Chuyên đề đường tròn Hình học 9

Chuyên đề đường tròn hình học 9 Bài tập đường tròn có đáp án Các dạng bài tập về đường tròn Hình học 9 kỳ 2, chương 2, 3 Kiểm tra đường tròn Câu 2. Cho tham giác ABC có 3 góc nhọn . Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB , AC theo thứ tự ở D , E . Gọi I là giao điểm của BE và CD . a) Chứng minh : AI  BC b) Chứng minh : c) Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE là tam giác đều Câu 1. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao BD , CE . a) Chứng minh BEDC là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh : AD.AC = AE.AB . c) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng : Ax ED .

Ôn tập đường tròn

Mục lục

Ôn tập đường tròn 0

I Những kiến thức cơ bản : 2

1) Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn 2

2) Tiếp tuyến của đường tròn : 2

3) Vị trí tương đối của hai đường tròn : 3

4) Các loại góc : 3

a) Góc ở tâm : 3

b) Góc nội tiếp : 3

c) Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm : 4

d) Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn : 4

e) Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn : 4

5) Quỹ tích cung chứa góc : 4

6) Tứ giác nội tiếp đường tròn : 4

7) Chu vi đường tròn , cung tròn , diện tích hình tròn , quạt tròn : 4

8) Tính bán kính đường tròn nội tiếp , ngoại tíêp , bàng tiếp đa giác 5

a) Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều n cạnh : 5

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đều n cạnh 5

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R) : 5

d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r) : 5

e) Bán kính đường tròn bàng tiếp góc A tam giác (ra) : 6

II Bài tập vận dụng 6

1) Bài tập vận dụng về tính chất của đường tròn 6

a) Ứng dụng tính chất của đường tròn 6

b) Các ví dụ 6

2) Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn : 8

a) Ứng dụng của tiếp tuyến : 8

b) Các ví dụ : 8

3) Bài tập về các loại góc trong đường tròn 10

4) Bài tập về tứ giác nội tiếp một đường tròn 12

Các ví dụ : 13

III Bài tập tổng hợp : 15

1) Các câu hỏi thường gặp trong các bài toán hình 15

2) Bài tập vận dụng 16

3) Bài tập tự luyện 23

I Những kiến thức cơ bản :

1) Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn

 Tập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi R gọi là đường tròn tâm O bán kính R , kí hiệu là (O,R)

 Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một bởi một điều kiện của nó Nếu

AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm

M sao cho góc AMB = 900 Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán

kính thì bằng

2

AB

R 

 Qua 3 điểm A,B ,C không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn và chỉ một

mà thôi Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 Trong một đường tròn , đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó

 Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm

 Trong một đường tròn , hai dây cung không bằng nhau , dây lớn hơn khi và chỉ khi dây đó gần tâm hơn

2) Tiếp tuyến của đường tròn :

 Định nghĩa : Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có một điểm chung với đường tròn Điểm đó được gọi là tiếp điểm

 Tính chất : Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm Ngược lại , đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến

 Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cáchđến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo

bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

 Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác đó Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường phân giác của tam giác

 Đường tròn bàng tiếp của tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia

3) Vị trí tương đối của hai đường tròn :

 Giả sử hai đường tròn ( O;R) và (O’;r) có R ≥ r và d = OO’ là khoảng cách giữa hai tâm Khi đó mỗi vị trí tương đối giữa hai đường tròn ứng với một

hệ thức giữa R , r và d theo bảng sau :

Hai đường tròn cắt nhau 2 R – r <d < R + r

Hai đường tròn tiếp xúc 1 d = R + r ( d = R – r )

Hai đường tròn không giao nhau 0 d > R + r ( d < R – r )

 Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

 Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây cung chung và chia dây cung đó ra hai phần bằng nhau

4) Các loại góc :

a) Góc ở tâm :

 Định nghĩa : Là góc có đỉnh ở tâm đường tròn

 Tính chất : Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn

c) Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm :

 Tính chất : Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây bằng một nửa số đo của cung bị chắn

d) Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn :

 Tính chất : Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng

số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh

ấy

e) Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn :

 Tính chất : Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu

số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc

5) Quỹ tích cung chứa góc :

 Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc  không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng AB Đặc biệt là cung chứa góc 900

là đường tròn đường kính

AB

 Dựng tâm O của cung chứa góc trên đoạn AB :

 Dựng đường trung trực d của AB

 Dựng tia Ax tạo với AB một góc  , sau đó dựng Ax’ vuông góc với Ax

 O là giao của Ax’ và d

6) Tứ giác nội tiếp đường tròn :

 Định nghĩa : Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn

 Tính chất : Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện bằng 2 góc vuông Ngược lại , trong một tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 2 góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn

7) Chu vi đường tròn , cung tròn , diện tích hình tròn ,

quạt tròn :

 Chu vi hình tròn : C = 2R

 Diện tích hình tròn : S = R2

 Độ dài cung tròn : l =

180Rn

8) Tính bán kính đường tròn nội tiếp , ngoại tíêp , bàng

tiếp đa giác

a) Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều n cạnh :

 r =

n

180tg

cSinB2

bSinA

abc

 Với tam giác vuông tại A : R =

2a

 Với tam giác đều cạnh a : R =

3a

d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r) :

c 

 Với tam giác đều cạnh a : r =

63a

e) Bán kính đường tròn bàng tiếp góc A tam giác (ra) :



ap

a 

 Với tam giác đều cạnh a : ra =

2

3a

b) Các ví dụ

Câu 1 Trong đường tròn (O) kẻ hai bán kính OA và OB tùy ý và một dây MN

vuông góc với phân giác Ox của góc AOB cắt OA ở F và OB ở G Chứng

Từ hai điều trên suy ra điều phải chứng minh

Câu 2 Cho hai đường tròn đồng tâm như hình vẽ So sánh các độ dài :

a) OH và OK b) ME và MF c) CM và MK Nếu biết

AB > CD

AB = CD

AB < CD

Câu 3 Cho (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn Chứng minh rằng dây AB

vuông góc với OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I

Hướng dẫn chứng minh

Kẻ dây CD bất kì đi qua I không trùng với AB

Nhờ mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây , ta kẻ OK vuông góc với

CD

OI > OK nên AB < CD

* Từ bài tập trên chúng ta thấy nếu bán kính đường tròn bằng R và OI = d chúng ta có thể hỏi :

- Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua I ?

- Tính độ dây dài nhất đi qua I ?

Câu 4 Cho (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn Hãy dựng cát tuyến MPQ

với đường tròn sao cho MP = MQ

Hướng dẫn

mãn đề bài Kẻ OI vuông góc với PQ

MN và (O)

Cách dựng : Dựng điểm N rồi dựng điểm P…

2) Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn :

a) Ứng dụng của tiếp tuyến :

 Từ các tính chất của tiếp tuyến , của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chỉ ra được các đường thẳng vuông góc , các cặp đoạn thẳng và các cặp góc bằng nhau ; cũng từ đó ta xây dựng được các hệ thức về cạnh , về góc

 Từ tính chất của tiếp tuyến chúng ta có thể vận dụng vào tam giác tìm ra công thức tính diện tích của đường tròn nội tiếp , đường tròn ngoại tiếp và đường tròn bàng tiếp tam giác , cũng như bán kính

 Góc EAX = góc AEF

b) Các ví dụ :

Câu 1 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC ; d là tiếp tuyến của đường tròn tại A Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E

a) Tính góc DOE

b) Chứng minh : DE = BD + CE

c) Chứng minh : BD.CE = R2 ( R là bán kính đường tròn tâm O )

d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE

90

=)A

OˆC+A

OˆB(2

1

=A

OˆE+A

c) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có : BD.CE = DA.EA

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác DOE DA.EA = OA2 =

R2

d) Trung điểm I của DE là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông DOE Ta thấy OI là đường trung bình của hình thang vuông BDEC nên OI // BD // CE hay

OI  BC hay BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE

Câu 2 Cho hai đường tròn ( O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ các đường kính

AOB ; AOC’ Gọi DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ; D  ( O ) ; E

 ( O’) Gọi M là giao điểm của BD và CE

ở F Dựa vào tính chất tiếp tuyến ta có

FA = FD = FE Vậy tam giác DAE là tam giác vuông tại A hay góc DAE =

900 b) Tứ giác ADME có 0

 Với những bài tập cho trước hai đường tròn tiếp xúc nhau , ta nên lưu ý đến tiếp tuyến chung của chúng Nó thường có một vai trò rất quan trọng trong các lời giải

 Với bài tập trên chúng ta có thể hỏi :

 CMR : góc OFO’ là góc vuông

 DE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OFO’

 Các tia AD và AE cắt (O) và (O’) ở H ; K Chứng minh : SAHK = SADE

Câu 3 Gọi a , b, c là số đo 3 cạnh của tam giác ABC , r là bán kính đường tròn nội

tiếp tam giác Tính diện tích tam giác theo p và r , trong đó p là nửa chu vi tam giác

Từ bài tập trên hãy tính :

 Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác vuông , tam giác đều theo các cạnh của tam giác

 Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo các cạnh a , b, c của tam giác

3) Bài tập về các loại góc trong đường tròn

Câu 1 Cho A là một điểm cố định trên đường tròn (O) và M là một điểm di động

trên đường tròn đó N là giao của AM với đường kính cố định BC Chứng minh giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN là cố định

Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN đi qua P  (O) cố định

Nhận xét :

Trong bài này P còn là góc nội tiếp của hai đường tròn nên nó đóng vai trò đại lượng trung gian để chứng minh những góc bằng nhau Kĩ năng này còn được gặp lại khá thường xuyên

Câu 2 Cho tham giác ABC có 3 góc nhọn Đường tròn (O) có đường kính BC cắt

AB , AC theo thứ tự ở D , E Gọi I là giao điểm của BE và CD

Từ hai điều trên suy ra điều chứng minh c) Góc BAC = 600  Góc DBE = 300 chắn cung DE

 Số đo cung DE = 600

 Góc DOE = 600 mà tam giác DOE cân đỉnh O nên DOE là tam giác đều

Câu 3 Cho đường tròn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn

Điểm C thuộc nửa đường tròn cùng nửa mặt phẳng với Ax với bờ là AB Phân giác góc ACx cắt đường tròn tại E , cắt BC ở D Chứng minh :

a) Tam giác ABD cân

b) H là giao điểm của BC và DE Chứng minh DH  AB

c) BE cắt Ax tại K Chứng minh tứ giác AKDH là hình thoi

Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh được BE vừa là phân giác vừa là đường cao của tam giác ABD , nên ABD cân đỉnh B

b) Dựa vào góc chắn nửa đường tròn Ta thấy H là trực tâm của ABD nên DH 

AB

c) Ta thấy KE = HE (vì AKH cân đỉnh A) và AE = DE ( ABD cân đỉnh B) và

ADKH , nên tứ giác AKDH là hình thoi

Từ bài tập trên có thể ra các câu hỏi khác :

 Chứng minh OE  AC

 Tìm vị trí của C trên cung AB để ABD đều

Câu 4 Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) Chứng minh rằng :

a) R =

SinC2

cSinB2

bSinA

abc

Hướng dẫn giải

a) Kẻ đường kính AA’lúc đó ACA’ vuông tại C Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông và góc nội tiếp chắn cùng một cung ta có :

2R.SinB

=C'

AˆA'.SinAA

=

SinB2

b

=R

=

ha suy ra

R2

b

=ac

S2

hay

R4

abc

=S

Từ bài tập trên hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông , tam giác đều

4) Bài tập về tứ giác nội tiếp một đường tròn

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn theo một trong các cách sau đây

 Chứng minh tổng hai góc đối diện trong một tứ giác bằng 1800

 Chứng minh hai điểm nhìn hai điểm còn lại dưới cùng một góc

 Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại M mà MA.MC = MB.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp

 Tứ giác có hai cạnh bên AB và CD giao nhau tại M mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp

Các ví dụ :

Câu 1 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao BD , CE

a) Chứng minh BEDC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh : AD.AC = AE.AB

c) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng : Ax // ED

Với giả thiết của bài toán trên chúng ta có thể khai thác bài toán theo nhiều hướng

và ra được nhiều câu hỏi

 Kéo dài các đường cao BD , CE , AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ở D’ , E’ , F’ Chứng minh :

 H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F’

 H đối xứng với D’,E’,F’ qua AC , AB , BC

 OA  E’D’

 Các đường tròn tam giác : HAB , HBC, HCA có bán kính bằng nhau

 SABC =

R4

abc

 Vẽ hình bình hành BHCK , I là trung điểm của BC Chứng minh :

 Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm trên đường tròn (O)

Câu 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ; E là điểm chính giữa của cung AB , hai

dây EC , ED cắt AB tại P và Q Các dây AD và EC kéo dài cắt nhau tại I , các dây BC và ED kéo dài cắt nhau tại K Chứng minh rằng :

a) Tứ giác CDIK nội tiếp

b) Tứ giác CDQP nột tiếp

c) IK // AB

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA

Hướng dẫn a) D và C cùng nhìn IK dưới hai góc bằng nhau ( góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau ) Suy ra tứ giác DIKC nội tiếp

b) sđ (QDC + QPC) = ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE) = ½ sđ( BE + CB + ADC + BE )

= 1800 Nên tứ giác CDQP nội tiếp

Câu 3 Cho tứ giác nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh rằng tích hai đường chéo

bằng tổng của tích các cặp cạnh đối diện

Hướng dẫn :

Giả sử ACD > ACB Lấy E trên BD sao cho ACB = DCE Hai tam giác ABC và DEC đồng dạng : AB.DC = AC.DE

Hai tam giác ADC và BEC đồng dạng : AD.BC = AC.BE

Cộng từng vế hai đẳng thức trên suy ra điều chứng minh

1) Các câu hỏi thường gặp trong các bài toán hình

 Chứng minh : Nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn (đặc biệt là 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp )

 Chứng minh hai đường thẳng song song , vuông góc với nhau

 Chứng minh đẳng thức hình học

 Nhận biết hình là hình gì ? ( có thể là tam giác cân , hình bình hành , hình thoi , hình chữ nhật , hình thang cân …) Lưu ý : Khi chứng minh tứ giác là hình thang cân không được chứng minh là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau

 Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ; 3 hay nhiều điểm thẳng hàng

 Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn , tiếp tuyến chung của hai đường tròn

 Toán cực trị hình học

 Toán các đại lượng hình học : Đoạn thẳng , cung ,góc , chu vi , diện tích … Trong các câu hỏi trên tùy theo từng bài mà ra các câu hỏi sao cho có sự logic giữa các câu thứ nhất , thứ hai và các câu sau

Thông thường kết quả của các câu trên bao giờ cũng là giả thiết để chứng minh câu dưới, đôi khi cần vẽ thêm hình thì bài toán trở lên đơn giản hơn

2) Bài tập vận dụng

Câu 1 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và

By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F

a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp

b) AM cắt OE tại P , BM cắt OF tại Q Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao ? c) Kẻ MH  AB ( H  AB) Gọi K là giao của MH và EB So sánh MK và

EAB  KHB (g.g) 

HB

AB

=KH