CHUYÊN đề 03 hệ PHƯƠNG TRÌNH phần 1

CHUYÊN ĐỀ III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNA. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHPhương pháp:1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn•Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: trong đó a, b, c, a’, b’, c’ R•Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩnGọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có(d) (d’) thì hệ vô nghiệm(d) (d’) = thì hệ có nghiệm duy nhất(d) (d’) thì hệ có vô số nghiệm•Hệ phương trình tương đươngHệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

CHUYÊN ĐỀ III HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp:

1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ' ' '

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có

(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm  (d’) thì hệ có vô số nghiệm

Hệ phương trình tương đương

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có

một phương trình một ẩn

Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ

3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn

nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau

áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ

số của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)

Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y ;  2;1

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

0

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

15 93

x y

x y

x y

103

y y

y

x

S y

y x

5 3

50 457

6) hpt 2

834

Vậy hpt có nghiệm duy nhất

Vậy hpt có nghiệm duy nhất x y ,  16; 7 

4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:

2828

2121

1 11

2128

Giải các hệ phương trình sau:

Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:

1 1

1 2

2 2

1) ĐK ,x y 0 Đặt

3

21

22

15 93

( 1)( 2) ( 1)( 3) 4

( 3)( 1) ( 3)( 5) 18 ( 2x 2) (xy 3x 3) 4 ( x 3 3) (xy 5x 3 15) 18

3 3 5x 3 15 18

2 1 6x 36 6 7 2

31x 3 47516

x y x

y y y x

y

5

15 93

x

x y f

y y

§Æt hÖ ph ¬ng tr×nh trë thµnh

12

§Æt hÖ ph ¬ng tr×nh trë thµnh

1

113

y y

§Æt hÖ ph ¬ng tr×nh trë thµnh

13

1(TM)3

b y

x x

y y

§Æt hÖ ph ¬ng tr×nh trë thµnh

11

6

6 8 062442

xy x y 1 10(x y)(xy 1) 25

a =x y

§Æt hÖ ph ¬ng tr×nh trë thµnh:

b xy

a b 9

a(b 1) 25

b 9 a

a(9 a 1) 25

b 9 a

a(10 a) 25

b 9 a

a 10a 25 0

78a

2 2

2b 97b 6084 0

ab

b 36169

78a

§Æt hÖ ph ¬ng tr×nh trë thµnh1

1(TM)Suy ra

x x

y y

y y

y b y

x

x x

;

25 { 3 √ x+2 √ y=16 ¿¿¿¿

{ | x|+4|y|=18 ¿¿¿¿

3

√y +6=

136

8 { √x−77 −

4

√y+ 6=

535

√x−7+

3

√y +6=

136

1

666

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y  ;  1 2; 1 

x y

51

2

8 3

2

x x

y x

53

52

21

3212

TH2: y<−2 ta có pt:

−y−2− y=−1 ⇔−2 y=1⇔ y=−1

2 thay vào (1) ta được:

2 [⇔ ¿

[ x= 9

2 [ x= −5

2 [ ¿

39

6

x y

2

x y

1 1

22

y y

y y

y y

y y

va y

5 MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 2) và B (0; 1).

Giải: Gọi phương trình đường thẳng là  d :y ax b 

a) Gọi phương trình đường thẳng là (d): y=ax +b

Vì (d) đi qua A(-1;

32

Hệ phương trình vô nghiệm.

Không có phương trình đường thẳng đi qua A1;3

a Viết phương trình đường thẳng AB.

Vậy phương trình đường thẳng AB là y x  1

b) Do tọa độ điểm C thỏa mãn phương trình đường thẳng AB nên điểm C thuộc đường thẳng AB.

x y

325

x y

1671

x y

Vậy khi m thay đổi đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định M1; 671 

Bài 10 Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng tọa

B GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ

I GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp: - Từ một phương trìn của hệ tìm y theo x, rồi thế vào phương trình thứ hai để được

phương trình bậc nhất đối với x

- Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax b (1)

- Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

+ Nếu a = 0 thì (1) trở thành 0x b

Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

Nếu b # 0 thì hệ vô nghiệm

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm x R 

- Nếu m = - 2 thì hệ vô nghiệm

 phương trình (1) vô nghiệm

 Hệ phương trình (I) vô nghiệm

Với m1, hệ phương trình (I) vô nghiệm

Với m1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

 phương trình (2)vô nghiệm

 Hệ phương trình (II) vô nghiệm

Với m2, hệ phương trình (II) vô nghiệm

Với m2, hệ phương trình (II) có nghiệm duy nhất

Với m2, hệ phương trình có nghiệm duy nhất m 2;1 

Bài 2 Giải và biện luận hệ phương trình sau:

 Hệ phương trình (I) vô nghiệm

Với m2, hệ phương trình (I) vô nghiệm

Với m2, hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất

2

12

 phương trình (1) vô nghiệm

 Hệ phương trình (I) vô nghiệm

*TH2

Với m1, hệ phương trình (I) vô nghiệm

Với m1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

 phương trình (1) vô nghiệm

 Hệ phương trình (I)vô nghiệm

*TH2

2 m 2 m 0 2 m0 m2

Với m2, hệ phương trình (I) vô nghiệm

Với m2, hệ phương trình (I)có nghiệm duy nhất

 phương trình (2)vô nghiệm

 Hệ phương trình (II) vô nghiệm

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Với m1, hệ phương trình vô nghiệm

Với m1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Dạng 1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Phương pháp: - Giải hệ phương trình theo tham số

- Viết x, y của hệ về dạng:  

k n

2 22

m m x

11

10

0

1

m m

m m

Bài 3 Cho hệ phương trình:

Với m  ta có (2)1  0x 2 1 0x Vậy (2) vô nghiệm vậy hệ đã cho vô nghiệm.1

Với m  ta có (2)1  0x  2 ( 1) 0x Vậy (2) vô nghiệm vậy hệ đã cho vô nghiệm.3

Với m  ta có 1 2

2(2)

1

m x

m m





 

 thì hệ đã cho vô nghiệm

Với m  thì hệ có nghiệm duy nhất 1 2 2

Vậy m  thì hệ phương trình có nghiệm 0 x y;  thỏa mãn x y 1

y m

y y x x x y x y x

Bài 5 Cho hệ phương trình:

a Tìm biểu thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

b Giải và biện luận hệ theo m

c Trong trường hợp hê có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thỏa mãn:

x y

m

x y x y x

Với m  thì (2)0  0x Vậy (2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm2

Với m  thì (2)2  0x Vậy (2) có vô số nghiệm nên hệ có vô số nghiệm ( ; )0 x y thỏa mãn

; 2

x R y   x

Với m  thì hệ vô nghiệm0

Với m  thì hệ có vô số nghiệm ( ; )2 x y thỏa mãn x R y ;  2 x

Số nghiệm của hệ phương trình phụ thuộc và số nghiệm của phương trình  2

a Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y; 

thỏa mãn yêu cầu bài ra thì , , m x y phải là nghiệm

Bài 8 Cho hệ phương trình:

thì hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên

Bài 11 Cho hệ phương trình:

43

KL: Vậy để hệ pt đã cho có vô số nghiệm thì: m  3

Bài 13 Tìm giá trị của m để hệ phương trình: 3  2 

1 0

m m m

Suy ra không có m để hệ pt có vô số nghiệm

Bài 14 Cho hệ phương trình:

a Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x y 1

b Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Vậy m = - 41 tm yêu cầu bài toán.

b Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Theo câu a với

75

m m

x m y m

tại

52

Bài 16 bỏ vì sai đề HPT vô nghiệm!

Bài 17 Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình:

Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất  phương trình (2) có nghiệm có nghiệm duy nhất

m y m

m y m

TH2: m21 0  m  PT có nghiệm duy nhất  HPT (I) có nghiệm duy nhất1

Vậy: +) m1 thì HPT (I) vô nghiệm

+) m1 thì HPT (I) có nghiệm duy nhất 2 2

Vậy m 0 thì hệ phương trình có nghiệm x y;  thỏa mãn x y  1

Bài 19 Cho hệ phương trình:

27 9

m

 

⇔ m  30

 m

Bài 20 Cho hệ phương trình:

21

a Giải hệ phương trình khi k 5

b Gọi nghiệm của hệ phương trình là x y; 

Tìm số tự nhiên k để x y 1

HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Giải hệ phương trình:

k y k

x 

và

326

a Giải hệ phương trình khi m = - 3

b Tìm m để hệ phương trình có nghiênh duy nhất x y; 

thỏa mãn điều kiện x y 2 1

m y m m x m

1

11

( 1) ( 1)

1( 1)

a Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

b Giải và biện luận hệ theo m

c Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, tìm giá trị của m thỏa mãn:

x m y

Với m  thì 2 pt(1) 0.x0(TMx)nên hệ phương trình có vô số nghiệm ( , ) Rx y 

c) Với m2 2m 0 m0;2

m KTM m

a Cmr hệ luôn có nghiệm duy nhất

b Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

Vì 2m   với 2 1 0 mnên pt (*) luôn có một nghiệm duy nhất

 Hệ phương trình I luôn có một nghiệm duy nhất (đpcm)

2

y m

x



Từ pt

4(2)

3

x m

Vậy hệ thức liên hệ giữa ,x y không phụ thuộc vào m là: 2x29y215y 8x0

Bài 27 Cho hệ phương trình:

2 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

2 2

Vì 2x y 2m 2m   không phụ thuộc vào m1 1

Nên ta viết được hệ thức liên hệ giữa ,x ykhông phụ thuộc vào m là: 2x y 1

Bài 28 Cho hệ phương trình:

21

Mà x y  không phụ thuộc vào 1 mnên x y; 

luôn nằm trên một đường thẳng cố địnhy x 1

Bài 29 Cho hai hệ phương trình:

 :

4

x y a I

a Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phương trình trên tương đương

b Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phương trình trên không tương đương

HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Thay a 2 vào hpt  I

ta có:

24

Vậy với a 2 hai hệ pt  I

không tương đương

Bài 30 Cho hệ phương trình:

2 2

+ Với m  thay vào phương trình 2  3 ta có: 0x  vô nghiệm (loại).12

+ Với m  hệ phương trình đã cho có nghiệm: 2

3262

x m y m

02

+ Với m  thay vào phương trình 1  3 ta có: 0x  nghiệm đúng x0   

Khi đó hệ phương trình có nghiệm nguyên: 2

+ Với m  hệ phương trình có nghiệm: 1

2 111

m x m m y m

ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:

1 { x−y=1 ¿¿¿¿ 2 { x−y=1 ¿¿¿¿ 3 { x+y=2 ¿¿¿¿ 4 { 2x−y=0 ¿¿¿¿

5 { x−2y=3 ¿¿¿¿ 6 { 2x−5y=0 ¿¿¿¿ 7 { x+y=0 ¿¿¿¿

a Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm

b Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phương trình

c Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

m m

m m

x y

x y

x y

x y

2

42

a

a a

2

a

  

Bài 7 Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số  d :y ax b 

đi qua điểm A(- 5; - 3) và điểm B(3; 1)

m m y m

+) Nếu m  Phương trình (*) trở thành 02 x  (đúng với mọi x ) Khi đó hệ có nghiệm thỏa mãn0

   m thỏa mãn yêu cầu bài toán.2

+) Nếu m  Phương trình (*) có nghiệm duy nhất 2 2

24

m x

m m

x m y m

2 0

m m m

m m

 

 

 

   2 m 1Vậy 2 m hoặc 1 m  là các giá trị phải tìm.2

Bài 9 Cho hệ phương trình

21

+) Nếu m  Phương trình (*) trở thành 01 x  (vô nghiệm)  Hệ vô nghiệm.2

+) Nếu m  Phương trình (*) trở thành 01 x  (đúng với mọi x )  Hệ có vô số nghiệm thỏa mãn0

2

x y 

Ta thấy hệ có vô số nghiệm nguyên dạng a; 2 a

với a    m thỏa mãn yêu cầu 1bài toán

+) Nếu m  Phương trình (*) có nghiệm duy nhất 1 2

11

m x

m m

x

m

m m y

x y

x y

HƯỚNG DẪN GIẢI

+) Nếu m  Phương trình (*) trở thành 00 x  (Vô nghiệm) Hệ vô nghiệm.1

+) Nếu m  Phương trình (*) có nghiệm duy nhất 0

2 2

1 m x

11

m x

m m y m

m   m (TM)4

Bài 12 Cho hệ phương trình 2

a Giải và biện luận hệ phương trình

b Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0

HƯỚNG DẪN GIẢI

a)

- Nếu m  hệ trở thành 0

0 00

 hệ có nghiệm x tùy ý thuộc R và y=0

- Nếu m  trừ các vế hai phương trình ta có (0 m 1) y m

+ Nếu m  thì 01 y 1 (vô lý) vậy hệ vô nghiệm)

+ Nếu m  thì 1

2 11

1

m x m m y m

+ Nếu m  thì hệ có vô số nghiệm 0 0

x R y

+ Nếu m0;m thì hệ có nghiệm duy nhất 1

2 11

1

m x m m y m

01

x y

Bài 13 Tìm a và b để hệ phương trình sau có nghiệmncó nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

x y

253( 1) 12 4 0

Suy ra phương trình (4) vô nghiệm

Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì

254

Dấu “=” xảy ra khi m  (TMĐK)1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P  khi 4 m 1

Bài 16 Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình:

4(3 6 4)(2 1)

4 2 2

2 2

4 2 2 2

 

     

4

2 4 2 2 2 2 2 2

a Giải và biện luận theo tham số m

b Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên

b) + Theo câu a, với m  thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất Khi đó ta tìm được nghiệm 2duy nhất là

m  có giá trị nguyên m 2 U(1) { 1} + Với m  2 1 m1 ( )tm

m  có giá trị nguyên m 2 U(1) { 1} + Với m  2 1 m1 ( )tm

a Giải và biện luận theo m

b Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương

28; 2

22; 8

+ Với m  2 1 m1 ( )tm

Với m  2 5 m3 ( )tm

+ Thay m  vào x ta được 1 x9 ( )tm

Thay m  vào x ta được 3 x1 ( )tm

Bài 20 Cho hệ phương trình:

2 2

+ Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì

2

1

1 01

m m m

x y x

HƯỚNG DẪN GIẢI

2 2 2

xy 1(x ) +xy 5

12

99

2 1 (y 1) 2 x y 0 (2)2x+1

11

y

x y

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 5;10)

Bài 5 Giải hpt:

2 2

113

125

44

u u

(TM)1

x y

Bài 6 Giải hpt:

2 4( 1)( 1)

34

x y

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( 1; 1); ( 2;0)  

y y

44

y y

2(3 2x) 2x

71

3 2

31

Vậy hpt có nghiệm duy nhất (1;1)