NGUYÊN HÀM Công thức vận dụng cơ bản
f x dxF x C F x f x
dx xc
1
1
n
n
1
1 (k )
1
n
1
1
n
n
1
(kx b)n dx k n 1 (kx n)n C
ln | x |
dx
c
kx b k
e dxe c
a
e due c
ln
x
a
1
ln
kx
u
a
cosxdxsinxc
k
sinxdx cosxc
k
2
1
tan
cos x dx x c
cos kx dxk kx c
1
tanu cos u du c
2
1
cot sin x dx x c
sin kx dx k kx c
1
cotu sin u du c
* đặc biệt
2 2
1
ln 2
c
2
c
1 ln
C
1 ln
C
Câu 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số:
1/
1
3 4
5
4 5
x
5
3
2
x
f x x x
4/f x 2 32
x x
f x
12/ 2 3
9
f x
x
13/ 22
3
f x
x
14/ 23 4
x
f x
15/ 2 2
x
f x
16/ f x sin 2xcosx 17/ f x cos 2xsinx
Trang 26/
2
5
f x
x
7/
2
f x
8/ 2
2
f x
9/ 2 5
f x
10/ 22 3
2
x
f x
x
f x
18/ 2
sin cosx
19/ 2
cos 3 sin 2
20/ f x e x3x
4
22/ 3 x 5x
f x e e
sin cos
f x x x
sin cos
f x x x
sin cos
f x x x
Câu 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1/ 2 5
3
f x x x
2/ 2 3
f x x x
5
f x x x
4/ 2
sin cosx
5/ 3
sin cos
f x x x
6/ 2
cos sin
f x x x
7/ 4
cos sin
f x x x
8/ 3
sin
f x x
9/ 3
cos
f x x
10/ 3 2
1
f x x x
11/ f x e x14e x 12/ 2
x
f x
x
13/
x x
e
f x
e
14/ f x tanx 15/ 3
tan
f x x 16/ sin cos
cos 2 1
f x
x
17/ 2
2
x
f x
x
18/ 6 x
f x e
19/
1 1
f x
x x
Công thức nguyên hàm đặ biệt:
2
3
xdx x xC
1 2 3
a
2
3
udu u uC
2
dx
x C
1 2
dx
ax b C a
2
du
Trang 3Bài tập tìm các nguyên hàm
1/ f x 2x 1
2/f x 3x5
3/f x 2 4 x
1
f x x x
f x x x
6/ 2 3
f x x x
7/f x cosx 2sinx 1
8/f x e x 2e x 3
9/ 2 2
f x e e
10/f x lnx 2
x
2 tan 3
cos
x
f x
x
12/ 3cot2 2
sin
x
f x
x
Bài tập Tìm các nguyên hàm:
1/ 1
f x
x
2/ sin
cosx 2
x
f x
3ln 1
f x
x
f x
x
5/
x x
e
f x
e
Phương pháp đổi biến
1/ 3 2 4
2
f x x x
2/ 3 2
1
f x x x
3/ 2 3
1
f x e e
4/f x sin 2x cosx 1
5/ 4 2
x
f x
6/
2
4 2
x
f x
7/ f x lnx lnx 1
x
8/
1
f x
9/
1 1
f x
x x
C©u 1 : Tìm nguyên hàm: 3 2 4
( x )dx
x
A 53 5
4 ln
4 ln
C 33 5
4 ln
4 ln
5 x x C C©u 2 : Kết quả của 2
1
x dx x
là:
1 x C B
2
1 1
C x
C
2
1 1
C x
D 2
Trang 4C©u 3 Tìm nguyên hàm: 2 3
(x 2 x dx)
x
A
3
3
4 3ln
x
3
3
4 3lnx
x
x
C
3
3
4 3ln
x
3
3
4 3ln
x
C©u 4: Tìm nguyên hàm: 1
( 3)dx
x x
A 2ln
x C
x C x
C 1ln 3
3
x
C x
1
ln
x C
x C©u 5 : Tìm nguyên hàm: 2
(1 sin ) x dx
A 2 2 cos 1sin 2
3x x4 x C ;
C 2 2 cos 2 1sin 2
3x x4 x C ;
C©u 6 : Tìm nguyên hàm: 5 3
( x dx)
x
5 ln
5
x x C B 2 5
5 ln
5
5 ln
5
5 ln
5
x x C
C©u 7 : Tìm nguyên hàm: 21
3 dx
x x
A 1ln
x C
3
x
C x
x C
3
x C x
C©u 8 : Tìm nguyên hàm: 3 2
(x x dx)
x
2 ln
2 ln
4x x3 x C
2 ln
2 ln
4x x3 x C C©u 9 : Tính
1
dx x
, kết quả là:
A
1
C x
1x C D C 1x
C©u 10 : Tính x.e x21dx
Trang 5A e x2 1C B 1 2
2
x
2
x
2
x
e C
C©u 11 : Họ nguyên hàm của hàm số
3 2
1
x
f x
x
là:
A 1 2 2
2 1
1 1
C 1 2 2
1 1
2 1
C©u 12: Tìm họ nguyên hàm: ( )
2 ln 1
dx
F x
A F x( )2 2 lnx 1 C B F x( ) 2 lnx 1 C
C ( ) 1 2 ln 1
4
2
C©u 13 : Cho 22
1
x
f x
x
Khi đó nguyên hàm của f x là:
3ln 1 x C
ln 1 x C
C©u 14 Nguyên hàm của hàm số f x 3x trên 1 1;
3
là:
3 1
9 x C
C 2 3
3 1
2 x x C
C©u 15 : Tìm họ nguyên hàm:
3 4
( )
1
x
x
( ) ln 1
4
F x x C
2
3
F x x C
C©u 16 : Cho hàm 2 1
f x
Khi đó, nguyên hàm của f x là:
A ln 1
2
x C x
2
x C x
C ln 2
1
x C x
1
x C x
C©u 17 : Cho hàm 2 1
f x
Khi đó, nguyên hàm của f x là:
A.ln 1
2
x
C
x
2
x C x
Trang 6C.ln 2
1
x
C
x
D.ln 2
1
x
C x
C©u 18 : Nguyên hàm của hàm số: y = sin3x.cosx là:
A 1sin4
4 x C B 1 3
cos
sin
3 x C D sin4 x C C©u 19 : Một nguyên hàm của hàm số: f x( ) x 1x2 là:
A 1 23
3
3
2
2
C©u 20 : Nguyên hàm của hàm số
1
2 x 1
là
1
C 1
1
C©u 21 : Họ các nguyên hàm của hàm số ytan3x là:
tan ln cos
C©u 22 : Hàm số 10
) 1 ( ) (x x x
f có nguyên hàm là:
A F x x x C
11
) 1 ( 12
) 1 ( ) (
11 12
B F x x x C
11
) 1 ( 12
) 1 ( ) (
11 12
C F (x) x x C
10
) 1 ( 11
) 1
D F x x x C
10
) 1 ( 11
) 1 ( ) (
10 11
C©u 23 : Một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 2x là :
A 3(2x 1) 1 2x
3 (2x 1) 1 2x
C 3(1 2x) 1 2x
2
4