tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề khảo sát vẽ đồ thị

tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề khảo sát vẽ đồ thị tham khảo

Trang 1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo

CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Tính lồi lõm của đồ thị:

Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

f gọi là lõm trên K nếu    , ,  1: f  xyf x  f y ,x y, 0

f gọi là lồi trên K nếu    , ,  1: f  xyf x  f y ,x y, 0

Cho hàm số y f x  liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K

f lõm trên K  f '' x   0, x K

f lồi trên K  f '' x   0, x K

Điểm uốn của đồ thị:

Điểm U x f x 0;  0  được gọi là điểm uốn của đường cong  C :y f x  nếu tồn tại một khoảng  a b;

chứa điểm x0 sao cho một trong 2 khoảng a x; 0 , x b0;  thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn

ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

Cho hàm số y f x  có đạo hàm cấp 2 một khoảng  a b; chứa điểm x0 Nếu f '' x0 0 và f '' x

đổi dấu khi x qua điểm x0 thì U x f x 0;  0  là điểm uốn của đường cong  C :y f x 

Chú ý:

1) Nếu y p x y  ''r x  thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0 r x 0

2) Nếu f lồi trên đoạn  a b; thì GTLN maxf a   ;f b 

3) Nếu f lõm trên đoạn  a b; thì GTNN minf a   ;f b 

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước:

Trang 2

- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

Trang 3

1) Nếu chia tách được y f x ax b r x  và lim   0

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận

Trang 4

2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g x m , 0

Đưa phương trình về dạng f x   h m trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị  C :y f x 

Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị  C với đường thẳng yh m 

3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị:  C m :y f x m , 

- Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:

Trang 5

Vậy điểm uốn 2 29

Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:

Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng ;5 và lõm trên khoảng 5;

Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số 2

1

x a y

Trang 6

f x  có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng  ; 1 , 1;0 , 0;  

Giả sử hoành độ của một trong các điểm uốn là x0 nên

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m3

b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đai, cực tiểu A và B mà khoảng cách AB4 65

Trang 7

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 3;, nghịch biến trên  1;3 Hàm số đạt cực đại khi

b) Tìm m để trên đồ thị  C m có hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu và tiếp tuyến của  C m tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng d x: 3y 1 0

Hướng dẫn giải

Trang 8

Trang 9

Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2 và nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 1, 2;

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và y CT  4, đạt cực đại tại x2 và y C Ð 5

0

33

y x  x  x Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị  C có tung độ m

và gốc O tạo thành tam giác OAB cân tại O

Hướng dẫn giải

Hai điểm A, B thuộc đồ thị  C có tung độ m nên thuộc đường thẳng d y: m

Hoành độ giao điểm của d và đồ thị  C là nghiệm của phương trình 1 3 1 2 3

2

6x 2x 2x m Phương trình 3 2

Trang 10

Đường thẳng d cắt  C tại A, B thỏa mãn tam giác OAB cân tại O khi

0

m m

có nghiệm x1,x x1, 2 (trong đó x1,x1 là hoành độ của A, B)

Khi đó x x1, 2 là nghiệm của phương trình  2 2  

1 2

39

12 6

x x

Trang 11

Trang 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m3

b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông

Trang 13

Hàm số có 3 điểm cực trị  y'0 có 3 nghiệm phân biệt  m 0

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A  m m  m B m C m m  m

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại BOy , A và C đối xứng nhau qua Oy

ABC là tam giác vuông  tam giác ABC vuông cân tại B

yx mx  m , với m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm

cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi

Trang 14

Vì tam giác ABC cân tại B, AC song song Ox nên O, A, B, C là 4 đỉnh hình thoi khi và chỉ khi OABC là hình

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho ABBOOCCD

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2 và 0; 2; nghịch biến trên mỗi khoảng  2;0 và

 2; Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0, giá trị cực tiểu y CT 2; hàm số đạt cực đại tại các điểm

2

x  , giá trị cực đại y C Ð 6

 Đồ thị: nhận Oy là trục đối xứng

Trang 15

Trang 16

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm m để phương trình x48x2 6 m có 8 nghiệm phân biệt

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2;0 ; 2;  , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 2;

 0; 2 Hàm số đạt cực đại tại x0;y C Ð 3, đạt cực tiểu tại x 2,y CT  1

Trang 17

Đồ thị  C' của hàm số 1 4 2

4

y x  x  được suy ra từ đồ thị  C bằng cách giữ nguyên phần nằm

phía trên Ox, còn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox

Số nghiệm của phương trình 1 4 2

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy, B, C đối xứng nhau qua Oy

O là trọng tâm của tam giác ABC  y Ay B y C 0

13

Trang 18

Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 và nghịch biến trên khoảng 0;

Hàm số đạt cực đại tại điểm x0 : y C Ð 5

Trang 19

y  x   x nên đồ thị không có điểm uốn

Giao điểm với trục tung 0; 3

2

 , giao điểm với trục hoành 1;0 và  1;0

Bài toán 2.15: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

a)

3

2

22

Trang 20

Trang 21

Bài toán 2.17: Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị:

a)

2

11

1

mx y

1lim

1

x

x mx x

x y x

Trang 22

b) Tìm m để giao điểm của hai tiệm cận nằm trên   2

Suy ra phương trình tiệm cận xiên là y2x 1 m

TCX đi qua A 1;1 khi và chỉ khi: 12.1 1   m m 2

b) Đồ thị có tiệm cận đứng là x m Từ đó suy ra giao điểm của hai tiệm cận là Im;1 3 m

Giao điểm này nằm trên đường cong 2

 Tìm m để tiệm cận xiên của  C m tạo với các trục tọa

độ thành một tam giác có diện tích bằng 18

Trang 23

b) Suy ra đồ thị 2 1

1

x y x

Trang 24

khi khi

x x

nên đồ thị  C' giữ nguyên phần bên phải tiệm cận đứng x1

của đồ thị  C , còn phần bên trái tiệm cận đứng x1 của đồ thị  C thì lấy đối xứng qua trục hoành

Trang 25

Bài toán 2.21: Cho hàm số: 2 2

1

x y x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Lập phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tại A, cắt đường tiệm cận ngang tại B mà OB2OA

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1 ;  1; 

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox tại  1;0 , cắt Oy tại 0; 2 , và nhận giao điểm I1; 2 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

b) Phương trình tiếp tuyến tại M x y 0; 0   C ,x0  1

Trang 26

 2 0 0

0 0

4:

11

x

x x

  Thế vào d thì có tiếp tuyến cần tìm

Bài toán 2.22: Cho hàm số: 2

1

x y x

Trang 27

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 , 1;  

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox tại  2;0 , cắt Oy tại    0; 2 , C nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

b) Vì x1 không là nghiệm nên phương trình

1

khi khi

x x

Trang 28

Bài toán 2.23: Cho hàm số:

2

m x y

x





 , với m là tham số Tìm m để đường thẳng d: 2x2y 1 0 cắt đồ thị

tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là 3

 



 Tìm trên  H các điểm A, B sao cho độ dài AB4 và đường thẳng

AB vuông góc với đường thẳng yx

Trang 29

b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

Trang 30

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận I1;0

b) Vì x 1 không là nghiệm nên phương trình đã cho tương đương với:

Trang 31

Phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi:

b) Tìm các điểm trên  C có tọa độ là số nguyên và chứng minh đồ thị  C có tâm đối xứng

Trang 32

b) Điểm M x y   ;  C có tọa độ nguyên khi x2 là ước số của 3 nên x   2 1, 3

Do đó  C có 4 điểm có tọa độ nguyên:     1;4 , 3;0 , 1;0 và  5; 4

Giao điểm 2 tiệm cận I 2; 2 chuyển trục bằng phép tịnh tiến vectơ 2

:

2

x X OI

  là hàm số lẻ nên đồ thị  C nhận gốc I 2;2 làm tâm đối xứng

Bài toán 2.27: Cho hàm số

2

1

x y x



a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tính góc giữa 2 tiệm cận

b) Biện luận theo m số nghiệm của PT:

Trang 33

 Đồ thị: Đối xứng nhau qua gốc O

TCĐ: x0, TCX: yx nên hai tiệm cận hợp nhau góc 45°

Trang 34

Nếu

2

12

hoặc m1 thì PT có 1 nghiệm

Còn khi m0 thì PT vô nghiệm

Bài toán 2.28: Cho hàm số 2 1  

11

Trang 35

 Đồ thị

Ta có

2

11

 là hàm số chẵn nên đồ thị  C' đối xứng nhau qua Oy

Khi x0 thì lấy phần đồ thị  C , sau đó lấy đối xứng phần đó qua Oy thì được đồ thị  C'

Trang 36

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1x2 2

b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho điểm I 3;1 nằm trên đường thẳng đi qua 2 cực trị

b) Tìm số m dương để đường thẳng ym cắt  C tai hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa

Trang 37

a) Chia tử cho mẫu thức để tách bậc nhất

Kết quả TCĐ: x 1 và x1; TCX: yx

b) Kết quả TCX: y2x (khi x ); TCN: y0 (khi x )

Bài tập 2.7: Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị:

2

11







a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

b) Tìm điểm M trên đồ thị  C sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng 1: 2x  y 4 0 và

1

y x







a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết khoảng cách từ tâm đối xứng của  C đến tiếp tuyến bằng 2 2

Hướng dẫn

a) Tập xác định D¡ \ 1

 2

4'

1

y x



b) Kết quả y x 2;y x 6

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	1,03 MB