Phát huy tính tích cực của học sinh thông qua hệ thống bài tập ứng dụng đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ thông

Đạo hàm là công cụ để ta nghiên cứu các tính chất của hàm số như tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị,…Vận dụng tính chất đạo hàm còn giúp học sinh giải được các bài toán đ

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Cô giáo ThS Phạm Hồng Minh, người đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận này, đồng thời đã bổ sung nhiều kiến thức chuyên môn

và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong hoạt động nghiên cứu khoa học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô Trường Đại học Quảng Bình, đặc biệt là quý Thầy Cô trong khoa Khoa học tự nhiên đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và tạo mọi điều kiện để giúp tôi hoàn thành bài khóa luận này

Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Đại học Sư phạm Toán Khóa 56 đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành tốt khóa luận này

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả nghiên cứu trong bài khóa luận này là hoàn toàn trung thực Đây là công trình nghiên cứu của chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của Cô giáo ThS Phạm Hồng Minh

Chúng tôi chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình này

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018

Tác giả

Trương Thị Hải Yến

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

LỜI CAM ĐOAN ii

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT iii

MỤC LỤC iv

PHẦN MỞ ĐẦU 1

PHẦN NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1 Cơ sở lý luận 3

1.1 Phát huy tính tích cực học tập của học sinh 3

1.2 Tư duy 4

1.2.1 Khái niệm tư duy 4

1.2.2 Đặc điểm của tư duy 5

1.2.3 Các thao tác tư duy 8

1.3 Tư duy sáng tạo 8

1.3.1 Định nghĩa tư duy sáng tạo 8

1.3.2 Cấu trúc của tư duy sáng tạo 10

1.3.3 Một số biện pháp phát huy tính tích cực của học sinh phổ thông 12

2 Cơ sở thực tiễn 12

2.1 Thực trạng dạy học ứng dụng đạo hàm ở trường phổ thông hiện nay 12 2.2 Vai trò của hệ thống bài tập khi dạy học để phát huy tính tích cực ở học sinh 13

CHƯƠNG II PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA HỆ

THỐNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 15

Dạng 1 Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số 15

Dạng 2 Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số 18

Dạng 3 Ứng dụng đạo hàm giải phương trình 21

Dạng 4 Ứng dụng đạo hàm giải bất phương trình 24

Dạng 5 Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình 28

Dạng 6 Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất 32

Dạng 7 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 43

Dạng 8 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế 49

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đang sống trong thế kỷ của trí tuệ sáng tạo Đất nước đang trong thời kỳ đổi mới, đó là công nghiệp hoá, hiện đại hoá Phát triển Giáo dục và Đào tạo là một động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá, là điều kiện phát huy nguồn lực con người – yếu tố cơ bản để phát triển xã hội, tăng trưởng nền kinh tế nhanh và bền vững Sự nghiệp giáo dục phải góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho thế hệ trẻ trẻ tiềm năng trí tuệ, tư duy sáng tạo, tính tích cực tự giác trong học tập, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh tri thức, năng lực giải quyết vấn đề thích ứng được với thực tiễn cuộc sống Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khoá VII) đã chỉ ra: “Giáo dục đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp qua đó góp phần tích cực thực hiện các mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ văn minh”

Trong chương trình giải tích 12-THPT, nội dung đạo hàm và ứng dụng giữ vai trò chủ đạo, chiếm một khối lượng kiến thức và thời gian của chương trình môn Toán, kiến thức về đạo hàm chiếm tỷ lệ cao trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp Vì vậy việc sử dụng đạo hàm để giải toán là một nội dung rất cần thiết và hữu ích đối với các em học sinh Đạo hàm là nội dung cơ bản trong chương trình toán phổ thông, là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích Đạo hàm là công cụ

để ta nghiên cứu các tính chất của hàm số như tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị,…Vận dụng tính chất đạo hàm còn giúp học sinh giải được các bài toán đại số như: giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức,…Ngoài ra, đạo hàm còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như: bài toán tính vận tốc, gia tốc của một chuyên động vật lý, bài toán cực trị trong kinh tế, trong chuyển động, …

Thực tế dạy học toán ở trường phổ thông cho thấy còn nhiều học sinh gặp khó khăn khi sử dụng kiến thức đạo hàm để giải bài tập, một trong những nguyên nhân chính là do các em không hiểu sâu sắc khái niệm, chưa chủ động, tích cực trong học tập… Học sinh thường có thói quen vận dụng thuật toán để giải một cách máy móc mà không hiểu đúng bản chất của toán học

Với những lí do trên tôi quyết định lựa chọn đề tài làm khoá luận của

mình là “Phát huy tính tích cực của học sinh thông qua hệ thống bài tập ứng dụng đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng đạo hàm và biện pháp phát huy tính tích cực cho học sinh phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về tư duy, tư duy sáng tao, tính tích cực trong học tập

- Nghiên cứu thực trạng dạy học ứng dụng đạo hàm ở trường phổ thông

- Đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

4 Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu ứng dụng đạo hàm trong chương trình toán phổ thông

5 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh trung học phổ thông

6 Vấn đề nghiên cứu

Làm thế nào để phát huy tối đa tính tích cực của học sinh thông qua bài tập ứng dụng đạo hàm trong chương trình toán THPT

7 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, tổng hợp kiến thức từ các nguồn khác nhau

8 Cấu trúc khoá luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận này gồm hai nội dung cơ bản:

Chương I Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương II Một số bài tập ứng dụng đạo hàm trong toán phổ thông

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận

1.1 Phát huy tính tích cực học tập của học sinh

Phát huy tính tích cực của học sinh trong hoạt động học tập của học sinh là yêu cầu tất yếu và cấp bách của giáo dục Luật giáo dục năm 2005 chương II mục 2 điều 25 có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động vào tình cảm đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh”

Theo từ điển Tiếng Việt “Tích cực là: có ý nghĩa, có tác dụng khẳng định, tác dụng thúc đẩy sự phát triển; tỏ ra chủ động, có những hoạt động nhằm tạo ra sự biến đổi theo hướng phát triển; hăng hái, tỏ ra nhiệt tình với nhiệm vụ, với công việc” Có thể hiểu rằng: tích cực là một hiện tượng sư phạm, biểu hiện sự cố gắng cao về nhiều mặt trong hoạt động học tập Nói đến tính tích cực học tập thực chất là nói đến tính tích cực nhận thức

Theo I.F.Kharlamop: “Tính tích cực nhận thức là trạng thái hoạt động của học sinh, đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực trong quá trình nắm vững kiến thức” [9]

Theo Giáo sư Trần Bá Hoành: “Tính tích cực học tập thực chất là tính tích cực nhận thức Biểu hiện của nó là cố gắng cao trong học tập, khát khao hiểu biết, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình chiếm lĩnh tri thức”[2]

Tính tích cực trong nhận thức được biểu hiện: Học sinh có nhu cầu tiếp thu kiến thức,kĩ năng, vận dụng kĩ năng để giao tiếp, gây hứng thú học tập từ đây các em sẽ tự giác học tập, chủ động huy động vốn kinh nghiệm

đã tích luỹ để làm chủ tri thức Có ba cấp độ biểu hiện tính tích cực học tập,

đó là: Bắt chước-Tìm tòi-Sáng tạo Phát huy tính tích cực học tập của học

1.2 Tư duy

1.2.1 Khái niệm tư duy

Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác, phải vạch ra những bản chất và những quy luật tác động của chúng Quá trình nhận thức được gọi là tư duy

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất, mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đại cương – Nguyễn Quang Uẩn) [6] Theo từ điển triết học: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả cuối cùng của tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”[8]

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng đuợc phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều góc độ khác nhau

từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

1.2.2 Đặc điểm của tư duy

Với tư cách là một mức độ của hoạt động nhận thức, tư duy có những đặc điểm sau:

+ Tính “có vấn đề” của tư duy

Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, tình huống có vấn đề Muốn giải quyết vấn đề đó con người phải tìm cách thức giải quyết mới Tức là con người phải tư duy

Ví dụ: Để giải một bài toán trước hết học sinh phải nhận thức được

yêu cầu, nhiệm vụ của bài toán, sau đó nhớ lại các quy tắc, công thức, định

lý có liên quan đến mối quan hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm, phải chứng minh để giải được bài toán Khi đó tư duy xuất hiện

Không phải bất cứ hoàn cảnh nào tư duy cũng xuất hiện Vấn đề chỉ trở nên "tình huống có vấn đề" khi chủ thể nhận thức được tình huống có vấn đề, nhận thức được mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề, chủ thể phải có nhu cầu giải quyết và phải có những tri thức liên quan đến vấn đề Chỉ trên

cơ sở đó tư duy mới xuất hiện

+ Tính gián tiếp của tư duy

Tư duy con người không nhận thức thế giới một cách trực tiếp mà có khả năng nhận thức nó một cách gián tiếp Tính gián tiếp của tư duy được thể hiện trước hết ở việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc, khái niệm, công thức, quy luật, …) và kinh nghiệm của bản thân vào quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát, …) để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng

Ví dụ: Để giải một bài toán thì trước hết học sinh phải biết được yêu

cầu, nhiệm vụ của bài toán, nhớ lại các công thức, định lí…có liên quan để giải bài toán Ta thấy rõ rằng trong quá trình giải bài toán đó con người đã dùng ngôn ngữ mà thể hiện là các quy tắc, định lí, … ngoài ra còn có cả kinh nghiệm của bản thân chủ thể thông qua nhiều lần giải toán trước đó

+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy

Khác với nhận thức cảm tính, tư duy không phản ánh sự vật, hiện tượng một cách cụ thể và riêng lẻ Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật hiện tượng, trên cơ sở đó

mà khái quát những sự vật hiện tượng riêng lẻ, nhưng có những thuộc tính chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù Nói cách khác tư duy mang tính trừu tượng và khái quát

Trừu tượng là dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết

Khái quát là dùng tri óc để hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại, một phạm trù theo những thuộc tính, liên hệ, quan hệ chung

Trừu tượng và khái quát có mối liên hệ mật thiết với nhau ở mức độ cao Không có trừu tượng thì không thể tiến hành khái quát, nhưng trừu tượng mà không khái quát thì hạn chế quá trình nhận thức

Ví dụ: Khi tính diện tích hình chữ nhật ta có công thức: S = (a x b)

Công thức này được áp dụng cho nhiều trường hợp tương tự với nhiều con

số khác nhau

+ Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

Tư duy mang tính có vấn đề, tính gián tiếp, tính trừu tượng và khái quát là do nó gắn chặt với ngôn ngữ Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết với nhau Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy của con người không thể diễn ra được, đồng thời các sản phẩm của tư duy (khái niệm, phán đoán, …) cũng không được chủ thể và người khác tiếp nhận Chẳng hạn, nếu không có ngôn ngữ thì những công thức toán học sẽ không

có và không thể hiện được những hiểu biết về tự nhiên

Ví dụ: Khi tiến hành lập trình PASCAL, người ta dùng ngôn ngữ để

ghi lại để có một chương trình lập trình hoàn chỉnh Nếu không có ngôn ngữ để ghi lại thì cả chủ thể lẫn người học đều không thể tiếp nhận được trọn vẹn tri thức

Ngôn ngữ cố định lại kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết quả tư duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả tư duy cho người khác và cho bản thân chủ thể tư duy Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vô nghĩa Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là

tư duy mà chỉ là phương tiện của tư duy.Ngôn ngữ của chúng ta ngày nay là kết quả của quá trình phát triển tư duy lâu dài trong lịch sử phát triển của nhân loại, do đó ngôn ngữ luôn thể hiện kết quả tư duy của con người

Ví dụ: Công thức tính diện tích hình vuông 𝑆 = 𝑎 𝑎 là kết quả của quá trình con người tìm hiểu tính toán Nếu không có tư duy thì rõ ràng công thức này vô nghĩa

+Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Nhận thức cảm tính bao gồm cảm giác và tri giác, trong đó:

Cảm giác là một quá trình tâm lí phản ánh từng thuộc tính riêng lẻ của sự vật hiện tượng đang trực tiếp tác động vào giác quan của ta

Tri giác là quá trình tâm lí phản ánh một cách trọn vẹn các thuộc tính

bề ngoài của sự vật, hiện tượng khi chúng đang trực tiếp tác động vào giác quan của ta

Tư duy phải dựa vào nhận thức cảm tính, dựa trên những tài liệu cảm tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trực quan sinh động Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề Nhận thức cảm tính là một khâu của mối liên hệ trực tiếp giữa tư duy với hiện thực, là cơ sở của những khái quát kinh nghiệm dưới dạng những khái niệm, quy luật, …là chất liệu của những khái quát hiện thực theo một nhóm, một lớp, một phạm trù mang tính quy luật

Ngược lại, tư duy và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi phối khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính: làm cho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con người

mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa Chính vì lẽ đó, Ph.Angghen đã viết:

“nhập vào với mắt của chúng ta chẳng những có các cảm giác khác mà còn

có cả hoạt động tư duy của ta nữa”

1.2.3 Các thao tác tư duy

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ Các thao tác cơ bản:

+ Phân tích - tổng hợp

+ So sánh - tương tự

+ Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá

1.3.Tư duy sáng tạo

1.3.1 Định nghĩa tư duy sáng tạo

Trong tâm lý học định nghĩa: “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài

vi giới hạn của hiện thực,của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có,giúp quá trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt và hiệu quả” Một số tác giả cho rằng: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới,tìm ra hướng đi mới,tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất ”

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết cho tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về nhữngmặt khác nhau của của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõnét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạora kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [3]

Theo Vũ Dũng: “Tư duy sángtạo là một kiểu tư duy, đặc trưng bởi sự sản sinh ra sản phẩm mới và xác lậpcác thành phần mới của hoạt động nhận thức nhằm tạo ra nó Các thành phần mới này có lên quan đến miền động

cơ, mục đích, đánh giá, các ý tưởng củachủ thể sáng tạo Tư duy sáng tạo được phân biệt với áp dụng các tri thức và kỹ năng sẵn có” [1]

Theo Tôn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp

lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất” Và theo tác giả “Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân tạo ra nó” [4]

G.Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Lúc những

cố gắng của người giải vạch ra được những phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả” [7]

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hoá sự sáng tạo với người học Toán: “Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới

mà họ chưa từng biết Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh đề nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày” [5]

Như vậy có thể có nhiều cách định nghĩa khác nhau về về tư duy sáng tạo, nhưng đều có một điểm chung cốt lõi đó là: Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy của cá nhân, nó phân biệt và khác với tư duy tái tạo về bản chất, tư duy sáng tạo là sự mới mẻ của tư duy (đồng thời đây cũng là điểm phân biệt giữa tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo) Sự khác biệt giữa tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo là sự sản sinh ra cái mới

1.3.2 Cấu trúc của tư duy sáng tạo

Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học, giáo dục chỉ ra rằng có 5 thành thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo đó là: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề

- Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự

của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ, nhận ra bản chất của sự vật và nhiều phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người

Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:

+ Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ

khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá và các phương pháp suy luận như: quy nạp, suy diễn tương tự Dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại

+ Suy nghĩ không dập khuôn, không máy móc áp dụng những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã có những yếu tố thay đổi Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước

+ Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau

- Tính nhuần nhuyễn: được đặc trưng bởi khả năng sáng tạo ra một ý

tưởng nhất định Số ý tưởng càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng

Tính nhuần nhuyễn có các đặc trưng sau:

+ Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một

vấn đề cần được giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó có thể tìm được phương án tối ưu

+ Khả năng xem xét đối tượng trên nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

-Tính độc đáo: Là khả năng tìm kiếm và giải quyết bằng phương thức

lạ hoặc duy nhất Người ta có thể phát hiện tính độc đáo trong tư duy sáng tạo của học sinh thông qua lời giải của các em khi thực hiện bài tập

Các đặc trưng của tính độc đáo:

+ Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

+ Khả năng tìm ra những mối quan hệ bên trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có mối liên hệ với nhau

+ Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

- Tính hoàn thiện:Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và

hàng động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

- Tính nhạy cảm vấn đề: là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn

đề, sự mâu thuẫn, sai lầm…từ đó đề xuất hướng giải quyết tạo ra cái mới

Ngoài ra, tư duy sáng tạo còn có những yếu tố quan trọng khác như: Tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại.Các yếu tố cơ bản trên có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được nhiều phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố cơ bản này lại có mối quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề,

1.3.3 Một số biện pháp phát huy tính tích cực của học sinh phổ thông

Để phát huy tính tích cực của học sinh phổ thông giáo viên cần tìm biện pháp để phát huy tư duy sáng tạo, tính chủ động học tập của học sinh tức là phải làm cho học sinh phát sinh nhu cầu muốn học, muốn tiếp thu

Từ đó tôi đề xuất một số biện pháp sau:

- Trong dạy học để phát huy tính tích cực, hứng thú học tập của học sinh giáo viên phải biết cách đưa học sinh vào những tình huống có vấn đề

và tổ chức cho học sinh độc lập, sáng tạo giải quyết vấn đề

- Luôn đưa ra các câu hỏi dẫn dắt để học sinh tự khám phá tránh, tăng cường trao đổi về hai phía giáo viên-học sinh Tránh đi vào lối mòn theo kiểu truyền thống giáo viên dạy, học trò tiếp thu mà không có sự tương tác lẫn nhau

- Việc phát triển tư duy phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri giác, năng lực quan sát và trí nhớ Bỡi lẽ, thiếu những tài liệu cảm tính thì

tư duy không thể diễn ra được

- Để phát triển tư duy không còn con đường nào khác là thường xuyên tham gia vào các hoạt động nhận thức và thực tiễn

Kiến thức đạo hàm trong chương trình phổ thông vẫn còn khá nặng về

lý thuyết,kiến thức khá dàn trải, các bài tập vận dụng còn ít và thường thiên

về các bài tập đã có thuật toán sẵn Các dạng bài tập của phần này khá nhiều do đó giáo viên cần khá nhiều công sức để chọn lọc, khái quát hoá để phù hợp với trình độ của từng nhóm đối tượng học sinh Phân phối chương trình trong sách giáo khoa phổ thông các kiến thức về đạo hàm đựợc dạy ở chương V, Đại số và giải tích lớp 11, trong khi đó ứng dụng đạo hàm được học ở chương I, Giải tích lớp 12 tức là khi vào làm bài tập ứng dụng đạo hàm học sinh cần thêm thời gian để ôn lại kiến thức vì bị ngắt quãng Hơn

nữa có thể thấy trong sách giáo khoa phổ thông chỉ chủ yếu ứng dụng đạo hàm để xét đơn điệu, tìm cực trị, khảo sát hàm số,…mà rất ít có ứng dụng

để giải bất phương trình, phương trình,…mà những phần này cũng rất hay

và có ý nghĩa trong phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

- Với thời lượng hạn chế của mỗi tiết học giáo viên thường chỉ có thể dạy cho học sinh cách tính đạo hàm, tìm cực trị,…mà không thể hướng dẫn học sinh ứng dụng chúng vào các dạng bài tập khác nhau Mà một điểm yếu nhiều học sinh mắc phải đó là đi tìm con đường giải bài tập từ lí thuyết đến vận dụng do đó chất lượng học tập phần này còn hạn chế

- Khi dạy học đạo hàm, chúng ta có thể nhận thấy học sinh vẫn nặng

về thuật toán mà chưa có sự linh hoạt trong khi giải bài tập Chẳng hạn, nhiều em sẽ nắm rất vững cách xét sự đơn điệu của một hàm số bất kì nào

đó nhưng khi giáo viên đưa ra các bài tập suy biến như có chứa tham số học sinh thường tỏ ra lúng túng

- Học sinh thường chỉ chăm chăm vào việc tìm cách giải một bài toán

mà không hiểu đựơc bản chất toán học do đó nhiều khi giáo viên chỉ cần có một thay đổi nhỏ trong cách ra đề đều có thể gây khó khăn cho học sinh

- Một thực tế khác là phương pháp kiểm tra, đánh giá trong nhiều năm trở lại đây thường xuyên thay đổi từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm Với thay đổi này nhiều học sinh vốn đã quen với cách học theo dạng, theo chủ đề đã được cho trước nay gặp nhiều khó khăn vì hình thức thi mới buộc các em phải hiểu kiến thức một cách tổng quát hơn Tuy nhiên, vì kiến thức bao quát hơn cho nên học sinh lại không hiểu sâu sắc kiến thức toán học, còn giáo viên lại khá lúng túng,khó khăn trong quá trình dạy học

2.2 Vai trò của hệ thống bài tập khi dạy học để phát huy tính tích cực

ở học sinh

Giải bài tập là hình thức chủ yếu trong hoạt động toán học, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn Chức năng của bài tập toán học là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra

Thông qua hệ thống bài tập học sinh vận dụng lí thuyết đã học, chọn lọc, xâu chuỗi các kiến thức có liên quan đến bài toán để giải từ đó tính tích cực của học sinh được phát huy Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình dạy học Cụ thể:

- Về mặt mục đích dạy học: Bài tập toán thể hiện các chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như:

+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ

+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán học là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lý thuyết

- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giúp mang những hoạt động để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác, khai thác tốt bài toán như vậy sẽ góp phần

tổ chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng

ý khác nhau Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập toán là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển

tư duy của học sinh, cũng như hiệu quả làm việc của giáo viên Một bài tập

cụ thể có thể nhằm vào những dụng ý trên nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt

Bước 2 Tính đạo hàm của hàm số đã cho

Bước 3 Tìm các giá trị mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

Bước 4 Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1 Xét tính đơn điệu của hàm số𝑦 = −𝑥3+ 3𝑥2 − 3𝑥 − 1 (1) TXD: 𝐷 = ℝ

𝑦′ = −3𝑥2+ 6𝑥 − 3 ⟹ 𝑦′ = 0 ⟺ 𝑥 = 1 Lập bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên (-∞, 1), nghịch biến trên (1, +∞)

*Nhận xét: Trong bài tập này học sinh hoàn toàn có thể tự giải được

một cách dễ dàng theo phương pháp giải đã nêu

Muốn tư duy của học sinh được cải thiện, giáo viên có thể thay đổi một số chi tiết từ bài toán đã biết, dẫn dắt đưa học sinh đi đến cách giải

Thông qua các bài toán có chứa tham số, học sinh sẽ khắc sâu kiến thức hơn và chủ động trong quá trình giải bài tập Chúng ta xét tiếp ví dụ sau

Ví dụ 2 Cho hàm số 𝑦 = −𝑥3 + 3𝑥2+ 3𝑚𝑥 − 1 (2), với m là tham

số thực Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên (0, +∞) (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2013)

Phân tích: Với bài tập này giáo viên đưa ra các câu hỏi gợi mở hoặc

dẫn dắt để học sinh chủ động tiếp cận kiến thức, phát huy tính tích cực của người học

- Rõ ràng hàm số (2) đã xuất hiện tham số m vậy nếu áp dụng phương pháp chung để giải thì có được không?

Như một thói quen tự nhiên nhiều học sinh sẽ đạo hàm và tìm nghiệm của nó

Ta có: 𝑦′ = −3𝑥2+ 6𝑥 + 3𝑚

∆= 36 + 36𝑚 Tuy nhiên ∆ có chứa tham số𝑚 cho nên việc tính ra nghiệm để lập BBT sẽ khá khó khăn Hơn nữa bài tập này không yêu cầu xét tính đơn điệu mà yêu cầu tìm 𝑚 để hàm (2) nghịch biến trên khoảng đã cho

- Vậy hàm số đơn điệu trên khoảng đã cho khi nào?

Trên cơ sở dẫn dắt, gợi mở của giáo viên học sinh huy động các kiến thức đã biết để đi đến câu trả lời:

“Hàm số 𝑓(𝑥, 𝑚) đồng biến (nghịch biến) trên D

⟺ 𝑓′(𝑥, 𝑚) ≥ 0 (𝑓′(𝑥, 𝑚) ≤ 0), ∀𝑥 ∈ 𝐷 và 𝑓′(𝑥) = 0 có hữu hạn

điểm thuộc D”

Áp dụng cho bài tập này ta có:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0,+∞) khi và chỉ khi 𝑦′ ≤ 0 ∀𝑥 ∈(0, +∞) (*)

- Cuối cùng bài toán quy về xét dấu của 𝑦′ Bài toán có thể giải bằng những hướng nào?

Hướng dẫn giải

+Hướng 1: Cô lập m, dùng phương pháp hàm số

𝑦′ = −3𝑥2+ 6𝑥 + 3𝑚 ≤ 0 ∀𝑥 ∈ (0, +∞) ⟹ 𝑚 ≤ 𝑥2− 2𝑥

Khi đó 𝑚 ≤ min 𝑓(𝑥) với 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 2𝑥

Dễ dàng tìm được 𝑚𝑖𝑛𝑓(𝑥) = −1 nên 𝑚 ≤ −1

+Hướng 2: Dùng định lý về dấu của tam thức bậc hai

Xét TH1 : 𝑁ế𝑢 ∆′= 9 + 9𝑚 ≤ 0 𝑠𝑢𝑦 𝑟𝑎 𝑚 ≤ −1

Khi đó 𝑦′ ≤ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑅 nên 𝑦′ ≤ 0 ∀𝑥 ∈ (0, +∞)

Xét TH2: Nếu ∆′> 0 𝑠𝑢𝑦 𝑟𝑎 𝑚 > −1 thì (1) đúng khi và chỉ khi

𝑦′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 𝑥1 < 𝑥2 ≤ 0 (3)

Nhận xét:

Như vậy thông thường có hai hướng để giải bài toán tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng đã cho Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng giải được bằng hai cách trên

a Trong trường hợp 𝑦′ chỉ chứa tham số m bậc nhất, ta cô lập được m nên có thể chọn hướng 1 để giải bài toán

Bài tập tương tự

Bài 1 Cho hàm số 𝑦 = 2𝑥3 − 3(2𝑚 + 1)𝑥2+ 6𝑚(𝑚 + 1)𝑥 + 1 với

𝑚 là tham số thực.Tìm 𝑚 để hàm số đồng biến trên (0,+∞)

Bài 2 Cho hàm số 𝑦 = 2𝑥3 − 3(2𝑚 + 1)𝑥 + 1 với 𝑚 là tham số thực.Tìm 𝑚 để hàm số đồng biến trên (0,+∞)

Bài 3 Cho 𝑦 = 𝑥3 − (𝑚 + 1)𝑥2 − (2𝑚2− 3𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚(2𝑚 − 1), với 𝑚 là tham số thực Tìm 𝑚 để hàm số đồng biến trên khoảng (2,+∞)

Bài 4 Cho hàm số 𝑦 = 𝑚−13 𝑥3 + (𝑚 + 2)𝑥2 + 3𝑚𝑥 + 5, với 𝑚 là tham số thực Tìm 𝑚 để hàm số đồng biến trên (-∞, 2)

Bài 5 Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3+ (𝑚 + 1)𝑥2+ 𝑚(𝑚 − 3)𝑥 −13, với 𝑚 là tham số thực Tìm 𝑚 để hàm số nghịch biến trên (1,+∞)

Dạng 2 Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số

Phương pháp chung

Cách 1:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Bước 2 Tìm 𝑦′, giải phương trình 𝑦′ = 0

Bước 3 Lập bảng biến thiên và kết luận:

+ Nếu 𝑦′ đổi dấu từ – sang + khi qua điểm 𝑥0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥0

+ Nếu 𝑦′ đổi dấu từ + sang – khi qua điểm 𝑥0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥0

Cách 2:

Bước 1 Tìm tập xác định

Bước 2 Tính 𝑦′ Giải phương trình 𝑦′ = 0 và kí hiệu 𝑥𝑖 (i=1,2,…) là các nghiệm của nó

Bước 3 Tính 𝑓′′(𝑥) và 𝑓′′(𝑥𝑖) rồi kết luận:

Nếu 𝑓′′(𝑥𝑖) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại 𝑥𝑖

Nếu 𝑓′′(𝑥𝑖) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥𝑖

𝑦′ = 0 ⟹ [ 𝑥 = 1

𝑥 = −2BBT

độ hoặc một đường thẳng nào đó…khi đó học sinh buộc phải chủ động tổng hợp kiến thức, đi tìm kiếm cách giải

Ví dụ 2 Cho hàm số 𝑦 = −𝑥3 + (2𝑚 + 1)𝑥2 − (𝑚2 − 3𝑚 + 2)𝑥 − 4 Tìm 𝑚 để hàm số đạt cực đại, cực tiểu sao cho hai cực trị đó trái dấu

Phân tích: Rõ ràng bài toán này yêu cầu tìm 𝑚 thoả mãn 2 điều kiện:

- Hàm số đạt cực đại, cực tiểu

- Hai cực trị trái dấu

?1 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi nào?

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi𝑦′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

𝑚 < −13−2√189 (I)

? 2 Hai cực trị trái dấukhi nào?

𝑥𝐶Đ, 𝑥𝐶𝑇 trái dấu khi và chỉ khi 𝑥𝐶Đ 𝑥𝐶𝑇 < 0

Với 𝑥𝐶Đ, 𝑥𝐶𝑇 là hai nghiệm của 𝑦′ = 0 nên học sinh có thể liên hệ với

hệ thức viet để tính 𝑥𝐶Đ 𝑥𝐶𝑇

𝑥𝐶Đ 𝑥𝐶𝑇 = 𝑚2− 3𝑚 + 2 < 0 Đến đây học sinh xét dấu của phương trình bậc hai với ẩn 𝑚 rồi đối chiếu với (I) để tìm điều kiện của 𝑚

? 3 Có nhận xét gì về vị trí của hai cực trị khi 𝑥𝐶Đ 𝑥𝐶𝑇 < 0?

𝑥𝐶Đ, 𝑥𝐶𝑇 trái dấu nghĩa là chúng nằm về hai phía so với trục tung Giáo viên có thể yêu cầu học sinh nhận xét thêm về các vị trí khác của hai cực trị

+Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có hai cực trị nằm về hai phía với trục hoành khi

𝑦𝐶Đ 𝑦𝐶𝑇 < 0 + Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành khi

{𝑦𝑦𝐶Đ+ 𝑦𝐶𝑇 > 0

𝐶Đ 𝑦𝐶𝑇 > 0 + Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có hai cực trị nằm phía duới trục hoành khi

Bài 2 Cho hàm số 𝑦 = 13𝑥3 − 𝑚𝑥2+ (2𝑚 − 1)𝑥 − 3, với m là tham

số Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về một phía với trục tung

Bài 3 Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2 + 𝑚𝑥 + 𝑚 − 2, với m là tham số Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía với trục hoành

Bài 4 Cho hàm số 𝑦 = 4𝑥3 + 𝑚𝑥2− 3𝑥, với m là tham số Tìm m để hàm số có hai cực trị 𝑥1, 𝑥2 thoả mãn 𝑥1 = −4𝑥2

Dạng 3 Ứng dụng đạo hàm giải phương trình

Một số kiến thức cơ bản về hàm số và đạo hàm

1 Giả sử hàm số 𝑓(𝑥) có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu 𝑓′(𝑥) > 0 với mọi 𝑥 ∈ 𝐼 thì hàm số 𝑓(𝑥) đồng biến trên

𝑓(𝑥0) = 0 thì phương trình 𝑓(𝑥) = 0 có nghiệm duy nhất 𝑥0 ∈ 𝐼

3 Giả sử 𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥) là hai hàm xác định trên khoảng I và với 𝑥 ∈ 𝐼

thì

𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥) thuộc khoảng K Nếu hàm 𝐹(𝑡) đồng biến (ghịch biến)

trên khoảng K và 𝐹(𝛼(𝑥)) = 𝐹(𝛽(𝑥) ⟹ 𝛼(𝑥) = 𝛽(𝑥) với mọi 𝑥 ∈ 𝐼

Hàm 𝐹 được xác định như trên được gọi là hàm đặc trưng

Phương pháp chung

+ Cách 1: Chứng minh phương trình 𝒇(𝒙) = 𝟎 có nghiệm duy nhất

Phương pháp

Bước 1 Chọn được 𝑥0 là nghiệm của phương trình đã cho

Bước 2 Xét hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) Nếu hàm số đơn điệu trên tập xác định thì 𝑥0 chính là nghiệm duy nhất của phương trình

?1 Nếu khử căn thì phép biến đổi có gặp khó khăn gì không?

?2 Có nhận xét gì về tính đơn điệu của hàm 𝑦 = √𝑥 − 23 + √𝑥 + 1

Phân tích bài toán :

Nếu dùng phương pháp nâng lên luỹ thừa để khử căn bậc ba và bậc hai thì sẽ rất phức tạp Chúng ta nhận thấy vế trái của phương trình là hàm đồng biến và 𝑥 = 3 là một nghiệm của phương trình nên có thể sử dụng phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất để giải phương trình trên

Từ (1), (2) suy ra phương trình có không quá một nghiệm (3) Mặt khác ta có x = 3 là một nghiệm của phương trình (4)

Từ (3), (4) ta có x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Nhận xét: Phương pháp giải phương trình bằng cách chứng minh

nghiệm duy nhất thường được sử dụng khi ta có thể nhẩm được một nghiệm của phương trình (nghiệm tìm được nhờ sự hỗ trợ của máy tính hoặc nghiệm là giá trị sao cho biểu thức dưới căn là số chính phương)

Nhận xét: Đây là bài tập mà ta có thể dễ dàng tìm được hàm đặc trưng

tuy nhiên nhiều bài tập bắt buộc phải trải qua quá trình biến đổi mới có thể

đi đến hàm đặc trưng, ta xét ví dụ tiếp theo

Ví dụ 3 Giải phương trình 8𝑥3 − 36𝑥2+ 53𝑥 − 25 = √3𝑥 − 53

Phân tích :

Với bài toán này nếu dùng phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất để giải thì khó thực hiện được vì khá khó khăn để xét tính đơn điệu của hàm

𝑓(𝑥) = 8𝑥3− 36𝑥2 + 53𝑥 − 25 − √3𝑥 − 53

Do đó ta cố gắng biến đổi để áp dụng phương pháp xét hàm đặc trưng

+ Ta thấy vế trái có bậc 3 còn vế phải có bậc 13 Biểu thức dưới dấu căn có bậc một khi mũ 3 thì có bậc bằng vế trái nên ta sẽ tìm cách biến đổi đưa 2 vế về dạng 𝑓(𝑡) = 𝑚𝑡3+ 𝑛𝑡 Hệ số của hạng tử √3𝑥 − 53 bằng 1 nên chọn 𝑛 = 1

Lại thấy rằng 8𝑥3 = (2𝑥)3 tức là 𝑚 = 8 hoặc 𝑚 = 1

Nếu 𝑚 = 1 thì 𝑓(𝑡) = 𝑡3 + 𝑡, do đó có thể biến đổi pt đã cho như sau

⟹ 2𝑥 − 3 = √3𝑥 − 53Giải ra 𝑥 ∈ {2;5±4√3}

Có hai cách để giải bất phương trình bằng ứng dụng đạo hàm

Cách 1

Bước 1 Chuyển bất phương trình về dạng 𝑓(𝑥) > 0

Bước 2 Nhẩm nghiệm 𝑥0 của 𝑓(𝑥) = 0

Bước 3 𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0)

Bước 4 Chỉ ra 𝑓(𝑥) đơn điệu

+ Nếu 𝑓(𝑥) đồng biến 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0) ⟺ 𝑥 > 𝑥0

+ Nếu 𝑓(𝑥) nghịch biến 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0) ⟺ 𝑥 < 𝑥0

Cách 2 Giải bất phương trình bằng cách xét hàm đặc trưng

Bước 1 Chuyển bất phương trình về dạng 𝑓(𝑢(𝑥)) > 𝑓(𝑣(𝑥))

Bước 2 Xét hàm đặc trưng 𝑓(𝑡)

Chỉ ra 𝑓(𝑡) đơn điệu

+ Nếu 𝑓(𝑡) đồng biến: 𝑓(𝑢(𝑥)) > 𝑓(𝑣(𝑥)) ⟹ 𝑢(𝑥) > 𝑣(𝑥) + Nếu 𝑓(𝑡) nghịch biến: 𝑓(𝑢(𝑥)) > 𝑓(𝑣(𝑥)) ⟹ 𝑢(𝑥) < 𝑣(𝑥)

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 3√3 − 2𝑥 + 5

√2𝑥−1− 2𝑥 ≤ 6

Phân tích: Giáo viên đưa ra một số câu hỏi gợi mở để học sinh huy

động kiến thức tìm hướng giải

?1 Với bất phương trình này nếu bình phương hai vế có gặp vướng mắc gì không?

?2 Nhận xét tính đơn điệu của hàm số 𝑦 = 3√3 − 2𝑥 +√2𝑥−15 − 2𝑥?

?3 Tìm được nghiệm của phương trình

𝑓(𝑥) = 3√3 − 2𝑥 + 5

√2𝑥 − 1− 2𝑥 − 6

Giải

Điều kiện 12 < 𝑥 ≤ 32