Tóm tắt công thức toán cấp 3

HÌNH HỌC: PHÉP DỜI HÌNH  Phép biến hình: Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy.. Đi

TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ

MÔN TOÁN

I/ ĐẠI SỐ:

1 Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc

hai

2

2

b

a

1

0

0 0

0

0

0 2

0

0 2

0 /

/

/

a

a

S

S

f

af

af

h x











 

 



     



 



     





 





  





 





  



 









   2

/

af x

af af

af























   



0

0 2

0 2

af

S S











 











  





 





2 Bất đẳng thức:

Các tính chất của bất đẳng thức:

*

*

* 0

*

0

*

*

*

0

*

0 0

*

*

c

ac bc

c

ac bc





 

 



    





 







 





 



    

 



  



 









Bất đẳng thức chức giá trị tuyệt đối:

0

( , )

    

     

Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không

âm):

*

2

ab

  dấu “=” xảy ra khi a = b

3

a b c

abc

 



dấu “=” xảy ra khi a= b= c

Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số

thực):

*ab cd  (a c )(b d )

Dấu “=” xảy ra khi ad= bc

 2 2 2 2 2 2

Dấu “=” xảy ra khi 1 2 3

a

b  b  b

3 Cấp số cộng:

a/Định nghĩa: Dãy số u1, u2…….,un,……

Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu

1

u u  d

b/Số hạng thứ n: u n   u1 (n 1)d

c/Tổng của n số hạng đầu tiên:

4 Cấp số nhân:

a/Định nghĩa: Dãy số u1, u2…….,un,……

Gọi là cấp số nhân có công bội là q

nếu u n u n1.q

b/Số hạng thứ n: 1

1 n

n

u u q 

c/Tổng của n số hạng đầu tiên:

1

1 ( 1) 1

n n

q

q





1

n n

u

q





5 Phương trình, bất phương trình chứa

giá trị tuyệt đối:

*

0

*

*

*

*

B





    







    







    



6 Phương trình , bất phương trình chứa căn thức:

2

2

2

0 ( 0)

*

0

*

0

*

0

0 0

*

0

B

A

A

B A

B









  











 



  

 



 







   









7 Phương trình, bất phương trình logarit:

f(x)=g(x)

a

a

f x

g x

 









 









8 Phương trình , bất phương trình mũ:

( ) ( )

*

1 / ( ), ( ) 0

*

a

a

f x g x a

  







   

 











9 Lũy thừa:

*

*

*

1

*

*

k

a

a a

a

a

     



 



  



  







  





 













 

   





10 Logarit:0<N1, N2, N và 0a b, 1 ta

có:

log

1

2

*log

*log

*

*

1

log

*log

log 1

*log

log

a

M a

M a

N

a a

b a

b

a

b

N

N

N N

a

b

a



 

















II LƯỢNG GIÁC:

A.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Hệ thức cơ bản:

2

2

2

2

sin cos cos cot

sin

1 1

cos 1

1 cot

sin

x tgx

x x gx

x

tg x

x

g x

x







2 Cung liên kết:

Cung đối:

 

  

  

  

Cung bù:









  

  

  

Cung phụ:

2

2

2

2









Cung hơn kém :









  

  

Cung hơn kém

2



2

2

2

2









  

  

  

3 Công thức cộng:

1

tgx tgy

tg x y

tgxtgy



4 Công thức nhân đôi:

2

2

2

2

sin 2 2 sin cos

cos 2 2 cos 1

2 2

1

1 cos 2 cos

2

1 cos 2 sin

2

tgx

tg x

tg x x x

x x















5 Công thức nhân ba:

3

3

3

2

3

3

3 3

1 3

cos

4

sin

4

tgx tg x

tg x

tg x

x

x















6 Công thức biểu diễn theo sinx, cosx theo

2

x

ttg

2

2

2

2

2 sin

1 1 cos

1 2 1

t x t t x t t tgx

t















7 Công thức biến đổi:

a/Tích thành tổng:

1

2 1

2 1

2

b/Tổng thành tích:

cos cos

cos cos

sin sin

sin

tgx tgy

tgx tgy

x y









sin

Đặc biệt:

2

1 sin 2 (sin cos )

II.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:

1 Phương trình cơ bản:

2

2

2

2

2

2

2











 



 



   

     

  

 



   

    

  

     (kZ)

2 Phương trình bậc n theo một hàm số

lượng giác:

Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx,

cotgx) ta chuyển về phương trình:

1

1 0 0

a t a t   a 

Chú ý: nếu đặt t = sinx hoặc cosx thí chú

ý điều kiện 1  t 1

3 Phương trình bậc nhất theo sinx và

cosx:

Điều kiện để có nghiệm: 2 2 2

a b c

Cách giải: Chia hai vế cho 2 2

a b và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ

bản

4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối

với sinx và cosx:

Cách giải:

*Xét cos 0

2

x   x  k có là

nghiệmkhông?

*Xét cosx0 chia 2 vế chia cho cos2x và

2

1

cos

5 Phương trình dạng:

Cách giải: Đặt

4

sin cos (sin cos )



và giải phương trình bậc hai theo t

III Hệ thức lượng trong tam giác:

1 Định lý cosin:

cos

2 cos

2 cos

2

A

bc

B

ac

C

ab



 





2 Định lý hàm số sin:

2

R

3 Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

2

2

2

a

b

c

m

m

m







4 Công thức độ dài đường phân giác trong:

2

2

2

a

b

c

A bc l

b c B ac l

a c C ab l

a b













5 Công thức tính diện tích tam giác:

4

abc

R

III ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN:

1 Đạo hàm các hàm số thường gặp:

1

2

2

2

1/( ) '

1

2 /( ) '

2

3 / '

4 /(sin ) ' cos

5 /(cos ) ' sin

1

6 /( ) '

cos

1

7 /(cot ) '

sin

8 /( ) '

9 /( ) ' ln

1

10 /(ln ) '

1 11/(log ) '

.ln

a

x

x

tgx

x gx

x

x

x x

   



   

 

 



 



 









1

2

2

2

12 /( ) ' '

'

13 /( ) '

2

14 / '

15 /(sin ) ' '.cos

16 /(cos ) ' '.sin

'

17 /( ) '

cos

'

18 /(cot ) '

sin

19 /( ) ' '

20 /( ) ' ' ln

' 21/(ln ) '

'

22 /(log ) '

.ln

a

u u

u u

u tgu

u u gu

u

u u u u u

   



   

 

 



 



 









2 Nguyên hàm các hàm số thường gặp:

1

2

1 ln

1

x

dx

x

dx

C







 



  











2

2

ln

cos

cot sin

x

a

dx tgx C x

dx

gx C x











Chú ý: f ax b dx( ) 1F ax b( ) C

a



3 Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay:

-Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng

-Chọn công thức tính diện tích:

a

b a b





-Chọn công thức tính thể tích:

*Hình phẳng quay quanh trục Ox:

( ) ( )

a b

V  f x g x dx

*Hình phẳng quay quanh trục Oy:

a b

V  f y g y dy

-Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao điểm

Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ

các giao điểm

IV HÌNH HỌC:

PHÉP DỜI HÌNH

 Phép biến hình: Phép biến hình ( trong

mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó

PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH

 Định nghĩa phép tịnh tiến: Phép tịnh

tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho MM'u

Phép tịnh tiến theo vectơ u thường được ký hiệu là T hoặc

u

T Vectơ u

được gọi là vectơ tịnh tiến

 Tính chất của phép tịnh tiến:

Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm

M’ và N’ thì M’N’ = MN

Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm

thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

và không làm thay đổi thứ tự ba điểm

đó

Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường

thẳng thành đường thẳng, biến tia

thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn

thẳng bằng nó, biến tam giác thành

tam giác bằng nó, biến đường tròn

thành đường tròn có cùng bán kính,

biến góc thành góc bằng nó

 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ u

Biết tọa độ của u là (a,b) Giả sử điểm

M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi

đó ta có:

'

'

 



  



 Phép dời hình: Phép dời hình là phép

phép biến hình không là thay đổi

khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Định lý: Phép dời hình biến ba điểm

thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

và không làm thay đổi thứ tự ba điểm

đó, biến đường thẳng thành đường

thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn

thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến

tam giác thành tam giác bằng nó, biến

đường tròn thành đường tròn có cùng

bán kính , biến góc thành góc bằng nó

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

 Định nghĩa phép đối xứng trục: Phép

đối xứng qua đường thẳng a là phép

phép biến hình mỗi điểm M thành

điểm M’ đối xứng với M qua a

 Định lý: Phép đối xứng trục là một

phép dời hình

 Biểu thức tọa độ:

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng

qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành

M’( x’; y’) ta có:

' '





  

 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có:

' '

 



 



 Trục đối xứng của một hình: Đường

thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) = H

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

 Định nghĩa phép quay: Trong mặt

phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác  không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và (OM OM, ')

được gọi là phép quay tâm O góc quay 

 Định lý: Phép quay là một phép dời hình

 Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng

qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa là

 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa

độ Oxy, cho phép đối xứng tâm I(a;b) Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi đó ta có:



  



 Tâm đối xứng của một hình: Điểm O

gọi là tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối xứng tâm Đo biến hình H thành chính nó, tức là Đo (H) = H

HAI HÌNH BẰNG NHAU:

 Định lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai

tam giác bằng nhau thì có phép dời

hình biến tam giác ABC thành tam giác

A’B’C’

Từ định lý trên ta có thể phát biểu: Hai

tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có

phép dời hình biến tam giác này thành

tam giác kia

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH:

I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT

PHẲNG:

1/ Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ

*AB(x B x A,y By A)

*Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k: MA k

(k1)

Tọa độ điểm M được xác định bởi:

1

1

M

M

x

k M

y

k





*Điểm I là trung điểm của AB:

Tọa độ điểm I được xác định bởi:

2

2

I

I

x

I

y



 



 



*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:

Tọa độ điểm G được xác định bởi:

3 3

G

G

x

G

y

 

 



 



*Cho tam giác ABC có

1

2

ABC

2/ Đường thẳng:

a/Phương trình đường thẳng :

-Phương trình tổng quát: AxBy C 0

( ; ); 0

-Phương trình tham số: 0

0





  

 Vectơ chỉ phương u( ; )a b và qua điểm M(x0;

y0) -Phương trình chính tắc: x x0 y y0



-Phương trình đoạn chắn: x y 1

a b

 qua A( a; 0) ; B(0; b)

b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng:

0

A A B B Cos

c/Khoảng cách từ một điểm M x y( ;0 0)đến đường thẳng:

M

d







d/Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng:

e/Xác định phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài

Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía so với t t1 2 0

Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm khác phía so với t t1 2 0

3/Đường tròn:

Phương trình đường tròn:

-Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a;

b) và bán kính R

x a  y b R

-Dạng 2: Phương trình có dạng

x y  ax by c

Với điều kiện 2 2

0

a b  c là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính

R a b c

-Phương tích của một điểm M0 (x0 ; y0) đối

với một đường tròn:

M C

P x y  ax  by c

4/Elip:

-Phương trình chinh tắc Elip (E) x22 y22 1

a b 

(ab c); a b

-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)

-Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0)

-Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b)

-Tâm sai : e c 1

a

 

-Phương trình đường chuẩn: x a

e

  -Bán kính qua tiêu:

1

2

M

M

 

 

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)

( )E



x x y y

-Điều kiện tiếp xúc của

(E):x22 y22 1

a b  và : AxBy C 0là:

A a B b C

5/Hypebol:

a/ Phương trình chinh tắc Elip (E) x22 y22 1

a b 

c a b

-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)

-Đỉnh: A1(-a; 0) , A2(a; 0)

-Tâm sai : e c 1

a

 

-Phương trình đường chuẩn: x a

e

 

-Phương trình tiệm cận:y b x

a

  -Bán kính qua tiêu:

1

2

M M

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0) ( )E



x x y y

-Điều kiện tiếp xúc của (E):x22 y22 1

a b  và : AxBy C 0là:

A a B b C

6/ Parabol:

-Phương trình chính tắc của Parabol:

2 ( ) :P y 2px

-Tiêu điểm: ( ; 0)

2

p F

-Phương trình đường chuẩn:

2

p

x  -Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x0 ;

y0) ( ) P :

y y p x x

-Điều kiện tiếp xúc của (P) và

  :AxBy C 0

2

II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:

1/ Tích có hướng của hai vectơ:

a/Định nghĩa: cho hai vectơ

( ; ; ) ( '; '; ')





u v

Các ứng dụng:

- ,u v cùng phương u v, 0

- , ,u v w đồng phẳng u v w,  0

2

ABC

S  AB AC -ABCD là tứ diện AB AC AD,   m 0

6

ABCD

b/ Mặt phẳng:

-Phương trình tổng quát mặt phẳng:

Dạng 1:

0

Dạng 2:



-Phương trình mặt phẳng chắn:

1

a  b c

(() qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c))

-Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2

mặt phẳng khác:





(Ax By Cz D) ( 'A x B y C z' ' D') 0

Trong đó 2 2

0

  

-Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho hai

mặt phẳng:

 

 





   

   

   

/

b

c

3/Phương trình đường thẳng:

a/Phương trình tổng quát:

0





b/ Phương trình tham số:

0

0

0



  



  



Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là

( ; ; )

u a b c

c/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:

4/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:

Giả sử đường thẳng d qua M x y z0( ;0 0; 0)và có vectơ chỉ phương là u( ; ; )a b c và đường thẳng d’ qua M' ( ' ; ' ; ' )0 x 0 y 0 z 0 và có vectơ chỉ phương là ' ( '; '; ')u  a b c

a d d u u M M

u u M M

b d d I

a b c a b c

c d d a b c a b c x x y y z z

d d d a b c a b c x x y y z z

e d d u u M M









5/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian: trong không gian cho :

 

 

 

 

:

0 /

0 0 /

0

d

b d

c d

















6/ Các công hức tính khoảng cách:

-Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt phẳng:

 0 0 0 0

( ; ; )

M

M x y z

d



-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Trong không gian cho điểm

:

M x y z

d

0 /

M d

M M u

d

u

-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau:

/ '

:

' :

'

d

u u

 

 

 

7/ Góc :

- Góc giữa hai đường thẳng:

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta

có:

' : ' ( ', ', ')

cos







- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Gọi  là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

 

: ( ; ; )

: ( ; ; )

sin











 



- Góc giữa hai mặt phẳng:

 

 

cos









8/Phương trình mặt cầu:

Dạng 1: Có tâm I(a; b; c) và bán kính R

xa  y b  z c R

x y z  ax by cz d

Trong đó tâm I (a; b; c), bán kính

R a b c d

III/ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN -Đường thẳng và mặt phẳng:

Các tiên đề:

.Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một

đường thẳng và chỉ một mà thôi

.Tiên đề 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có

một mặt phẳng và chỉ một mà thôi

.Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân

biệt thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt phẳng

.Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm

chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm chung ấy

Cách xác định đường thẳng, mặt phẳng : 1/ Một điểm được xác định bởi 2 đường thẳng

cắt nhau A a b 

2/ Một mặt phẳng được xác định bởi một trong

các điều kiện sau:

a/ Ba điểm không thẳng hàng ( ) (  ABC) b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường thẳng ( ) ( , )  a A

c/ Hai đường thẳng cắt nhau ( ) ( , )  a b

d/ Hai đường thẳng song song : a//a’( ) ( , ')  a a

Quan hệ song song : 1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng

nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung

2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng thì d song song với mặt phẳng 

3/ Nếu d// , mặt phẳng nào chứa đường thẳng d và cắt  theo một giao tuyến thì giao tuyến đó cũng song song với d

4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng d và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song song với d

5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với d và d’