

x





1 1

x y x





 trên [0; 4]

g)

2

2

y

x

 



 trên [0; 2] h)

2 2

1 1

x x y

x x

 



  trên [0; 1]

i) y 100x2 trên [–6; 8] k) y 2 x 4x

BI4: TIỆM CẬN

BI 1 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) 2 5

1

x

y

x





10 3

1 2

x y

x





2

x y

x







BI 2 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

x y



2 9

x y

x





 c)

2 2

1

x x y

x





KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y

+ Tìm các điểm tại đĩ đạo hàm y bằng 0 hoặc khơng xác định

+ Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu cĩ)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba)

– Tính y – Tìm các điểm tại đĩ y = 0 và xét dấu y + Vẽ các đường tiệm cận (nếu cĩ) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị khơng cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì cĩ thể bỏ qua) Cĩ thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để cĩ thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu cĩ) của đồ thị

2 Hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d a ( 0):

 Tập xác định D = R

 Đồ thị luơn cĩ một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Netschool.edu.vn

 Các dạng đồ thị:

a > 0 a < 0

y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

 ’ > 0

y’ = 0 có nghiệm kép

 ’ = 0

y’ = 0 vô nghiệm

 ’ < 0

3 Hàm số trùng phương y ax 4bx2c a( 0):

 Tập xác định D = R

 Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

 Các dạng đồ thị:

4 Hàm số nhất biến y ax b (c 0,ad bc 0)

cx d



 Tập xác định D = R\ d

c

 



 

 

 Đồ thị có một tiệm cận đứng là x d

c

  và một tiệm cận ngang là y a

c

 Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

 Các dạng đồ thị:

y

x

0 I

a > 0 a < 0

y’ = 0 có 3 nghiệm phân

biệt

 ab < 0

y’ = 0 chỉ có

1 nghiệm

 ab > 0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

I

y

x

0

I

y

x

0

I

Netschool.edu.vn

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y x 33x29x1 b) y x 33x23x5 c) y  x3 3x22

d) y(x1) (42 x) e)

3

2 1

x

y x  f) y  x3 3x24x2

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y x 42x21 b) y x 44x21 c)

4

2 5 3

x

d) y(x1) (2 x1)2 e) y  x4 2x22 f) y 2x44x28

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

2

x

y

x





1

x y x





3 4

x y

x





 d) 1 2

1 2

x y

x





3 1 3

x y x





2

2 1

x y x







BÀI 6: SỰ TƯƠNG GIAO

Bài 1 Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

a)

2 3 3

1

2 2

x

x

y



   





  



b)

2

1

x y x

  



    



2

   

d)

4 2

2 1

   



3 2

2 5 10 5 1



  

2

1

3 1

x y x



 

   



Bài 2 Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

a) y x x

y m x

3 3 2

( 2)

   

3 2

2

1 13

2 12

y m x





    



c)

3

3 3 ( 3)

x

y m x



   





d)

2 2

x

y

x

 

  



e)

1 1 2

x y x

 

   



f)

2 6 3 2

y

x

y x m

 

  



0

ad – bc > 0

x

y

0

ad – bc < 0

x

y

Netschool.edu.vn

g)

1 3 1 3

x

y mx

    

  



h)

2 3 3 2

y x

 



i) y x x

y m x

3 2

( 1)

   





Bài 3 Tìm m để đồ thị các hàm số:

a)

2

2

x

x

 cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b)

2

1

x

 

 cắt nhau tại hai điểm phân biệt

c)

2

1

x

 

 cắt nhau tại hai điểm cĩ hồnh độ trái dấu

d)

2 4 5; 2

2

x

 

 cắt nhau tại hai điểm cĩ hồnh độ trái dấu

e)

2

1

x

x



 cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau

f)

2

1

y

x

 



 cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ dương

Bài 4 Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x 33x2mx2 ;m y  x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

b) y mx 33mx2 (1 2 )m x1 cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt

c) y(x1)(x2mx m 23) cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt

d) y x 32x22x2m1; y2x2 x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

e) y x 32x2m x2 3 ;m y2x21 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

Bài 5 Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x 42x21; y m cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) y x 4m m( 1)x2m3 cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt

c) y x 4(2m3)x2m23m cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt

Bài 6 Tìm m để đồ thị của các hàm số:

4

x

x



 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đĩ tìm m để đoạn AB ngắn nhất b) 4 1;

2

x

x



 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đĩ tìm m để đoạn AB ngắn nhất c)

2 2 4 ; 2 2

2

x

 

 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đĩ tính AB theo m

Bài 7 Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) y x 33mx26mx8 cắt trục hồnh tại ba điểm cĩ hồnh độ lập thành một cấp số cộng b) y x 33x29x1; y4x m cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC c) y x 4(2m4)x2m2 cắt trục hồnh tại bốn điểm cĩ hồnh độ lập thành một cấp số cộng

Netschool.edu.vn

d) y x 3(m1)x2(m1)x2m1 cắt trục hồnh tại ba điểm cĩ hồnh độ lập thành một cấp số nhân

e) y3x3(2m2)x29mx192 cắt trục hồnh tại ba điểm cĩ hồnh độ lập thành một cấp số nhân

BÀI 7: BIỆN LUẬN NGHIỆM PT BẰNG PP ĐỒ THỊ

2

(1m x)  (1 m x)  1 0

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) y x 33x1; x33x  1 m 0 b) y  x3 3x1; x33x m  1 0

c) y x 33x1; x33x m 22m 2 0 d) y  x3 3x1; x33x m  4 0

e)

4

2

x

y   x  x  x   m f) y x 42x22; x42x2  m 2 0

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a)

2

2

3

x

 

 b)

2

2

x

 

 c)

2

2

x

x



d)

2

2

x

 



Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a)

2

2

x

x

b)

2

2

x



c)

2

2

2

x

 

d) y x 33x26; cos3x3cos2x  6 m 0

Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a)

2 5 7; 2 (3 7)2 5

 

 b)

2

1

 

 c)

2

2

x

 



Netschool.edu.vn

d)

2

2

x

 

Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T) Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a)

b)

( ) :C y x x ; ( ) :T y x x ; x x m 2 0

c) ( ):C y x 33x26; ( ):T y x 33x26 ;x33x2   6 m 3 0

( ):C y2x 9x 12x4; ( ):T y2x 9x 12x 4; 2 x 9x 12x m 0

e) ( ):C y(x1) (22 x T y); ( ): (x1) 22 x x;( 1) 22  x (m1) (22 m)

f)

2

( ) :C y x ; ( ) :T y x ; (m 1)x 2 x 1 0

Bài 6 Cho hàm số ( ) 2

1

x

y f x

x



 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuơng gĩc với đường thẳng x3y0

c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

2

3x (m2)x m  2 0

Bài 7 Cho hàm số ( ) 1

1

x

y f x

x



 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuơng gĩc với đường thẳng x2y0

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2

2x (m1)x m  1 0

Bài 8 Cho hàm số

2

( )

1

x

y f x

x

 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: