Tóm tắt công thức toán cấp 3 đầy đủ (bản đẹp)

Tài liệu tóm tắt công thức toán bản đẹp.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.d1 đi qua điểm và có VTCP , d2 đi qua điểm và có VTCP Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng () song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ().

CĂN BẬC HAI

1. A2  A

2. AB  A B A 0,B0

3. A A A 0,B 0

7. A A B B 0

B

A

C













A0,B0,AB

11 0  A B A B

HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

2

AB  A  ABB

2

AB  A  ABB

AB  A  A B AB B

AB  A  A B AB B

2

A B  AB  AB

3 3

3

A B  AB  AB AB

4

AB  AB  AB

NHỚ 1:

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG

TRÌNH BẬC NHẤT

0

ax  b axb

a0 : pt có nghiệm duy nhất x b

a

 

a và0 b : pt vô nghiệm.0

a và0 b  : pt nghiệm đúng x0 

0

ax  b ax b

 a0 :x b

a

a

 

a và0   : pt vô nghiệm.b 0

a và0   : pt nghiệm đúng x b 0 

NHỚ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Dạng:



 Cách biện luận: Tính các hệ thức

' '

a b

' '

x

c b

c b

' '

y

a c

(Nhớ: anh bạn, cầm bát, ăn cơm)

D :Hệ có nghiệm duy nhất:0

x

y

D x D D y D

 





 



D và0 D x 0 hoặc D và0 D y 0

Hệ vô nghiệm

 DD x D y  : Hệ nghiệm đúng 0 x

Các phương pháp giải chính:

 Phương pháp cộng đại số

 Phương pháp thế

 Dùng hệ thức như đi biện luận

NHỚ 3:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

2

0

ax bx c a0 2

4

0

 

0

 

Nghiệm kép 1 2

2

b

x x

a



0

2 ' b' ac

   Với b2 'b

' 0

 

,

' 0

 

Nghiệm kép x1 x2 b'

a



' 0

Chú ý:

 a   : Nghiệmb c 0 x1 1 ,x2 c

a

 a   : Nghiệmb c 0 x1 1 ,x2 c

a

Cho tam thức f x( )ax2 bx (c a0)

Có: b2 4ac S, b , P c

 ( ) 0f x  có hai nghiệm   0

 ( ) 0f x  có nghiệm kép   0

 ( ) 0f x  vô nghiệm   0

 ( ) 0f x  có 2 nghiệm trái dấu  P 0

 ( ) 0f x  có 2 nghiệm cùng dấu P 0

 ( ) 0f x  có 2 nghiệm âm

0 0 0

S P

 





 

 



 ( ) 0f x  có 2 nghiệm (+)

0 0 0

S P

 





 

 



0

a

     





0

a

     





0

a

     





0

a

     





NHỚ 4: DẤU NHỊ THỨC

( )

f x axba0

(Nhớ: phải cùng, trái khác)

( )

f x trái dấu a 0 cùng dấu a

NHỚ 5: DẤU TAM THỨC

2 ( )

f x ax bxca0

(Nhớ: trong trái, ngoài cùng)

Nếu  0

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

Nếu   thì ( )0 f x cùng dấu ,

2

b

a x

a

  

Nếu   thì ( )0 f x cùng dấu , a  x

Hoặc:

2 ( )

f x ax bx (c a0) 0

  a f x ( )  0, x

0

 

( ) 0,

2

b

a

    0

  a f x ( )   0, x  ;x1  x2;

 1 2

a f x   x x x

NHỚ 6: SO SÁNH HAI NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ Cho tam thức f x( )ax2 bx (c a0)

Có: b2 4ac S, b , P c

,

  là hai số thực (  )

1. x1  x2 af ( ) 0

0 ; ( ) 0

0 2

af











 



3. 1 2

0 ; ( ) 0

0 2

af











 



af

af



 











af

af











af

af











( ) ( ) 0



   



0



 







 x1 0 x2  P 0

0

0

S

 





 



0

0

S

 





 



NHỚ 7: PHƯƠNG TRÌNH

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN





 A B B 02

A B





  





 2

( ) 0 ( ) ( )

( ) ( )

g x

f x g x

f x g x

















2

0 0

A

 



  

 





2

0 0 0

B A

B

 



 





   









NHỚ 8: PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

0 0

A

A khi A





,

A  A A

 A  B   A B





  

 







    





0 0

B B

A B





 



  







   

 



NHỚ 9: BẤT ĐẲNG THỨC Các tính chất bất đẳng thức:





 

 



 a b    a c b c

 a c b    a b c

 c 0 ac bc





 







 





 



0

 

  



n N

 



 



 a  b 0 a  b

 a b 3 a  3 b

a b

   

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

   a a a, a R

 x     a a x a a0

 x a x a a 0

 



 a    b a b a  b ( ,a bR)

Bất đẳng thức Cô-Si

Cho n số tự nhiên không âm a a1, 2, ,a n

1 2

1 2

n n

n

a a a n



1 2

n n n

a a a

n

Đẳng thức xảy ra khi: a1 a2   a n

* Cho hai số không âm ,a b :

2

a b ab hay

2

a b

ab

Đẳng thức xảy ra khi: ab

* Cho ba số không âm , ,a b c :

3 3

a b c

abc

 

 Đẳng thức xảy ra khi: a b c

Bất đẳng thức Bunhia Côpski

Đẳng thức xảy ra khi: ad bc

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

a b a b c b  a a a b b b

Đẳng thức xảy ra khi: 1 2 3

b  b  b

Bất đẳng thức BecnuLi

 Cho a 1,n

1an  1 na

Đẳng thức xảy ra khi: 0

1

a n





 

NHỚ 10:

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A Hệ thức cơ bản (6 công thức)

sin

cos cos

sin

x

x x

x

Ghi nhớ: Điều kiện tồn tại:

2

x   k  k



 cot x là x k  (k)

 sin x là 1 sin  x1

 cos x là 1 cos  x1

B Công thức cộng (8 công thức)

7) sin( ) sin cos cos sin 8) sin( ) sin cos cos sin 9) cos( ) cos cos sin sin 10) cos( ) cos cos sin sin

11) tan( )

1 tan tan

1 tan tan



 





 



cot cot 1 13) cot( )



 





 



C Công thức nhân

I Nhân đôi: (3 công thức)

2

15)sin 2 2sin cos

16) cos 2 2cos 1 1 2sin

cos sin

2 tan 17) tan 2

1 tan

a a

a







II Nhân ba: (3 công thức)

3 3

3 2

18) sin 3 3sin 4sin

19) cos3 4cos 3cos

3tan tan 20) tan 3

1 3tan

a

a







III Hạ bậc: (5 công thức)

2

3

3

1 cos 2

2

1 cos 2

2

1 cos 2

23) tan

3sin sin 3

24)sin

4

25) cos

4

a

a

a a

a

a



















IV Góc chia đôi

Biểu diễn sinx, cosx theo tan

2

x

t 

2 2 2 2

2 26)sin

1 1 27) cos

1 2 28) tan

1

t x

t t x

t t x

t















D Biến tổng thành tích (8 công thức)

29) cos cos 2cos cos

30) cos cos 2sin sin

31)sin sin 2sin cos

32)sin sin 2cos sin

sin( ) 33) tan tan

cos cos sin( ) 34) tan tan

cos cos sin( ) 35) cot cot

sin s

a b

a b

a b

a







in sin( ) 36) cot cot

sin sin

b

a b

E Biến tích thành tổng (3 công thức)

1 37) cos cos cos( ) cos( )

2 1 38)sin sin cos( ) cos( )

2 1 39)sin cos sin( ) sin( )

2

F Cung liên kết

Cos đối-sin bù-phụ chéo-hiệu pi tang

Góc đối nhau

cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot

 

  

  

  

Góc bù nhau

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot









  

  

  

Góc phụ nhau

sin( ) cos 2

cos( ) sin 2

tan( ) cot 2

cot( ) tan 2









Góc hơn kém pi

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot









  

  

MỘT SỐ CÔNG THỨC

THƯỜNG SỬ DỤNG KHÁC

1 sin 2 x sinxcosx



2

1 sin sin cos

1 sin 2 x sinxcosx



2

1 sin sin cos

1 cos 2 x2cos x

1 cos 2cos

2

x x

1 cos 2 x2sin x

1 cos 2sin

2

x x

sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

x x x   x

G Giá trị lượng giác của góc đặc biệt



4



3



2



1 2

2 2

3

1

NHỚ 11:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A Phương trình cơ bản

2

2



 



2

2





 



      

tanutanv  u v k 

cotucotv  u v k 

 sinu  0 u k 

2

u   u  k 

2

u     u  k 

2

u   u  k 

 cosu  1 u k2

 cosu    1 u  k2

B Phương trình bậc nhất đ/v sin và cos

Dạng: asinxbcosxc  2 2 

0

Cách giải:

Chia 2 vế cho a2 b2 ta được:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

Đặt:

Phương trình trở thành:

2 2



2 2





* Điều kiện để phương trình có nghiệm

2c 2 1 a b c



Cách giải khác:

x

x   k     k 

có là nghiệm hay không?

2

x

x  k   

Đặt: tan

2

x

t Thay

2



phương trình bậc hai theo t:

2 (bc t) 2at   c b 0 (1)

Vì x   k2   b c 0, nên (1) có

nghiệm khi:

Giải (1), với mỗi nghiệm t0, ta có

phương trình: tan 0

2

x t

  Giải tìm x

C Phương trình bậc hai

asin xb x c

Đặt tsinx ( 1  t 1)

a x b x c

Đặt tcosx ( 1  t 1)

2

x  k 

Đặt t tanx

a xb x  (c xk )

Đặt tcotx

Phương trình đẳng cấp bậc hai

Dạng 1:

a xb x xc x (1)

 Kiểm tra cosx0 có thoả mãn hay

không?

Lưu ý: cos x0

2

2

 Khi cosx  , chia hai vế phương trình0

(1) cho cos2 x  ta được:0

2

a xb x c

 Đặt: t tanx, đưa về phương trình bậc

hai theo t:

2 (ad t) b t   c d 0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc, phương

trình (1) tương đương:

1 cos 2 sin 2 1 cos 2

.sin 2 ( ).cos 2

(đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x)

Dạng 2:

3

 Kiểm tra cosx0 có thoả mãn hay không?

 Khi cosx  , chia hai vế phương trình0 (1) cho cos2 x 0 ta được phương trình bậc ba theo tan x

Phương trình đối xứng

.(sin cos ) sin cos 0

a x x b x x c

Đặt:

4

   2

1 sin cos ( 1)

2

Thay vào phương trình đã cho, ta đư ợc phương trình bậc hai theo t Giải phương trình này tìm t thỏa t  2 Suy ra x.

D Phương trình đặc biệt

1 Tổng bình phương:

A B  Z      A B Z

2 Đối lập:

Giả sử phương trình A B (*).Nếu ta chứng minh được: A k





 

 thì (*)





  

 3

A k

A k

B l

B l

A B k l









   



4 A 1,B  Từ đó:1

1 1

1

A AB

B





   

 hoặc

1 1

A B

 



  



NHỚ 12: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG

TAM GIÁC

1 Tam giác thường

1 Định lí côsin

2 cos

a b c  bc A

cos

2

A

bc



2 Định lí sin

2 sin sin sin

R

3 Độ dài trung tuyến

4

a

4 Diện tích tam giác

S  ah  bh  ch

S  bc A ca B ab C



4

abc

S

R



 S pr

 S  p p( a p)( b p)( c)

(công thức Hê–rông)

Lưu ý:

 R, r lần lượt là bán kính đường tròn

ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.



2

a b c

 là nửa chu vi tam giác

B Tam giác vuông

BC  AB  AC (định lí Pi–ta–go)

AH BH CH

AH  AB  AC

AB BC BH

2

AC BC CH

 AH BC  AB AC

ba.sinBa.cosC ctanBccotC

ca C a Bb Cb C

NHỚ 13:

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định Lý: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và

f(a) f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b)

NHỚ 14:

HÀM SỐ MŨ

( 0, 1)

x

y a a a

 Tập xác định: D = R

Hàm số liên tục trên R

 Tập giá trị: T = (0; +)

 Khi a > 1 hàm số đồng biến,

a  a     Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

a  a    

1. a a   a   2. a a

a



 







3. (a  ) a  .

4 (ab) a b   5. a a



  

 

 

6. n ab n a b.n 7. n  n

n

8. n p a  n a p 9. m n a mn a

10. a0  1, n 1

n

a

a

Phương trình mũ: Với a > 0, a 1:

0 log

x

a

b





   

 ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

a a  f x g x

Bất phương trình mũ:Với a > 0, a 1:

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

f x g x

c

a

b

h a

m a

M H

A

c

a

b

h a

H A

NHỚ 15:

HÀM SỐ LÔGARIT

 Tập xác định: D = (0; +)

 Tập giá trị: T = R

 Khi a > 1 hàm số đồng biến,

loga bloga c b c

Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

loga bloga c b c

1. log 1 0a  2. loga a 1

3 loga a b b 4.

log

( 0)

b

a b b

5. log (a bc)loga bloga c

6 loga b loga b loga c

c

 

 

7 loga b  loga b 8.log 1 loga





a  b   b



1

loga loga b

b  

11. log n 1log

n



log

a

a

c

b

log

a

b

b

a

 14. alogb c clogb a

Phương trình lôgarit: Với a,b >0, a 1:

loga b  a  b

 

0

f x g x

f x









Bất phương trình lôgarit:Với a >0, a 1:

   

1

a

 





   

a

f x g x

  





NHỚ 16:

ĐẠO HÀM Bảng đạo hàm

Đạo hàm cơ bản Đạo hàm hàm hợp

 

uu x

 c '0 (c là hằng số)

x   x 

' 2

x

x

 2

'

   

 

 

u   u  u

' 2

u u

u

 2

   

 

 

2 2

1 tan '

cos 1 cot '

sin

x

x x

x



 



 

2 2

sin ' cos '

' tan '

cos ' cot '

sin

u u

u u u

u



 



 

 

 

' ' ln





 

 

' ' ' ln '





1

1

ln

a

x x x





'

'

ln

a

u u

u u u





Quy tắc tính đạo hàm

Giả sử uu x v , v x w , w x  là các hàm số có đạo hàm Khi đó:

1. u v w'  u' v' w'

2.  uv 'u v' v u' 3.  ku 'ku k' ( )

4. u ' u v' 2v u'



  

 

   

 

 

Một số công thức đạo hàm đặc biệt



'

  



2

2 '



NHỚ 17:

TÍCH PHÂN

1 Công thức NewTon-Leibnitz

b

a

b

a



(Với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  a b; )

2 Tích phân từng phần

b a

udvuv  vdu

(Với u, v liên tục và có đạo hàm trên  a b; )

NHỚ 18:

NGUYÊN HÀM

u là hàm số theo biến

x Tức uu x .

Nguyên hàm các hàm số cơ bản

dx x C

k dxk xC



(Với k là hằng số)

k duk uC

 1

1

x













(Với   1)

1 1

u













1

ln

 2

x   x

u   u

 1

2

 Nguyên hàm hàm số mũ

e dxe C

e due C



e dx  e C

e du  e C

 ln

x

a



(Với cơ số a: 0  a 1 )

ln

u

a



Nguyên hàm hàm số lượng giác cosxdxsinxC

 cosudusinuC

sinxdx cosxC

 sinudu cosuC

2

1

tan cos x dx xC

1

tan cos u du  uC



2

1

cot sin x dx  xC

1

cot sin u du  uC



Chú ý:

Bảng nguyên hàm mở rộng

1

ax b

a



















3. e ax b dx 1e ax b C

a



ln

mx n





5. cos(ax b dx) 1sin(ax b) C

a



6. sin(ax b dx) 1cos(ax b) C

a



7.

2

1

tan





8.

2

1

cot





NHỚ 19:

HOÁN VỊ - TỔ HỢP – CHỈNH HỢP

1 Hoán vị: P n n!

2 Tổ hợp: !

!( )!

k n

n C

k n k





C C 

1

n

C C 

C  C  C

n 2n

C C  C 

( )!

k n

n A

n k





4 Nhị thức Newtơn

0

n

n k



NHỚ 20:

SỐ PHỨC

1 Khái niệm số phức

 Tập hợp số phức: C

 Số phức (dạng đại số) : z a bi 

( ,a b  , a là phần thực, b là phần ảo, i là R

đơn vị ảo, i2 –1)

 z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0).

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

 Hai số phức bằng nhau

'

'





2 Biểu diễn hình học:

Số phức z = a + bi (a, bR) được biểu

diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi

( ; )

u a b trong mp(Oxy) (mp phức).

3 Cộng và trừ số phức:

 abi  a'b i'   aa'  bb i'

 abi  a'b i'   aa'  bb i'

 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

 u biểu diễn z, ' u biểu diễn z' thì u u'

biểu diễn z + z’ và u u' biểu diễn z – z’.

4 Nhân hai số phức :

a bi a  'b i'   aa' bb  ' ab' ba i'

 (k abi)kakbi k( R)

5 Số phức liên hợp

của số phức z = a + bi là z  a bi

 z  z; z  z' z z' ;

' '; z z

z z z z

 

2 2

z z a  b

 z là số thực  z z ;

z là số ảo z z

6 Môđun của số phức : z = a + bi

z  a b  zz  OM

 z   0, z C  z   0 z 0

 'z z  z z ' 

 z  z'  z z'  z z'

7 Chia hai số phức:

 1

2

1

z

2

'

z z



 z' w z' wz

8 Căn bậc hai của số phức:

 z x yi  là căn bậc hai của số phức

w a bi 2

2

xy b

 





 w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0

 w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau

 Hai căn bậc hai của a > 0 là  a

 Hai căn bậc hai của a < 0 là  a i

9 Phương trình bậc hai

2

0

Az Bz   (*) C

(A, B, C là các số phức cho trước, A 0 )

2 4

   : (*) có hai nghiệm phân biệt0

1,2

2

B z

A



 



( là 1 căn bậc hai của)

   : (*) có 1 nghiệm kép:0

1 2

2

B

z z

A

  

Chú ý: Nếu z 0  C là một nghiệm của (*)

thì z0 cũng là một nghiệm của (*).

10 Dạng lượng giác của số phức:

 z r(cosisin ) (r > 0) là dạng lượng

giác của z = a + bi (z  0).

2 2 cos

sin

a r b r













 là một acgumen của z,  (Ox OM, )

 z   1 z cosisin ( R)

11 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng

giác

' '(cos ' sin ')

 z z 'rr' cos(   ')isin(  ')

' '

z r

i

z  r     

12 Công thức Moa–vrơ:

r(cosisin ) n r n(cosn isinn ),

(nN*)

 cos isinn cosn isinn 

13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

 Số phức z r(cos i sin ) (r > 0) có hai căn bậc hai là:

NHỚ 21: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG MẶT PHẲNG

Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần

lượt là i j ,

O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.

 Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:

u x y  u x i y j

 Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:

M x y OM x i y j

a Tọa độ điểm

 AB(x B  x A;y B  y A)

 Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:

2 2

I

I

x

y



 



 



 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

3 3

G

G

x

y





Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 1

(M chia đoạn AB theo tỉ số k MA k MB

).

 ChoABC với đường phân giác trong

AD và phân giác ngoài AE (D, E  BC) ta

có:DB AB.DC

AC

 

, EB AB.EC

AC



 

b Tọa độ vectơCho

a a a b b b

2 2





   







 a b (a1b a1; 2 b2)

 ka(ka ka1; 2) (k)

 a b.a b1 1a b2 2

 a b a b1 1a b2 2 0

 a  a12 a22

cos( , )

a b









 b

cùng phương với a 0  1 1

: b ka

k

b ka





    

NHỚ 22:

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương trình tham số

Đường thẳng  đi qua M0( ;x y0 0) và có

VTCP u( ;u u1 2)có phương trình tham số

 



  

 ( t là tham số).

Phương trình chính tắc của là:

(u 1  0, u 2  0).

Chú ý: Trong trường hợp u 1 =0 hoặc u 2 =0

thì đường thẳng không có phương trình

chính tắc.

2 Phương trình tổng quát

Đường thẳng đi qua M0( ;x y0 0) và có

VTPT n( ; )a b thì phương trình của là:

 Nếu  có phương trình axby c 0

thì  có VTPT là n( ; )a b và VTCP

( ; )

u b a  hệ số góc a

k b

 

 Phương trình của  đi qua điểm

0( ;0 0)

M x y và có hệ số góc k là:

0 ( 0)

y y k xx

 Phương trình của  đi qua hai điểm

 A; A , B; B

A x y B x y là:

 Phương trình của  đi qua hai điểm

   ;0 , 0; ( , 0)

A a B b a b : Phương trình của là:

1

x y

a b

3 Khoảng cách

Khoảng cách từ điểm M0( ;x y0 0) đến một đường thẳng: axby  là.c 0

( , ) ax by c

d M

 



4 Góc giữa hai đường thẳng

1:a x1 b y1  c1 0 (có VTPT n1 ( ; )a b1 1 )

2:a x2 b y2 c2 0(có VTPTn2 ( ;a b2 2))

( , )

180 ( , ) ( , ) 90

n n khi n n



   



cos( , )

a b a b



  

Chú ý:

  1   2  a a1 2b b1 2 0.

 Cho  1 : yk x1 m1,  2 : y k x2 m2

thì:  1// 2  k 1 = k 2

 1 2  k 1 k 2 = –1