CHUYÊN đề 3 hệ PHƯƠNG TRÌNH

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không:... Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nha

Trang 1

BẬC NHẤT HAI ẨN - HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phương trình bậc nhất hai ẩn

* Nhắc lại về phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng : ax + b = 0 (a ≠ 0)

có nghiệm duy nhất x = b

a



Ví dụ : Phương trình 2x + 3 = 0 có nghiệm duy nhất x = 3 1,5

2

  

;

* Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn:

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng: ax + by = c (1) trong đó a,b và

c là các số đã biết, (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)

Ví dụ: Các phương trình 3x - 2y = 2, x + 5y = 0, 0x + 4y = 3, x + 0y = 10 là những

phương trình bậc nhất hai ẩn

* Phương trình (1) có nghiệm là cặp số (x0 ; y0) thỏa mãn ax0 + by0 = c

Ví dụ: Cặp số (3 ; 5) là một nghiệm của phương trình 2x – y = 1 vì 2.3 – 5 = 1

* Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ (x0;y0)

2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’ khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: (I) ax + by = c

a'x + b'y = c'







Ví dụ 1: 2x + y = 3

3x + y = 1





2y = 3 2x +4 y = 1





2x + y = 0 3x = 1





 là các hệ phương trình bậc nhất

2 ẩn

+) Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm chung (x0;y0) thì (x0;y0) là một nghiệm của

hệ (I)

Ví dụ 2: 2 4

1

 



  

 có một cặp nghiệm (1;2);

TIẾT 26: KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Trang 2

+) Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm

Ví dụ: 3 2 1



   

+ Cho hệ phương trình ax

by c

a x b y c

 





Hệ vô số nghiệm khi

' ' '

a b c Nghiệm tổng quát là ax

x R c y b













 hoặc

c by x

a

y R



 





 



Hệ vô nghiệm khi

' ' '

a b c

Hệ có nghiệm duy nhất khi

' '

a b

a  b

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình

tương ứng hay không:

a) (-4 ; 5)



















53 9

2

53 5

7

y x

b) (3 ; 11)

















3 2

2

y x

Bài 2: Hãy xác định các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ và cho biết số nghiệm của mỗi hệ

phương trình sau

a) 2 3 1

x y

 



  

x y

y x

  



  

x y y







x y

y x

  



  



Bài 3: Cho hệ phương trình: ( 1) 3 4

m x y

x y



  



Với giá trị nào của m hệ đã cho có nghiệm duy nhất?

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình

tương ứng hay không:

Trang 3

*) Quy tắc thế:

- Quy tắc: Sgk trang 13

Dạng 1: Hệ phương trình chỉ có một nghiệm

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:  I  

 

3 2 1

2 5 1 2

x y





Giải Bước 1: Từ phương trình (1) biểu diễn x theo y, ta có x = 3y + 2  *)

Thế phương trình  * vào phương trình (2), ta được :

-2 (3y + 2) + 5y = 1  1 '

Bước 2: Dùng phương trình  1 ' thay thế cho pt  2

Và dùng phương trình  * thay thế cho phương trình  1 , ta được hệ mới:

















1 5 2 3

2

2 3

y y

y

x

Giải hệ phương trình  I

 I      





1 5 2 3 2

2 3

y y

y x

















5

2 3

y

y x

















5

13

y x

Vậy hệ  I có nghiệm duy nhất (x;y) =  13 ;  5

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: II















4 2

3 2

y x

Giải: Ta có:







4 3 2 2

3 2

x x

x y

















4 6 5

3 2

x

x y















2

3 2

x

x y











1

2

y x

Vậy hệ  II có nghiệm duy nhất (x;y) =  2 ; 1

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: (III) 3

x y

 



  



Giải: Ta có:

III

 

            



Vậy hệ (III) có nghiệm duy nhất (x;y) = (10;7)

TIẾT 27 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Trang 4

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:  IV 3 2 11

x y

 



  



Giải:

Nhận xét: Ta phải chia cả hai vế của một trong hai phương trình trên cho hệ số của x hoặc y

Ta có:  

7

x IV

y

x y



        



Vậy hệ (IV) có nghiệm duy nhất (x;y) = (7;5)

Bài 1:Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) 4 5 3

x y

 



  

 b)

5 0

5 3 1 5

x y







Bài 2: Tìm a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5:3), B 3; 1

2

  

Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

x y

 



  

x y

 



   



Bài 2: Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình

5

x by

bx ay

  



   



có nghiệm là (1;-2)

Nguyễn Văn Lực

Toán Tuyển Sinh

www.toantuyensinh.com

Trang 5

*) Quy tắc thế:

- Quy tắc: Sgk/13

Dạng 2: Hệ phương trình có vô số nghiệm

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:  I 4 2 6

x y

  



  



Giải: Ta có:

0 0

2 3

I

x

y x

x R

y x













Vậy hệ phương trình (I) có vô số nghiệm

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:  II 4 5 20

x y

 





Giải: Ta có

0,8 4 0,8 4

0 0

0,8 4 0,8 4

II



Vậy hệ phương trình (II) có vô số nghiệm

Dạng 3: Hệ phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:   4 2

x y III

x y

 



  



Giải: Ta có:

III

Không có x thoả mãn phương trình  *

Vậy hệ phương trình (III) vô nghiệm

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:   4 5 20

x y IV

 





Giải:

Nhận xét : Ta chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho hệ số của x hoặc của y

TIẾT 28: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Trang 6

 

4

5 5

4

5

x y

IV

x

Không có x thoả mãn phương trình  *

Vậy hệ phương trình (IV) vô nghiệm

Bài 1:Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a)

3 1

5 3

2

x y

 







 

 b)

x y

 



  



Bài 2: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d 1): 5x -2y = 3, (d2): x + y = m cắt nhau tại một điểm trên trục tung

Bài 1: Giải hệ phương trình: 2 3 5

x y

 



  

Bài 2: Giải hệ phương trình  2 

3 1

1 6 2

x y



a) a = -1 b) a = 0 c) a = 1

Trang 7

- Quy tắc cộng đại số: (SGK – Tr 16)

*Dạng 1: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình bằng nhau

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 4 7 16

x y

 



   



Nhận xét: Hệ số của ẩn x bằng nhau, trừ vế với vế hai phương trình ta được:

10 40 (1)

4 7 16 (2)

y

x y





  

 Giải phương trình (1) ta được y = 4 Thay y = 4 vào phương

trình (2) ta được 4x + 7.4 = 16  x = - 3

Ta trình bày lời giải như sau:

x y

 



   

4 7 16 (2)

y

x y





  



     

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-3; 4)

*Dạng 2 Hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình đối nhau

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 3 3

x y

 



  



Nhận xét: Hệ số của ẩn y đối nhau, cộng vế với vế hai phương trình ta được:

5 10 (1)

x

x y





  

Giải phương trình (1) ta được x = 2 thay x = 2 vào phương trình (2) ta được

2.2 –y = 7  y = -3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -3)

Bài 1

a,Giải hệ phương trình (I) 2 5 8 (1)

2 3 0 (2)

x y

 



  



Trừ vế với vế của pt (1) cho pt (2) ta được:

(I)

1

3

2 3 0 2 3.1 0

2

y





TIẾT 29: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

CỘNG ĐẠI SỐ

Trang 8

V ậy (3;1)

2 là nghiệm của hệ phương trình

b Giải hệ phương trình sau: 2 5 2 (1)

x y

 



   

Cộng vế với vế của pt (1) và pt (2) ta được:

0x 0y  3 phương trình vô nghiệm

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Bài 2 Giải hệ phương trình sau

10 11 31

x y

  





Vậy nghiệm của hệ là (2;1)

Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

a) 2 5 8

x y

 



  

x y

 



  

x y

 



   



Bài 2:

a) 6 21 6

x y

   



  

x y

 



  

x y

 



  



Trang 9

* Dạng 3: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau hoặc không đối nhau nhưng có một hệ số là bội của hệ số kia của cùng một ẩn

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 4 3 6(1)

x y

 



  



Nhận xét: Hệ số của ẩn x ở phương trình (1) là bội của hệ số của ẩn x của

phương trình (2) Ta nhân hai vế của PT (2) với 2, ta được 4x + 2y =8

Ta được hệ 4 3 6

x y

 



  

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; -2)

* Dạng 4 Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau hoặc không đối nhau và không là bội của nhau

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải: Nhân PT (1) với 4, nhân PT (2) với 3 để hệ số của ẩn x trong hai phương trình của hệ bằng nhau (Dạng 1)

x y

 



  



Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (7; 5)

Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng:

x y

  





   



              

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (-1 ; 0)

b 2 7 2 (1)

6 11 26 (2)

x y

 





  





Bài 2: Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm A và B Biết

A(2; -2) và B(-1; 3)

Giải

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; -2) nên toạ độ điểm A thoả mãn y = ax + b:

TIẾT 30: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

CỘNG ĐẠI SỐ

Trang 10

Ta có 2a + b = -2 (1)

Đồ thị hàm số đi qua điểm B(-1; 3) nên toạ độ điểm B thoả mãn y = ax + b:

Ta c ó –a + b = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

5

3

a

a b

b



 



  

   



Vậy với 5

3

a 

3

b thi đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2; -2) và B(-1; 3)

Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

a) 1,3 4, 2 12

0,5 2,5 5,5



x y

 



  



Bài 2 : Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = (2m-5)x – 5m đi qua giao điểm của

hai đường thẳng (d1): 2x + 3y = 7 và (d2): 3x + 2y = 13

Trang 11

1 Sử dụng máy tính FX 220A - FX 500A

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số (theo chương trình gài sẵn trên

máy tính bỏ túi), trước hết ta phải viết hệ đó dưới dạng tổng quát: 1 1 1

a x b y c

 





Sau đó ấn MODE 2 để chuẩn bị đưa các hệ số của hệ phương trình vào máy Khi đó

màn hình xuất hiện chữ SIMUL ở góc dưới bên phải, chữ a1và dấu ? ở bên phải

Các hệ số đưa vào máy cũng phải có dạng chính tắc (tổng quát) đã nêu ở trên; màn

hình sẽ lần lượt xuất hiện chữ ký hiệu hệ số tương ứng

Nếu hệ phương trình cần giải có nghiệm duy nhất thì sau khi đưa đủ các hệ số vào

máy, màn hình hiện giá trị đúng (hoặc gần đúng) của ẩn x Sau khi ấn DATA, Màn

hình sẽ xuất hiện ẩn y Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì màn hình xuất

hiện chữ -E- Xóa ký hiệu đó bằng cách ấn AC

Chuyển sang giải hệ phương trình khác bằng cách ấn SHIFT SAC

Thoát khỏi chương trình giải hệ PT bậc nhất hai ẩn bằng cách ấn MODE O

2 Sử dụng máy tính FX 500MS - FX 570MS

Cách sử dụng như với các loại máy tính trên chỉ khác thao tác mở giao diện màn

hình để làm việc, và tắt máy (thoát khỏi chương trình)

* Ấn MODE MODE 1 2 để mở nếu là máy tính FX500MS

* Ấn MODE MODE MODE 1 2 để mở nếu là máy tính FX5700MS

* Tắt máy (thoát khỏi màn hình làm việc với giải hệ phương trình) ấn MODE 2

Giải các hệ phương trình sau:

Bài 1 (bài 38- SBT toán 9 tập II) 3 2 23

x y

 



  

Ấn MODE 2 3 DATA 2 DATA 23 DATA 3 +/- DATA 5 DATA 26

DATA Kết quả : x = 3

DATA Kết quả : y = 7

Bài 2 (bài 13 a trang15/ SGK toán 9 tập II) 3 2 11

x y

 



  



Ấn MODE 2 3 DATA 2 +/- DATA 11 DATA 4 DATA 5 +/- DATA 3 DATA Kết quả : x = 7

DATA Kết quả : y = 5

TIẾT 31: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ

BẰNG CHƯƠNG TRÌNH GÀI SẴN TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI CASIO

Trang 12

Bài 3 (bài 24 SGK toán 9 tập II trang 19) 2( ) 3( ) 4

x y x y



    



Trước hết phải đưa hệ PT về dạng hệ PT bậc nhất hai ẩn tổng quát (hệ II)

   

( )

II



Sau đó sử dụng máy tính để tính nghiệm của hệ PT

Ấn MODE 2 5 DATA 1 +/- DATA 4 DATA 3 DATA 1 +/- DATA 5

DATA Kết quả : x = - 0,5 DATA Kết quả : y = - 6,5

Bài 4 (bài 20 SBT toán 9 tập II)

3 4 5

2 3 2 1





Trước hết phải đưa hệ PT về dạng hệ PT bậc nhất hai ẩn tổng quát (hệ III)

( )

III



Sau đó sử dụng máy tính để tính nghiệm của hệ PT

Ấn MODE 2 2 DATA 1 +/- DATA 5 DATA 1 +/- DATA 1 DATA 2 +/-

DATA Kết quả : x = 3 DATA Kết quả : y = 1

Bài 5: (Bài 40 ý a SGK toán 9 tập II trang 27)

2 5 2 2

1 5

x y







 



Ấn MODE 2 2 DATA 5 DATA 2 DATA 2 ab/c 5 DATA 1 DATA 1

DATA Kết quả : -E-

(Hệ PT trên vô nghiệm )

Bài 1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số sau đó sử dụng máy

Trang 13

Vận dụng các quy tắc đã học (quy tắc cộng, quy tắc thế) để giải hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn

* Lưu ý: Có sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

x 2y 4

a (I)

2x 5y 1



7x 5y 3

b (II)

4x y 2





Giải

a Biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất, ta có:

(I)





Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (-2; 1)

b Biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai, ta có:

 

x 1

(II)

y 4 1 2

 



  

Vậy hệ (II) có nghiệm duy nhất (-1; -2)

2x 7y 8

a (III)

2x 3y 12



2x 2y 6





a Trừ từng vế hai phương trình trong hệ (III), ta được

(III)

2x 7y 8 2x 7.2 8 2x 6 y 2

Vậy hệ (III) có nghiệm duy nhất (-3; 2)

b Trừ từng vế hai phương trình trong hệ (IV), ta được

3 2 2y 4

 



Vậy hệ (IV) có nghiệm duy nhất (-2; 1)

TIẾT 32: BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC

NHẤT HAI ẨN

Trang 14

a V

5x 11y 14



4x 3y 24





a Cộng từng vế hai phương trình trong hệ (V), ta được

2x 11y 7 2.1 11y 7 11y 9 y

11





Vậy hệ (V) có nghiệm duy nhất 1; 9

11

b Cộng từng vế hai phương trình trong hệ (VI), ta được

4x 7y 16 4x 7.4 16 4x 12 y 4

Vậy hệ (VI) có nghiệm duy nhất (-3; 4)

 

8x 7y 5 1

a VII

4x 6y 7 2





 

3x 5y 24 3

b VIII

4x 2y 6 4







a Hệ số của ẩn x trong phương trình (1) là bội của hệ số cùng ẩn x trong phương trình (2) nên ta nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2, ta được

4x 6 1 7 8x 12y 14 4x 6y 7

y 1



 



   

Vậy hệ (VII) có nghiệm duy nhất 1; 1

4

  

b Nhân hai vế phương trình (3) với 4, nhân hai vế của phương trình (4) với 3, ta được

VIII

12x 6y 18 4x 2y 6 4x 2.3 6 y 3

Trang 15

Bài 2: a 3x 5y 4

3x 6y 8





5x 2y 8

x y 3







Bài 3: a 3x 5y 34

4x 5y 13



3x 2y 22 b

3x 5y 13





Bài 4: a 2x 6y 7

10x 7y 39



4x y 5 b

3x 2y 12

  





Trang 16

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, thế, và phương pháp đặt ẩn phụ

Giải các hệ phương trình sau:

a)

1 1

3

1 2

3

x y

  





   



b)

1 2

1

1 1

3 1

4

1 1







c)

2 1

3

1 1

1 3

1

1 1







BÀI GIẢI

a)

1 1

3

1 2

3

x y

  





   



(I) Đặt

1

u x v y

 





 



(1)

Thay (2) vào (1) ta được:

1

1 1

x x

y y

   

 



  



Thử lại: Dùng máy tính bỏ túi thử lại nghiệm của hệ PT ( HS thử )

1 2

1

TIẾT 33: BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT HAI ẨN

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	833,19 KB