CHUYÊN ĐỀ 03 HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế  Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn  Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số  Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau  áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)  Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

CHUYÊN ĐỀ III HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp:

1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ' ' '

• Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có

 (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm

 (d) ∩(d’) = { }A

thì hệ có nghiệm duy nhất

 (d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm

• Hệ phương trình tương đương

Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

 Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó cómột phương trình một ẩn

 Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ

3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

 Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào

đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau

 áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ sốcủa một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)

 Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y; = 2;1

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

5 2

19

3 53

1

842

y x

y x

53

= +

10 4

5

5 3 2

y x

y x

22

62

y x

y x

22

62

y x

y x

Bài 4 Giải các hệ phương trình sau:

1 



=

−+

=

−+

xy y

x

xy y

x

4)5)(

5

4

(

6)32

−

=

−+

;12

5

45

xy y

x

xy y

=

−++

5)(2)(

4)(3)(2

y x y x

y x y x

4 



−+

=

−+

+

−

=+

−

12)1(3)33

)(

1

(

54)3(4)42

x

y x y

−

+

=+

−

7

563

1

24

275

3

52

x y y x

x y

x y

32)2)(

2(

1)3)(

xy

xy y

x

7 



=+

−

=

−+

xy y

x

xy y

x

)1)(

10(

)1)(

20(

8

( )( ) ( )( )

=

−+

63

4

22

xy y

x

xy y

−

=

−+

−

−

−

18531

3

4312

1

y x y

x

y x y

−

−+

=

−

−

144

5

312

1

y x y

x

y x y

=

−+

−

2 2

2 2

2 2

13

11

21

y x y

x

y x

y x

−

=

−

155

1223

283

27

9

y x

y x

12

29

3 x y x

15

2x y x y

4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:

2828

2121

1

2128

Giải các hệ phương trình sau:

Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:

1 1

1 2

3

x

x y x y x

11)

2 2

2 2

15 93

+

=+

+

+

12

32

4

32

12

2

x y y

x

x y y

−

+

=+

−

+

94

5

1

2

44

+

−

=+

−

−

132

15

3

8

632

53

13

3

81

23

5

y x y

x

y x y

−

=+

−

−

1525

1

2

223

1

y x

y x

+

=+

−

+

413

2

212

3

y x

y x

+

=+

−

+

31133

5

2193

4

y x

y x

+

−

= +

−

−

6

13 6

3 7

5

3

5 6

4 7

7

y x

y x

32

20

12

12

4

y x y x

y x y x

+

−

=+

−

132

1538

632

5312

y x

y x

;3311

5

3913

72

2

y x

y x

;52

102

2 2

2 2

y x

y x

=

−

75

33

62

3

3 2

3 2

y x

y x

15

( ) ( )







=+

15

73

12

3 2

3 2

y x

y x

=+

−

053

01

y x

y x

17 



=+

=+

−

−

;83

022

y x

y x xy

−

32

124

2

2

y x y

x

y x y

22

15

532

42

5

y x y x

y x y x

+

−

=+

+

114

83

127

114

53

1210

y x

y x

=

+

;198

1316

2 2

2 2

y x

y x

127100

2 2

2 2

x y

y x

113

2

162

3

y x

y x

=+

103

184

y x

y x

−

−

=++

−

712)2(3

01)

2(2

2

2

y x

x

y x x

+

−

=+

−

−

13445

4842

72315

2

x y x

1

101

11

62

3

13

2 2

2 2

y x

y x

20

( ) ( )







=++

=

−+

7533

623

3 2

3 2

y x

y x

29 



=+

−

=++

−

31

221

y x

y x

30 



=+

−+

=

−++

0441

511

y x

y x

Bài 5 Giải các hệ phương trình sau

32 2x y 2x y

5 MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 2) và B (0; 1).

Giải: Gọi phương trình đường thẳng là ( )d :y ax b= + .

Vì đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên ta có:

Thay a = 1 và b = 1 vào phương trình đường thẳng d ta có ( )d :y x= +1

Bài 1 Xác định a, b để đường thẳng ( )d :y ax b= + đi qua hai điểm:

Bài 7 Cho ba điểm: A( ) (2;1 ,B − −1; 2 ,) (C 0; 1− )

a Viết phương trình đường thẳng AB

B GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ

I GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp: - Từ một phương trìn của hệ tìm y theo x, rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình

bậc nhất đối với x

- Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax b= (1)

- Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

+ Nếu a = 0 thì (1) trở thành 0x b= .

• Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

• Nếu b # 0 thì hệ vô nghiệm

12

Từ ( )1 ⇒ =y mx−2m, thay vào (2) ta được: ( ) ( 2 ) ( ) ( )

4x m mx− −2m = + ⇔m 6 m −4 x= 2m+3 m−2

( )3+ Nếu m2− ≠ ⇔ ≠ ±4 0 m 2 thì

m

= −+

- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm x R∀ ∈

- Nếu m = - 2 thì hệ vô nghiệm

11

Bài 2 Giải và biện luận hệ phương trình sau:

Dạng 1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Phương pháp: - Giải hệ phương trình theo tham số

2 22

x m

m

m x

c Tìm biểu thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

Bài 5 Cho hệ phương trình:

( ) ( )

a Tìm biểu thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

b Giải và biện luận hệ theo m

c Trong trường hợp hê có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thỏa mãn: 2x2−7y=1

d Tìm giá trị của m để biểu thức

2x 3y

x y

−+ nhận giá trị nguyên.

Bài 6 Tìm giá trị của m và p để hệ phương trình:

72

a Có một nghiệm duy nhất b Có vô số nghiệm c Vô nghiệm

Bài 7 Cho hệ phương trình: ( ) ( ) ( )

Bài 8 Cho hệ phương trình:

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: (2m−1) (x+ m+1)y m= .

Bài 9 Cho hệ phương trình:

 .Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên.

Bài 10 Cho hệ phương trình:

 Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên.

Bài 11 Cho hệ phương trình:

43

b Tìm m, n để phương trình có vô số nghiệm

Bài 12 Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: 2

 vô nghiệm, vô số nghiệm.

Bài 14 Cho hệ phương trình:

( ) ( )

a Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x y+ = −1

b Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Bài 15 Cho hệ phương trình:

2 2

c Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Bài 19 Cho hệ phương trình:

a Giải hệ phương trình khi k=5

b Gọi nghiệm của hệ phương trình là ( )x y;

a Giải hệ phương trình khi m = - 3

b Tìm m để hệ phương trình có nghiênh duy nhất ( )x y;

thỏa mãn điều kiện x y+ 2 =1

Bài 22 Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

a Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

b Giải và biện luận hệ theo m

c Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, tìm giá trị của m thỏa mãn: 2x2−7y=1

Bài 26 Cho hệ phương trình:

a Cmr hệ luôn có nghiệm duy nhất

b Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

Bài 27 Cho hệ phương trình:

2 2

Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

Bài 28 Cho hệ phương trình:

21

luôn nằm trên một đường thẳng cố định (với x, y là nghiệm của hệ phương trình)

Bài 29 Cho hai hệ phương trình: ( ):

4

x y a I

a Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phương trình trên tương đương

b Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phương trình trên không tương đương

Bài 30 Cho hệ phương trình:

Bài 33 Cho phương trình

21

ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:

=

−

53

1

y x

y x

3 



=+

=+

12

2

y x

y x

02

y x

y x

=

−32

052

y x

y x

=+

13

14

0

y x

y x

8 



=+

−

=+

0

24

y x

y x

=

−

−+

4)6(3)1(2

1)6(3)1(

y x

y x

11 



=+

−+

=

−

−+

232

1)3(3)2(3

y x

y x

−

=+

−

−

322

122

3

y x

y x

=+

−

0332

0331

y x

y x

1

2

14

1

3

y x

y x

411

y x

y x

=

−

52

32

13

2

y x

y x

12

1

11

32

12

66

14

y y x

y y x

Bài 2 Cho hệ phương trình:

a. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm

b. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phương trình

c. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 3 Với giá trị nào của m thì hệ phương trình:

41

Bài 4 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình:

Bài 7 Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số ( )d :y ax b= + đi qua điểm A(- 5; - 3) và điểm B(3; 1).

Bài 8 Tìm các giá trị của m để

 có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0.

Bài 9 Cho hệ phương trình

21

Bài 11 Cho hệ phương trình

a Giải và biện luận hệ phương trình

b Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0

Bài 13 Tìm a và b để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).

Bài 16 Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2

Giải và biện luận hệ phương trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhất

Bài 18 Cho hệ phương trình:

a. Giải và biện luận theo tham số m

b. Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên

Bài 19 Cho hệ phương trình:

a. Giải và biện luận theo m

b. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương

Bài 20 Cho hệ phương trình:

Bài 21 Cho hệ phương trình: 2

2(3 2x) 2x

71

ÔN TẬP Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:



a Giải hệ phương trình khi a= − 2

b Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x y+ >0

Bài 7 Cho hệ phương trình

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm

b) Tìm các giá trị m nguyên để hệ có nghiêm duy nhất (x; y) với x, y là số nguyên

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc m

3x y− = −m





b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệmcủa hệ phương trình

c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 10 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình:

Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó

Bài 11 Cho hai đường thẳng (d1): 2x - 3y = 8 và (d2): 7x - 5y = -5

Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2)

Bài 12 Cho ba đường thẳng (d1): y = 2x - 5 (d2): y = 1 (d3): y = (2m - 3)x - 1

Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng đồng quy

Bài 13 Cho hệ phương trình:

Bài 14 Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(- 5; - 3) và điểm B (3; 1)

Bài 15 Tìm các giá trị của m để

 có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0

Bài 16 Cho hệ phương trình:

21

Bài 18 Cho hệ phương trình:

Bài 19 Cho hệ phương trình: 2

a Giải và biện luận hệ phương trình

b Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình thỏa mãnđiều kiện x > 0, y < 0

Bài 20 Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 6

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).

Bài 21 Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2

Giải và biện luận hệ phương trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật

Bài 23 Cho hệ phương trình:

c. Giải và biện luận theo tham số m

d. Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên

Bài 24 Cho hệ phương trình:

c. Giải và biện luận theo m

d. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương

Bài 25 Cho hệ phương trình:

Bài 26 Cho hệ phương trình: 2

Bài 27 Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m:

b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0

c. Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên

Bài 29 Cho hệ phương trình:

a. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đường thẳng

cố định khi m thay đổi

b. Xác định m để M thuộc góc vuông phần tư thứ nhất

c. Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5

Bài 31 Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình:

a. Giải và biện luận theo m

b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên

c. Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đường thẳng

 Tìm giá trị của biểu thức: M = x2 + y2

Bài 35 Cho hệ phương trình:

a. Giải hệ phương trình với a = 2 b Giải và biện luận hệ phương trình

c Tìm giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

d Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất

Bài 36 Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm:

a. Giải hệ phương trình trên

b. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y < 0

Bài 38 Cho hệ phương trình:

b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên

c. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất

Bài 39 Cho hệ phương trình:

ax y

bx ay

ìï + =ïí

Bài 42 a Cho hệ phương trình

2 186

mx y

x y

ìï + =ïí

-ï - =

Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất ( )x y;

thỏa mãn x2- 2y2= - 4.

ï - =

Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất ( )x y;

thỏa mãn x2+y2 nhỏ nhất.

BÀI TẬP QUA CÁC KÌ THI

Giải các hệ phương trình sau:

1)

3 2

82

2

2

y x

y x



12)

( ) ( )

 + − + =



+ − + =

6 2

12

12

2

x

x y x