Hình học 7 Bài toán về tam giác vuông

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ tia phân giác trong BD của góc , D thuộc AC. Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên BC. BD cắt AE tại H, tia ED và BA cắt nhau tại F. 1) Chứng minh rằng và . 2) Chứng minh rằng và H là trung điểm AE. 3) So sánh AD và CD. 4) Chứng minh rằng và tam giác BFC cân. 5) Chứng minh rằng và . 6) Gọi I là trung điểm CF, chứng minh rằng B, D, I thẳng hàng. Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc và . Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E. 1) Chứng minh . 2) Chứng minh là tam giác đều. 3) Tính độ dài cạnh AC. Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có góc . Tia phân giác trong góc B cắt AC tại D. Qua D kẻ đường vuông góc BC tại E, cắt tia BA tại F. 1) Chứng minh tam giác ABE đều và BD vuông góc AE. 2) Chứng minh rằng tam giác BCD cân và . 3) Chứng minh rằng và tính góc . 4) Gọi I là trung điểm CF. Chứng minh rằng B, I, D thẳng hàng. 5) Biết rằng . Tính các cạnh .

Bài toán về tam giác vuông

Hình học 7

Bài tập có hướng dẫn và đáp án

Câu 1 Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ tia phân giác trong BD của góc ABC , D thuộc

AC Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên BC BD cắt AE tại H, tia ED và BA cắt nhau tại F

1) Chứng minh rằng ABD EBD và ABBE

2) Chứng minh rằng BDAE và H là trung điểm AE

3) So sánh AD và CD

4) Chứng minh rằng AF CE và tam giác BFC cân

5) Chứng minh rằng AE/ /CF và BDCF

6) Gọi I là trung điểm CF, chứng minh rằng B, D, I thẳng hàng

Hướng dẫn

1) Trước hết do BD là phân giác nên 1

2

ABD EBD ABC

0

90

BD chung ABD EBD ABD EBD c h g n BAD BED











Do ABD EBDABBE

2) Từ chứng minh a ta có ABD EBD AB BE

DA DE





Như vậy B và D đều cách đều A và E nên BD là trung trực của AE

Do đó, BD vuông góc AE tại trung điểm AE, mà theo giả thiết thì BD cắt AE tại H nên H phải là trung điểm AE

Nói cách khác, BD vuông góc AE tại trung điểm H của AE

3) Ta đã chứng minh được ADDE

Xét điểm D và đường thẳng BC ta có DE là đường vuông góc, còn DC là đường xiên

kẻ từ D tới BC Do đó DEDC

Vậy ADDE DC

4) Xét tam giác ADF và EDC có:

0

doi d













Ta có BF AB AF

BC BE EC



Mà từ các chứng minh trên ta có ABBE AF; EC suy ra BFBC hay tam giác BFC cân tại B

5) Từ các chứng minh trên ta được BAE và BFC là các tam giác cân có chung góc ở đỉnh B

Do đó các góc đáy bằng nhau, hay

0 180 2

ABC

Mà 2 góc này đồng vị nên AE/ /CF

Từ chứng minh 2 đã có BDAEBDCF

6) Ta có BF BC và ADF  EDCDF DC

Như vậy B và D đều cách đều F, C nên BD là trung trực FC

Do đó BD vuông góc CF tại trung điểm CF

Mà I là trung điểm CF nên BD đi qua I hai B, I, D thẳng hàng

Câu 2 Cho tam giác ABC vuông tại A D là chân đường phân giác trong góc B, D thuộc BC

Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho BEBA

1) So sánh DA và DE

2) Kẻ đường cao AK của tam giác ABC, K thuộc BC Chứng minh rằng DE/ /AK

3) Gọi H là giao điểm của AE và BD Chứng minh rằng HAHE

4) Tia ED và BA cắt nhau tại F Chứng minh ADF  EDC

5) Tam giác BFC là tam giác gì? Vì sao?

6) Chứng minh rằng BDCF

Hướng dẫn

1) Trước hết do BD là phân giác nên

2

ABC

BA BE

BD chung ABD EBD c h c g v DA DE ABD EBD







2) Do ABD EBDBEDBAD900 DE BC

Mà AKBCDE/ /AK

3) Từ chứng minh 1 ta được BA BE

DA DE





B, D đều cách đều A, E nên BD là trung trực của AE, suy ra BD phải vuông góc AE tại trung điểm AE

Mà theo giả thiết thì BD cắt AE tại H nên H là trung điểm AE hay HAHE

4) Xét tam giác ADF và EDC có:

0

doi d









5) Ta có BF AB AF

BC BE EC



Mà từ các chứng minh trên ta có ABBE AF; EC suy ra BF BC hay tam giác BFC cân tại B

6) Ta có ADF EDCDF DC

Như vậy BF  BC DF; DC nên BD là trung trực của CF, suy ra BDCF

Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK, K thuộc BC Đường phân giác trong

góc B cắt AC tại D Qua A kẻ đường vuông góc BD tại H và cắt BC tại E

1) Tam giác ABE là tam giác gì? Vì sao?

2) Chứng minh rằng DADE và DB là phân giác góc ADE

3) Chứng minh rằng DE/ /AK và AE là phân giác góc CAK

4) Gọi F là giao điểm của tia ED và BA Chứng minh rằng ACEF và EF BC 5) Chứng minh rằng BD đi qua trung điểm của CF

Hướng dẫn

1) Do BD là tia phân giác nên 1

2

ABH EBH  ABC

0

90

AHB EHB

BH chung AHB EHB c g v g n BA BE ABH EBH







Vậy tam giác ABE cân tại B

BD chung

BA BE ABD EBD c g c ABD EBD









Suy ra ADBEDB hay DB là phân giác góc ADE

3) Do ABD EBDBEDBAD900 DE BC

Mà AKBCDE/ /AK

Khi đó ta có KAE DEA (so le trong)

Mà ABD EBDDADE hay tam giác ADE cân tại D nên DEADAE Suy ra KAE DAEDEA hay AE là phân giác góc KAC

0

90

BA BE ABC chung BAC BEF c g v g n AC EF BAC BEF













Tam giác ABC vuông tại A nên ACBCEF ACBC

5) Do BAC BEFBF BC

AD ED DAF DEC ADF EDC c g v g n DF DC ADF EDC











Như vậy, BF BC DF; DC nên BD là trung trực của CF, suy ra BD đi qua trung điểm của CF

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD và đường cao AK (D thuộc AC,

K thuộc BC) Kẻ DE vuông góc BC, E thuộc BC Gọi H là giao điểm của AE và BD 1) Chứng minh tam giác ABE cân và H là trung điểm AE

2) Chứng minh DE/ /AK và AE là phân giác góc KAC

3) Gọi G là giao điểm của AK và BD Chứng minh rằng tứ giác ADEG có 4 cạnh bằng nhau

4) Chứng minh GE/ /AC

5) Qua C kẻ đường vuông góc tia BD tại I Chứng minh rằng 3 đường AB, DE, CI đồng quy

Hướng dẫn

0

90

BD chung ABD EBD ABD EBD c h g n BAD BED











Do đó BABE DA; DE hay tam giác ABE cân tại B

Đồng thời, B, D cách đều A, E nên BD là trung trực AE nên BD vuông góc AE tại trung điểm AE Mà theo giả thiết thì BD cắt AE tại H nên H là trung điểm AE

2) DE/ /AK do cùng vuông góc BC

Khi đó ta có KAE DEA (so le trong)

Mà ABD  EBDDADE hay tam giác ADE cân tại D nên DEADAE Suy ra KAE DAEDEA hay AE là phân giác góc KAC

3) Do BD là trung trực AE như đã chứng minh nên GA GE

DA DE





Mặt khác, từ kết quả chứng minh 2 ta có

0

2

AH chung

KAC HAG HAD











Vậy, AGGEDE AD hay tứ giác ADEG có 4 cạnh bằng nhau

4) Ta có H là trung điểm AE hay HAHE

Cùng kết quả chứng minh 3 ta có

0

90

HA HE

AHD EHG







Mà hai góc này so le trong nên GE/ /AD

5) Ta có DEBC BA; CD CI;  AD nên AB, DE, CI là 3 đường cao của tam giác BCD Do đó 3 đường này đồng quy tại 1 điểm

Câu 5 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK (K thuộc BC) Trên cạnh BC lấy điểm

E sao cho BE BA Qua E kẻ đường vuông góc BC cắt cạnh AC tại D

1) Chứng minh rằng BD là tia phân giác góc ABC và DB là tia phân giác góc ADE

2) Gọi H, G lần lượt là giao điểm của AE, AK với BD Chứng minh tam giác ADG cân

và H là trung điểm DG

3) Chứng minh GEAB và tứ giác ADEG có 4 cạnh bằng nhau

4) So sánh độ dài 3 đoạn AD, CD và DE

5) Biết AB5cm và góc ABC 600 Tính độ dài cạnh BC

Hướng dẫn

0

90

BA BE

BD chung BAD BED c h c g v BAD BED









Do đó ABDEBD hay BD là phân giác góc ABC và ADBEDB hay DB là phân giác góc ADE

2) Ta có DE/ /AK do cùng vuông góc BC nên GAH DEA (so le trong)

Mặt khác, do BAD BEDDADE hay tam giác ADE cân tại D nên

DEADAH Suy ra KAH GAHDEA

AH chung AHD AHG AHD AHG c g v g n DAH GAH













Suy ra AD AG hay tam giác ADG cân tại A

3) Từ các chứng minh trên, ta có BA BE

DA DE





 nên BD là trung trực của AE

Do đó BD vuông góc AE tại trung điểm AE, chính là điểm H theo giả thiết

Đồng thời, AHD  AHGHDHG

0

2 90

HA HE

AHD EHG









Suy ra HEGHAD mà 2 góc so le trong nên GE/ /AD

Mà ADABGEAB

Ta đã chứng minh được DADE AD;  AG

Mà AHD EHGADGE

Vậy ADAG EG DE hay tứ giác ADEG có 4 cạnh bằng nhau

4) Ta đã chứng minh ADDE

Tam giác DEC vuông tại E nên DECD

Vậy ADDE CD

5) Lấy F là điểm đối xứng với B qua A

CA chung

AB AF









Suy ra tam giác BCF cân tại C Mà góc ABC900 nên CBF là tam giác đều

Do đó BC2.BA2.5 10 cm

Câu 6 Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC600 Tia phân giác trong góc B cắt AC

tại D Qua D kẻ đường vuông góc BC tại E, cắt tia BA tại F

1) Chứng minh tam giác ABE đều và BD vuông góc AE

2) Chứng minh rằng tam giác BCD cân và EBEC

3) Chứng minh rằng DF DC và tính góc BCF

4) Gọi I là trung điểm CF Chứng minh rằng B, I, D thẳng hàng

5) Biết rằng AB6cm Tính các cạnh BC BE AC; ;

Hướng dẫn

BD chung BAD BED ABD EBD c h g n BA BE ABD EBD









Do đó tam giác ABE cân tại B, mà góc 0

60

ABC nên trở thành tam giác đều

Đồng thời ABD EBD BA BE

DA DE





 nên BD là trung trực AE, suy ra BDAE

ABC  DBC  ABC  

DCB ABC   Vậy DBC DCB300 nên tam giác BCD cân tại D, suy ra DBDC

DE chung DEB DEC DEB DEC c h c g v EB EC

DB DC









DA DE DAF DEC A F EDC c g v g n DF DC ADF EDC















Đồng thời A FD  EDCAF EC , mà BABEBFBC

Như vậy tam giác BFC có BF BC và góc FBC 600 nên là tam giác đều

Vậy BFC 600

4) Từ các chứng minh trên ta có BF BC

DF DC





 nên BD là trung trực của CF

Do đó BD vuông góc CF tại trung điểm CF; mà I là trung điểm CF theo giả thiết nên

BD đi qua I, hay B,I, D thẳng hàng

5) Tam giác BFC đều nên BCBF2.BA2.612cm

BC

EBEC    cm

Áp dụng định lý Pytago, ta được AC  BC2 AB2  122 62  108 6 3cm

Bài tập tự luyện

Câu 7 Cho tam giác ABC vuông tại A, góc 0

60

ABC và AB6cm Tia phân giác của góc

B cắt AC tại D Kẻ DE vuông góc với BC tại E

1) Chứng minh ABD EBD

2) Chứng minh ABE là tam giác đều

3) Tính độ dài cạnh AC

Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A, có 0

30

ACB và AB5cm Tia phân giác góc B cắt AC tại D Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên BC

1) Chứng minh ABD EBD

2) Tam giác ABE là tam giác gì? Vì sao?

3) Tính độ dài cạnh BC

Câu 9 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BC (D thuộc cạnh AC) Kẻ AE

vuông góc BE tại E, cắt BC tại K

1) Chứng minh rằng tam giác ABK cân

2) Chứng minh rằng DK vuông góc BC

3) Kẻ AH vuông góc BC Chứng minh AK là tia phân giác góc HAC

4) Gọi I là giao điểm của AH và BD Chứng minh rằng IK song song AC

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại C, có góc CAB600 Tia phân giác trong góc A

cắt cạnh BC tại E Kẻ tia Ex vuông góc AB tại K và tia By vuông góc AE tại D Chứng minh rằng:

1) AK KB

2) ADBC

Câu 11 Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường phân giác BC (D thuộc AC) Kẻ

AE vuông góc BD tại E Đường thẳng AE cắt BC tại K

1) Chứng minh rằng ABK là tam giác cân

2) Cho DC10cm KC; 8cm, tính độ dài đoạn DK

3) Vẽ tia Ax sao cho AK là phân giác của góc Cax, tia Ax cắt BD tại I Chứng minh rằng

KI  AB

Câu 12 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD (D thuộc AC) Kẻ DE

vuông góc BC tại E Gọi F là giao điểm của tia BA và ED Chứng minh rằng:

1) BD là trung trực của AE

2) DF DC

3) ADDC

4) Kẻ BM vuông góc CF tại M Chứng minh rằng B, D, M thẳng hàng

Câu 13 Cho tam giác ABC vuông tại A BD là đường phân giác góc B, D thuộc BC

Kẻ DE vuông góc BC, E thuộc BC Gọi F là giao điểm của ED và BA Chứng minh rằng:

1) BD là trung trực của AE

2) DF DC

3) ADDC

4) AE/ /FC

Câu 14 Cho tam giác ABC vuông tại B Vẽ tia phân giác AD, D thuộc BC Từ D kẻ

,

DE AC EAC

1) Chứng minh rằng BDDE AB;  AE

2) ED cắt BA tại F, chứng minh rằng BDF EDC

3) Chứng minh rằng AFC là tam giác cân

4) Chứng minh rằng AD vuông góc FC

Câu 15 Cho tam giác ABC vuông tại C, có góc CAB600 Tia phân giác của góc

BAC cắt BC ở E, kẻ EK vuông góc AB, K thuộc AC, kẻ BD vuông góc AE, D thuộc

AE Chứng minh rằng:

1) AK KB

2) ADBC

3) 3 đường AC, EK và BD đồng quy

Câu 16 Cho tam giác MNP vuông tại M, tia phân giác góc N cắt MP tại D Kẻ DE

vuông góc NP, E thuộc NP

1) Chứng minh rằng MND END

2) Chứng minh rằng ND là trung trực của ME

3) Gọi F là giao điểm của MN và DE Chứng minh tam giác NFP cân và ND đi qua trung điểm PF

4) So sánh DM và DP