Bài tập toán a1 chương 1

d Chứng tỏ rằng f có đạo hàm tại 0 bằng định nghĩa và tính giá trị... Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số... Bài Tập Tích Phân Hàm Một Biến Số 1.. Dùng công thức đổi biến, tính c

x 1 1

→

+ −+ −

x 3lim

2 3

3

1 1

2

1 1

tan 3x có dạng vô định 00 khi x → π và

πg) 3arcsin x

4x có dạng vô định 00 khi x→0 và

sin 2x 2x cos 2x sin 2x 2x cos 2x

sin x 2 tan x 1 tan x sin x 2 tan x 2 tan x

sin x x cos x sin x x cos x

cos x 2 1 tan x 6 tan x 1 tan x 1

cos x cos x x sin x 2

1 cos x tan x 1 cos x sin x 1 1 1

x 3 1

15

x 2 x 3

+ +

−

−

− +

−

−

+ +

t

1lim cos x lim e e

cos x =e =e , với ln cos x

2

ln cos x cos x sin x

0cos x cos xsin x

1 sin x 3

3 sin x

t = ++ có dạng vô định 0

1 tan x sin x tan x cos x

+ +

+ +

+

+ +

p) x sin xsin x sin xx

1 cos x sin x x sin x cos x 1 cos x sin x x sin x cos x

x sin x

x cos x sin x

x sin x sin x sin x cos x x cos x sin x cos x

sin x

ln

x cos x sin x sin x sin x

1x

2 20x2x 5x

tan x sin x 1 tan x cos x

3xx

ln 5e

cos không có giới hạn khi x →0 Do vậy x 0lim f x( )

→ ′ không tồn tại Vậy f′ không liên tục tại x 0=

4. Xét hàm số f cho bởi

b) Tính giới hạn của f khi x tiến về 0; f có liên tục tại điểm 0 không ?

c) Tính f x′( ) khi x 0≠ và tính giới hạn của f′ khi x tiến về 0

d) Chứng tỏ rằng f có đạo hàm tại 0 bằng định nghĩa và tính giá trị

c) Tại x 0≠ , ta có

( )

2 x

→+∞ = +∞ khi a 1> và r 0> ĐS: Trước hết, ta chứng minh xn

x

alimx

→+∞ = +∞ bằng quy nạp theo n ∈ ` Với

trong đó f x( ) =sin x cho f 0( ) =0; f x′( )= cos x cho f 0′( )=1; f x′′( )= −sin xcho f 0′′( ) =0; f( )3 ( )x = −cos x cho f( )3 ( )0 = −1; Tổng quát

f′′ 2 = 20 2 >0 : x = 2 là điểm cực tiểu địa phương;

f′′ − 2 =20 − 2 < 0 : x = − 2 là điểm cực đại địa phương

9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Bài Tập Tích Phân Hàm Một Biến Số

1 Dùng công thức đổi biến, tính các tích phân sau

ĐS: a) Với t 5

duv

I= ∫πe cos xdx− = −e cos x− π −∫πe sin xdx 1 e− = + −π −I

Suy ra 2I 1 e= + −π và do đó 1 e

3 1

dxI

x ln x

= ∫

i) 1

2 0

dxI

+ +

1t

2 4

t t

t t

t 2

= ∫ (cũng có thể đổi biến u ln= x)

Bài Tập Tích Phân Hàm Một Biến (tt)

1. Dùng công thức đổi biến, tính các tích phân sau

5 Xác định a và b sao cho

( 1 ) ax x 1b

x x 1+ = + +Tính

3 1

dxI

dxI

x x 1

∞

= ∫

−c) I 2 dx

x ln x

= ∫

i) 1

2 0

dxI

u xác định bởi a) un = n 1+ − n ,

n

n n

+

Bài tập chuỗi số

1 Khảo sát sự hội tụ của dãy số ( )

2. Khảo sát sự hội tụ của dãy ( )u xác định bởi n

Vậy un ∈⎡⎣ 2,+∞), với mọi n ∈ `

Ta chứng minh ( )u là dãy giảm : n u1 = 2;

n 1

4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

∞

=+

∑

ĐS: a) Dùng tiêu chuẩn d’Alembert,

( )n 12 ( )

2 n

∞

=+

∑ phân kỳ

c) Dùng tiêu chuẩn so sánh Do

2

1 n

=+

2n 1

n 1 1 n

2

+ + → khi

n → ∞ nên hai chuỗi 2n 12

++

n

∑ cùng bản chất là chuỗi phân kỳ

d) Dùng tiêu chuẩn D'Alembert

n n

3 3

1

+ + → khi

n → ∞ nên hai chuỗi n 13

++

∑ là chuỗi phân kỳ