Boi duong hsg 7nam hoc 2016 2017

Tìm x,y, z biết ;b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trớc một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệt

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Phần I: Đại số CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ-SỐ THỰC CỘNG ,TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ Dạng 1:Thực hiện phép tính:

Bài 1: Thực hiện phép tính :

625

4 125

4 16 , 0 5

3 125

3 25

3 6 , 0

11

4 7

4 9

1 7

1 9

37

715

410

1 154

1 88

1 40

1 10

511

55,0625,0

12

311

33,0375,025,13

55,2

75,015,1

7 6 7

125 , 0 5

1 25 , 0 3 1

7

8 5

8 3

3 6 , 0 1

1

1 4

1 1 3

1 1 2

1

A

49 , 0 875 , 0 6

1 1

25

1 25 , 0 3 1

11

49 81

7 4 , 1

121

2 9

2 16 , 0

11 : 13

3 7

3 6 , 0 75 , 0

5 : 3

25 , 0 22 7

21 , 1 10

Bài 11 : Tính :

68

1 52

1 8

1 39

1 6 1

4 3 2 1

) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9

1 7

1 3

1 2

1 ) 100 99

3 2 1

1 4

1 3

1 10

1 : ) 2 36 6 12 )(

90

3 2 1

c a c

b c b

a x

Trong đó: số hạng đầu là: a1 ;số hạng cuốilà: an ; khoảng cách là: k

Sốsố hạng đợc tính bằng cách: số số hạng = ( sốhạng cuối– số hạng đầu) :khoảng cách + 1

1

4 3

1 3 2

1 2

) 4 3 2 1 ( 4

1 ) 3 2 1 ( 3

1 ) 2 1 ( 2

2

5122

5122

1

3

13

13

13

3

43

33

23

1

100 4

3



Bài 17:

a) Tính ( 1)( 1 2)( 3)

5 4 3 2

1 4

3 2 1

n n

b) Chứng minh rằng

200

1

102

1 101

1 200

1 199

1

4

1 3

1 2

1

7 5

1 5 3

1

3

13

13

1

16 11

1 11 6

1 6 1

1 16

1 1 9

1 1 4

Bài 6: So sánh : a, A  32008 32007 32006 32005  32 3  1 với

4 1

3

1

3

1 3

1 3

1

2 1

LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ Dạng 1: Thực hiện phép tính:

Bài 5 Rút gọn: A =

20.63.2

6.29.4

8 8 10

9 4

15

27.2.76.2.5

8.3.49.4.5





c)

20.63.2

6.29.4

8 8 10

9 4

5





Bài 2 Cho x = 2005 Tính giá trị của biểu thức:

1 2006 2006

2006 2006

2

x y là số nguyên âm lớn nhất

Dạng 4: Tìm x biết

Bài 8: Tìm x biết:

a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c)

7 5 8

1 8

1 8

Baứi 5: Chửựng minh raống

a)222333+333222 chia heỏt cho 13

b)7.52n+12.6nchia heỏt cho 19

c)33n+5.23n+1 chia heỏt 19 Vụựi moùi n thuoọc soỏ nguyeõn dửụng

b 4a3 + 14a2 + 6a +12 chia hết cho 2a + 1

TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung

tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết

2.Tìm nhiều số hạng cha biết

a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:

b).Hớng khai thác từ bài trên nh sau.

+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:

Bài 5 Tìm x,y, z biết ;

b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trớc một tỷ lệ

thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệthức phải chứng minh theo k

Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế

trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải

Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã

cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh

d

c b

a

 .Chứng minh rằng:

d c

d c b a

b a

d c b a

b a

1 (

) 1 (

b

k b b kb

b kb b

1 (

) 1 (

d

k d d kd

d kd d

d c b a

b a

a d

c b

b a d c

b a

d c

a

 Chứng minh rằng: 2 2

2 2

d c

b a cd

b a cd

kb d dk

b bk

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

(

)(

d

b k

d

k b d k d

b k b d dk

b bk d

d c

b a cd

2 2 2

d c

b a d

b c

a cb

ab d

b c

a d

c b

d c

b a cd

  (TÝnh chÊt nµy gäi lµ t/c tæng hoÆc hiÖu tØ lÖ)

Bµi 2: chøng minh r»ng nÕu a2 bc th×

a a

a a a

a a

a a

Gi¶i: Ta cã bz cy cx az ay bx abz acy2 bcx baz2 cay cbx2

z c

b a

y c

b a

c z

y x

b z

2 2

2 4 4

4 2

2 2

2 4

2 4

4 2

z y x c b a c b a c b a

z y x c

b a

y c

b a

z c

b a

y c

2 ) 4 4 ( 2

4 2

2 4

2

2 4

4 2

z y x c b a c b a c b a

b y x c

b a

x c

b a

z c

b a

y c

4 4 4

4 ) 4 4 8 ( 4

8

4

4 4

4 4 8

4 4

8 4

4 4

4 2

2

c

z y x c b a c b a c

b

a

z y x

c b a

y c

b a

x c

b a

z c

b a

y c

z y x a

z y x

9

4 4 9

2 9

c z

y x

b z

d c b

a

b

a

5 3

5 3 5

b a d c

b a

d c

b a cd

ab







5)

d c

d c b

a

b

a

4 3

5 2 4

d c

d c

b a

2007 2006

2006 2005

2007 2006

2006 2005

bd b

ac a

ac a

57

5757

57

2

2 2

b b

c b a

2003

c b

8 3

2 2

1

a

a a

a a

a a

a

 thì

d

a d b

b a





2 2

2 2

Bài 7: CMR: Nếu a 2 bc thì

a c

a c b a

b a

d c b a

b a

cd

ab d c

b a





2 2

2 2

b a b a cd

ab d

c

b a d cd c

b ab a cd

ab

.

2

2 2

2

2

2

2 2

2 2

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b

u

thì

3 2

v u



Bài 11: CMR nếu a(yz) b(zx) c(xy)

trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :

) ( ) ( )

y x a c b

x z c b a

z y

a

 Các số x, y, z, t thỏa mãn: xayb 0 và zctd  0

Chứng minh rằng:

td zc

yd xc tb za

yb xa

c b a

3 3 3

Bài 15: Cho

1 1

2 1

2

c x b x a

c bx ax P

c b

b a

a



 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

Bài 16: Cho biết : a' b' 1;b' c' 1

u

thỡ

2 3

v u

z c

b a

y c

b a

19

4.3

73.2

52

.1

3

2 2 2

2 2 2 2

c b a

3 3 3

b) Cho a, b, c khỏc 0 thoả món:

a c

ca c b

bc b a

c b a

ca bc ab M

b) Cho biết

d

c b

a

 Chứng minh:

d c

d c

b a

b a

2005 2004

2005 2004

2005 2004

2005 2004

Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết

Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện

và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5

Lời giải:

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c0)

Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22

Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có

5 4 2

c b a

Suy ra

10 2

5

4 2

4

4 2

b b

a a

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm

Có thể thay điều kiện ( 2) nh sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi

16 6

4 2 5 16

4 6

2 5 4

5

28 7

4

21 7

b b

a a

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy số cây trồng đợc của 3 lớp 7A,7B,7C lần lợt là 21cây,28cây,35cây

Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là

3 2

,giữa số thứ hai và số thứ 3 là

9

4.Tìm ba số đó

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c

Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1

Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lợt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)

Số thóc của kho I sau khi chuyển là 1 4

25 24 22 25 24 22 71

a b c a b c 

 Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lợt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn

Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển đợc 912 m3

đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm đợc 1, 2m3;1, 4m3;1,6m3

Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5 Tính số họcsinh của mỗi khối

Lời giải:

Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dơng)

Số đất khối 7 chuyển đợc là 1,2a

Số đất khối 8 chuyển đợc là 1,4b

Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c

Theo bài rat a có ;

1 3 4 5

a b b c

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta đợc a= 80, b= 240, c= 300

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là 80 h/s,240h/s,300h/s

Dạng 4: Một số sai lầm th ờng gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau

1) Sai lầm khi áp dụng tơng tự

1

2 5 2.5 10

x y x y

    suy ra x=2,y=5Bài làm đúng nh sau:

Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng nh bài tập 4 dạng 1

2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0

Khi rút gọn h/s thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm

Bài 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là a b c

b c c a a b .Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó

nên mỗi tỉ số a ; b ; c

b c c a a b   đều bằng -1+ Nếu a+b+c 0 khi đó

ở cách 1 học sinh mắc sai lầm nh bài tập 3

ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z

Phải làm đúng nh sau :

Nếu x+y+z+t 0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4

Nếu x+y+z+t =0  x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4

ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách nh nhau Nhng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập 4 nên dùng cách 2

Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta đợc y = 3

Thử lại thấy thoả mãn Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm

Đồng chí hãy nhận xét lời giải của học sinh trên

Lời giải :Học sinh trên sai nh sau

Từ (3) phải xét hai trờng hợp

TH 1 : 2x+3y-10.Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp nh trên

TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có

Bài tập 6: Tìm x,y biết : 1 2 1 4 1 6

Giải tơng tự nh bài tập 5 nhng bài này chỉ có một trờng hợp

3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn

Học sinh thờng sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B

h/s thờng sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31

phải suy ra 2 trờng hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29

Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng

Học sinh thờng mắc sai lầm suy ra k=3,mà phải suy ra k 3

Bài 1: a) Cho tỉ lệ thức 3 43





y x

y x

Hóy tớnh x y b) Tỡm x, y, z biết

216 64 8

3 3

y2

x



 và x2 + y2 + z2 = 116

Bài 4: Tỡm cỏc số x, y, z biết :

Bài 10 : Cho

6

5 4

3 2

3 , 3

Các đại lượng chứa y hơn kém 2y)

Bài 13: Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1

Bài 15: : Tìm x và y biết: (3x - 5)100 + (2y + 3)200  0

Bài 16: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b c c a a b    Biết a+b+c0.Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số

thực)

* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.

TQ: Nếu a0  a a

Nếu a 0  a  a

Nếu x-a  0=> = x-a

Nếu x-a  0=> = a-x

* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trịtuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.

b a b

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng

xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu

TQ: a b ab và a b ab  a b 0

2 Các dạng toán :

I Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1 : A(x)  k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )

A

k x A k

x A

) (

) ( )

a)

2

1 3

5 2

3 : 5 , 2 4

b a b

(

) ( ) ( )

( )

(

x B x

A

x B x A x

B x A

5 2

7 4

5 8

3 Dạng 3: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi

số đều không âm Do vậy ta giải như sau:

) (

(

) ( ) ( )

( )

(

x B x

A

x B x A x

B x

)

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu a0  a a

Nếu a 0  a  a

Ta giải như sau: A(x) B(x) (1)

 Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )VD1:

4 Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x

 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu

thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên Từ

đó sẽ tìm được x

GiảiXét x – 1 = 0  x = 1; x – 1 < 0  x < 1; x – 1 > 0  x > 1

1 5

1

5

1 2 2

1 3 2

1 3 2

B(x)

Điều kiện: D(x)  0 kéo theo A(x)  0 ;B(x)  0 ;C(x)  0

3 101

2 101

1

4 3

1 3

2

1 2

1

7 5

1 5

3

1 3

1

13 9

1 9

5

1 5

Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức

* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các sốhạng của tổng đồng thời bằng 0

* Cách giải chung: A B  0

0 0

B A

11 5 , 1 4

3 2

1 3

* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A  B  0 nhưng kết quả không thay đổi

* Cách giải: A  B  0 (1)

0 0

B A

Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:

a) 5x 1  6y 8  0 b) x 2y  4y 3  0 c) x y 2  2y 1  0

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:

a) 12x 8  11y 5  0 b) 3x 2y  4y 1  0 c) xy 7  xy 10  0

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa

bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự

7 5

4 2008

2007 2

B A

* Nếu m > 0 ta giải như sau:

m

B

A   (1)

Do A  0 nên từ (1) ta có: 0 B  m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

A

(2)

Từ (1) và (2)  0 A B m từ đó giải bài toán A B k như dạng 1 với 0 k  m

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) x  y  3 b) x 5  y 2  4 c) 2x 1  y 4  3d) 3x  y 5  4

Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) 5x 1  y 2  7 b) 4 2x 5  y 3  5 c) 3x 5  2y 1  3 d) 3 2x 1  4 2y 1  7

3 Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a b ab xét khoảng giá trị của ẩn số.

Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

* Cách giải : A(x).B(x) A(y)

Đánh giá: A(y)  0  A(x).B(x)  0  nxm tìm được giá trị của x

Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

c)

2 6 2

10 5

Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

x x

x

Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

3 1

14 7

y

5 2 3

20 4

x

III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

 Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3 , 5 x  4 , 1

Bài 4: Rút gọn biểu thức khi

7

1 5

c) C 2x 2  3 1  x với x = 4 d)

1 3

1 7

V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:

* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳngthức để đánh giá giá trị của biểu thức:

Bài 1.1 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A 1 , 7  3 , 4  x b) B x 2 , 8  3 , 5 c) C  3 , 7  4 , 3  x

d) D 3x 8 , 4  14 , 2 e) E  4x 3  5y 7 , 5  17 , 5 f) F  2 , 5  x  5 , 8

Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2    

D

TÌM NGHIỆM NGUYÊN Bài 1Tìm các số nguyên x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

Bài 2 Tìm các số nguyên x và y biết :

8

1 4

5



 y x

11 4

b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

Bài 6: Tìm các số nguyên x thoả mãn.

1000 990

101 10

x t y x

t z x t

z y t z

y x