Chuyên đề tích phân ứng dụng

Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp... Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC..

Trang 1

Giáo viên:LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM_CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM

I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT:

1 Nguyên hàm

a Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm  

số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số   f x trên   K nếu F x'    f x với mọi x K

b Định lí:

1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số  

   

G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên   K

2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì mọi nguyên hàm của   f x  

trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số

Do đó F x C C,  là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K  

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K  

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Trang 2

II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu f u du F u    C và u u x   là hàm số có đạo hàm liên tục thì

Vì v x dx dv u x dx dv'   , '   nên đẳng thức còn được viết dưới dạng: u v uvd  v ud

Trang 3

II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:

Nhóm kỹ năng: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN

a)  2 sin 4x3cos 5x1dx b)  4 sin 22 x6 cos2x xd

c) 2 sin 34 x xd d)  sin 24 xcos 24 x xd

Trang 4

b) Ta có:  4 sin 22 x6 cos2x xd 2 1 cos 4  x 3 1 cos 2 xdx 3cos 2x2 cos 4x5dx

a) 2 sin 3 cos 2x x xd b) 6 sin 4 sin 2x x xd

c) cos 5 cos 2x x xd d) 8 sin 3 cos 2 sin 6x x x xd

Vậy 8sin 3 cos 2 sin 6x x x xd  2cosx2cos 5x2cos7x2cos11x xd

2 sin 5 2 sin 7 2 sin11



Trang 5

 



7)  3sin 2x2 cos7x1dx 8)  2 sin 22 x4 cos 42 x xd

9) 6 sin 24 x xd 10)  sin4xcos4x xd

11) 8 sin 3 cos 6x x xd 12) 10 sin 2 sin 8x x xd

13) 4 cos 5 cos 3x x xd 14) 16 sin 2 cos 3 sin 6x x x xd

Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC

Trang 6

Trang 7

Trang 8

Thay x0 vào (*), ta được: 4 2 A A 2

Thay x1 vào (*), ta được: 4    B B 4

Thay x2 vào (*), ta được:  6 2C C 3

Sử dụng phương pháp đồng nhất thức như trên

Bài tập tương tự: Xác định các nguyên hàm sau:

Trang 9

Ta có:  2x1 sin x xd  2x1 cos x2cosx xd  2x1 cos x2sinx C

Vậy  x2 xcosx xd x2xsinx2x1 cos x2 sinx C '

Trang 10

1

.2

x x

Trang 11

1ln

Trang 12

Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm của hàm số f x trong các trường hợp sau:  

a) f x e1 cos xsin x b) f x sin3xcos5x

Lời giải

a) I f x x d e1 cos xsinx xd

Đặt t 1 cosxdt sinx xd Khi đó: I  e t td     e t C e1 cos xC

b) I f x x d sin3xcos5x xd sinx1 cos 2xcos5x xd

Trang 13

.1

x t

Trang 14

Nhận xét: So với phép đổi biến t 1 sin2x thì cách dùng vi phân tỏ ra khoa học hơn

Trang 15

x x

e

e x

e e

1

x x I

Trang 16

IV – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:

Câu 1 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu F x  là một nguyên hàm của f x  trên  a b; và C là hằng số thì

 d  

f x x F x C

B Mọi hàm số liên tục trên  a b; đều có nguyên hàm trên  a b;

C F x  là họ nguyên hàm của f x  trên   /     

x

32016

5

x

 D  5

31

Trang 17

Câu 5 Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A sin 2x và cos2x B cos 2x và sin2x

Trang 18

Trang 19

Câu 12 Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2 sin 4x là hàm số F x  thỏa mãn   3

02

F  Khi đó F x  là hàm số nào sau đây?

A   cos 4

24

x

22

x

F x   

C   cos 4

22

Trang 20

Vậy   1

x C

4

ln

.4

x C

Câu 18 Tính F x( )xsinx xd ta được kết quả

A F x( )xsinxcosx C B F x( ) sin x x cosx C

C F x( ) sin x x cosx C D F x( )xsinxcosx C

Lời giải

Đặt u x ,dvsinx xd dudx v,  cosx

Ta có: F x( ) xcosxcosx xd  xcosxsinx C  Chọn đáp án B.

Câu 19 Kết quả của xln 2 x xd là

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Câu 24 Nguyên hàm của hàm số ( ) 1

A.f x x e( )d  cosx sinx C B. f x x( )d ecosxsinx C

C. f x x( )d ecosxsinx C D. f x x e( )d  cosxsinx C

V – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:

Câu 1 Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?

Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:

Trang 24

Câu 2 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu F x  là một nguyên hàm của f x  trên  a b; và C là hằng số thì

 d  

f x x F x C

B Mọi hàm số liên tục trên  a b; đều có nguyên hàm trên  a b;

C F x  là một nguyên hàm của f x  trên  a b; F x/    f x ,  x  a b;

Trang 25

Câu 6 Hàm số f x  có nguyên hàm trên K nếu:

A f x  xác định trên K B f x  có giá trị lớn nhất trên K

C f x  có giá trị nhỏ nhất trên K D f x  liên tục trên K

Câu 8 Nếu f x  liên tục trên khoảng D thì:

A f x  không có nguyên hàm trên D B f x  có đúng một nguyên hàm trên D

C f x  có hai nguyên hàm trên D D f x  có vô số nguyên hàm trên D

x

C  5

32016

5

x

31

Trang 26

Trang 27

sin

x C

x 

Câu 20 Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?

Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:

Đúng Sai a)   2

x

1

Trang 28

Trang 29

F  Khi đó F x  là hàm số nào sau đây?

A   cos 4

24

x

22

x

F x   

C   cos 4

22

Trang 30

Câu 35 Nguyên hàm của hàm số f x( ) 4sin 2 cos x x là

Trang 31

Câu 41 Giá trị m để hàm số F x 4mx32x2m22x1 là một nguyên hàm của hàm số

Trang 32

Trang 33

Câu 54 Biết một nguyên hàm của hàm số   2





Trang 34

x C x

Trang 35

21

Trang 36

123

f x x x  C

Trang 37

Câu 79 Nguyên hàm của hàm số f x( ) 31 3 x là

x e

2

x e

Trang 38

6

Câu 85 Tính F x( )xsinx xd ta được kết quả

A F x( )xsinxcosx C B F x( ) sin x x cosx C

C F x( ) sin x x cosx C D F x( )xsinxcosx C

Câu 86 Giả sử F x  là nguyên hàm của hàm số   2

F x   e C

Trang 39

A F x( ) xtanxln cosx C B F x( ) xcotxln cosx C

C F x( )xtanxln cosx C D F x( ) xcotxln cosx C

Câu 92 Tính F x( )x2cosx xd ta được kết quả

A F x( )x22 sin x2 cosx x C B F x( ) 2 x2sinx x cosxsinx C

C F x( )x2sinx2 cosx x2sinx C D F x( )2x x 2cosx x sinx C

Câu 93 Tính F x( )xsin 2x xd ta được kết quả

 theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ

x t

x C

4

ln

.4

x C

 D 3ln2x C

Trang 40

Câu 99 Để tính xe x2dx theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ

x e C

 C e x2 C D x e x2 C

Câu 101 Để tính 12 1d

cos x x x

 theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ

C tcos5x D tsin cos x x

Câu 104 Kết quả của sin cosx 5x xd là

6

cos

.6

x C



Câu 105 Kết quả của 2x x21dx là

A

2 2

C t cosxsin x D t cosxsin x

Trang 41

Câu 107 Kết quả của cos sin d

A 2 cosxsinx C B 2 cosxsinx C

C sinxcosx C D sinxcosx C

Câu 108 Để tính xe xdx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt

x x

e C

2

.2

x x x

Câu 111 Kết quả của x2cosx xd là

A 2 cosx x x 2sinx C B 2 cosx x x 2sinx C

C x2sinx x cosxsinx C D x2sinx2 cosx x2sinx C

Câu 112 Để tính xln 2 x xd theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt

Trang 42

Xin phép quý thầy cô là những người sở hữu các câu hỏi có trong tài liệu, cho phép chúng em biên tập và sử dụng để giúp cho các em học sinh thân yêu có tư liệu học tập Vì mục đích không kinh doanh nên mong quý thầy cô đồng ý ạ, chúng em xin chân thành cảm ơn!

CLB sử dụng hệ thống sách chất lượng của NXBGD VN 2007, 2008, 2016 và các tài liệu tham khảo chất lượng từ Page Toán học Bắc Trung Nam

P/S: Trong quá trình sưu tầm và biên soạn chắc chắn không tránh khỏi sai sót, kính mong quí thầy cô và các bạn học sinh thân yêu góp ý để các bản update lần sau hoàn thiện hơn! Xin chân thành cảm ơn

CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

Phụ trách chung: Giáo viên LÊ BÁ BẢO

Đơn vị công tác: Trường THPT Đặng Huy Trứ, Thừa Thiên Huế

Email: lebabaodanghuytru2016@gmail.com Facebook: Lê Bá Bảo

Số điện thoại: 0935.785.115

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	1,56 MB