Bài giảng toán a1 chương 1 a1 2016

Tài liệu học tập[1] Đỗ Công Khanh chủ biên , Toán Cao Cấp: Giải tích hàm một biến - Lý thuyết chuỗi, NXB... Tóm tắt các giới hạn, các công thức đạo hàm, các công thức tích phân.. Tóm tắ

Ths Phạm Quốc Duy

0918227719

Duypq86@gmail.com

2016

Tài liệu học tập

[1] Đỗ Công Khanh ( chủ biên ), Toán Cao Cấp: Giải

tích hàm một biến - Lý thuyết chuỗi, NXB Đại

Nội dung

Chương 1 Hàm một biến số

1 Tóm tắt các giới hạn, các công thức đạo hàm, các công thức tích phân.

2 Chuỗi số

Chương 2 Hàm nhiều biến số

1 Các khái niệm cơ bản.

2 Tính liên tục – Đạo hàm riêng.

3 Bài toán cực trị hàm nhiều biến số.

Chương 3 Tích phân bội

1 Tích phân bội hai.

2 Tích phân bội ba.

3 Ứng dụng của tích phân bội.

Chương 4 Tích phân đường – Tích phân mặt

1 Tích phân đường loại 1.

2 Tích phân đường loại 2.

3 Tích phân mặt loại 1.

4 Tích phân mặt loại 2.

Cách thức đánh giá môn học

 1. Điểm chuyên cần: 0,1

 2. Điểm thường xuyên: 0,3

 3. Điểm thi kết thúc môn: 0,6

Điểm chuyên cần: Do cán bộ giảng dạy căn cứ vào tìnhhình có mặt trên lớp của sinh viên

Điểm thường xuyên: Bao gồm tất cả các bộ phận sau:Điểm kiểm tra thường xuyên trong quá trình học tập;điểm đánh giá nhận thức và thái độ tham gia thảo luận;điểm đánh giá phần thực hành; điểm tiểu luận…

Chương 1 Hàm một biến số1.1 Tóm tắt các công thức giới hạn, đạo hàm, tích

phân cơ bản:

1.1.1 Tóm tắt các công thức giới hạn cơ bản: Giới hạn dãy số

Chương 1 Hàm một biến số

Các giới hạn cơ bản

Chương 1 Hàm một biến số

Giới hạn hàm số

Một số tính chất

Cho c là hằng số và f(x), g(x): hàm số có giới hạn khi x  a Khi đó:

Chương 1 Hàm một biến sốGiới hạn hàm sơ cấp cơ bản

Cho n  N và hằng số a, c Nếu hàm f(x) có giới hạn tại a:

Chương 1 Hàm một biến số

Ví dụ: Tính các giới hạn

Chương 1 Hàm một biến số

Vô cùng bé

VCB tương đương

Chương 1 Hàm một biến sốCác quy tắc khi dùng VCB

Chương 1 Hàm một biến số

Có nghĩa là khi thay VCB vào tổng không bị triệt tiêu

Chương 1 Hàm một biến số

Ví dụ: Tính các giới hạn sau

Chương 1 Hàm một biến số

1.1.2 Tóm tắt các công thức đạo hàm cơ bản:

Chương 1 Hàm một biến số

 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Chương 1 Hàm một biến số

Ví dụ 1

( ) ( )

Chương 1 Hàm một biến số

Ví dụ 2

2

( ) 2 ( )

t t

 





Chương 1 Hàm một biến số1.1.3 Tóm tắt các công thức tích phân cơ bản:

Chương 1 Hàm một biến số

Sự hội tụ của chuỗi số

Cho chuỗi Với mỗi , ta đặt

1

n n

• được gọi là tổng riêng thứ và dãy các phần tử

được gọi là dãy tổng riêng phần của chuỗi số

n

S

n

 Chương 1 Hàm một biến số

• Nếu hội tụ về một giới hạn hữu hạn thì ta

nói chuỗi đã cho hội tụ Ngược lại, ta nói chuỗi phân kỳ

VD 2. Khảo sát sự hội tụ của với

1

n n

n

a a

a

a a

1

n n

a

a

a a

 Chương 1 Hàm một biến số

Vậy chuỗi hội tụ và

1

n n

a

n n

a a

 Chương 1 Hàm một biến số

VD3. Khảo sát sự hội tụ của

1

1

1

n n n

 Chương 1 Hàm một biến số

VD4. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:

VD5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:

1

1

Điều kiện cần cho sự hội tụ

 Mệnh đề Nếu chuỗi hội tụ thì

1

n n

u

lim n 0

n u

 Chương 1 Hàm một biến số

VD6. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:

Giải

4 4

VD7. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:

5

4 1

1

n

n n

Giải

5 4

 Chương 1 Hàm một biến số

• Nếu chuỗi hội tụ thì hội tụ và

1

n n

u

 Mệnh đề (chuỗi hình học)

1

n n

 Chương 1 Hàm một biến số

a) Tiêu chuẩn tích phân của Cauchy

Cho là hàm liên tục, không âm và giảm trên

VD1. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

1

Mà hội tụ nếu và chỉ nếu

n n n

Giải

3

1 ( )

ln

f x

3 2

1

ln

t

Khi đó: Đây là tích phân hội tụ Do vậychuỗi đã cho hội tụ

1

n n

u

• Nếu chuỗi phân kỳ thì chuỗi phân kỳ

1

n n

u

1

n n

v

 Chương 1 Hàm một biến số

VD3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:

1

1

2n

n n

Giải

1 2

1 2

Ta có:

3 1

1

n n

u

• hội tụ thì chuỗi hội tụ.k :

1

n n

u

1

n n

v

 Chương 1 Hàm một biến số

VD5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2

1

1

n

n n

2 2

 Chương 1 Hàm một biến số

VD6. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

5 1

 Chương 1 Hàm một biến số

VD7. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi:

n n

n

n n

n n

n

n n

Mà hội tụ nên hội tụ

1

2 3

n n

 Chương 1 Hàm một biến số

d) Tiêu chuẩn tỷ số của D’Alembert

Cho chuỗi số dương Đặt

1

.

n n

n

n

u C

u

• Nếu thì hội tụ

1

n n

3

3 1

3

1 lim

n n

n

n e

3 3

1 lim

n e

Giải

VD9. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

2

1

!

2 !

n

n n

n n

 Chương 1 Hàm một biến số

2 2

1 ! 2 ! lim

1 ! 2 ! lim

n

Suy ra là chuỗi hội tụ.

2

1 lim

 Chương 1 Hàm một biến số

e) Tiêu chuẩn căn số của Cauchy

Cho chuỗi số dương Đặt

1

.

n n

n n

• Nếu thì hội tụ

1

n n

n

Giải

VD11. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

3

n

n n

n

Giải

3 3

n n

n

 Chương 1 Hàm một biến số

-1.2.3 CHUỖI ĐAN DẤU-CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ

n n

 Chương 1 Hàm một biến số

• được gọi là hội tụ tuyệt đối

1

n n

1

n n

u

VD2. Xét sự hội tụ tuyệt đối của:

4 3

4 3

n

hội tụ tuyệt đối

VD3. Xét sự hội tụ tuyệt đối của:

n n

1 2

2

n n

n

 Mệnh đề. Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ

 Chương 1 Hàm một biến số

VD4. Chuỗi hội tụ

4 3

 Định lý. Cho chuỗi Đặt hay

1

n n

n

n

u u

lim n

n

i) Nếu thì chuỗi đã cho hội tụ (tuyệt đối).1

ii) Nếu thì chuỗi đã cho phân kỳ.1

 Chương 1 Hàm một biến số

3 n

 Chuỗi đan dấu: Dạng

 Tiêu chuẩn Leibnitz

Nếu là dãy số dương, giảm và hội tụ về 0 thì

chuỗi đan dấu hội tụ

VD7. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi:

VD8. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi:

1 ( )

Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ

Suy ra là hàm giảm trênf x ( ) 3,

-Chương 1 Hàm một biến số

Bài Tập Giới Hạn

Chương 1 Hàm một biến số

Bài Tập Tích Phân

Bài 1

Chương 1 Hàm một biến số

Bài Tập Chuỗi

Bài 1

Chương 1 Hàm một biến số