Bài giảng toán a1 chương 3 a1 2016

Hàm nhiều biến - Tích phân bội§1.. Tích phân bội hai tích phân kép đường sinh song song với Oz , đáy là miền phẳng đóng D trong mpOxy... Tính chất của tích phân bội hai Giả thiết rằng

Trang 1

Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội

§1 Tích phân bội hai (tích phân kép)

đường sinh song song

với Oz , đáy là miền

phẳng đóng D trong

mpOxy

Trang 2

• Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần

không dẫm lên nhau S i, i 1; n Diện tích mỗi phần

cũng ký hiệu là S i Khi đó, khối trụ cong được chia

thành n khối trụ nhỏ Trong mỗi phần S i ta lấy điểm

( ; )

i i i

M x y tùy ý và thể tích V của khối trụ là:

1( ; )

Trang 3

Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội 1.2 Tích phân bội hai

Trang 4

• Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox ,

Oy ta được S i x i y i hay dS dxdy

Trang 5

Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội

• Nếu tồn tại tích phân ( , )

D

f x y dxdy, ta nói hàm số ( , )

f x y khả tích trên miền D; f x y( , ) là hàm dưới dấu

tích phân; x và y là các biến tích phân

Nhận xét

 ( )

D

S D dxdy (diện tích của miền D )

 Nếu f x y( , ) 0, liên tục trên D thì thể tích hình trụ có các đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn bởi các mặt z 0, z f x y( , ) là ( , )

D

V f x y dxdy

Trang 6

b) Định lý

Hàm f x y( , ) liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì khả tích trong D

1.3 Tính chất của tích phân bội hai

Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại

Trang 7

Trang 8

a y x

Trang 9

Tương tự, nếu miền D là:

Trang 10

4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những

miền đơn giản

Trang 11

• Trường hợp 1 Chiếu miền D

lặp với miền D giới hạn bởi y 0, y 2 ,x x a 0

Giải Tọa độ giao điểm của y 2 ,x x a là A a a( ; 2 )

Xét về chiều cao thì D được

giới hạn bởi Ox và y 2x nên

Trang 12

• Trường hợp 2 Tương tự,

chiếu miền D lên Oy (hình b)

ta được 0 y 2a Suy ra:

Trang 13

Trang 14

4

3

Trang 15

VD 4 Tính tích phân

D

I ydxdy, trong đó miền D

giới hạn bởi các đường y x 2, y x 2

Giải Hoành độ giao điểm:

Trang 16

Trang 17

D

I ydxdy, trong đó miền D

giới hạn bởi các đường y x 4, y2 2x

Giải Tung độ giao điểm:

y

2 y 4

Trang 18

Vậy

2

4 4

2

y y

Trang 19

b) Đổi thứ tự lấy tích phân

c x y

I dy f x y dx

Trang 20

VD 6 Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:

2 3

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Trang 24

Trang 25

Vậy

3 1

0

( , )

y y

Chiếu miền D lên Oy ta được:

Trang 26

1.4.2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

a) Công thức đổi biến tổng quát

Gọi D là miền xác định bởi: xy

Trang 27

x y J

Trang 28

VD 9 Tính tích phân ( 2 2)

D

D là hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng:

Trang 29

Trang 30

Trang 31

Trang 32

Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bộib) Đổi biến trong tọa độ cực

Trong mpOxy, xét miền D

Vẽ 2 tia OA OB, tiếp xúc với

Trang 33

sin

x r

y r với r OM, Ox OM, Khi đó, miền D trở thành:

Trang 34

Chú ý

1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên của D

là đường tròn hoặc elip

2) Để tìm r1( ), ( )r2 ta thay x r cos , y r sin

vào phương trình của biên D

3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biên

D tại 1 điểm thì:

( ) 2

( cos , sin )

r

Trang 35

4) Nếu cực O nằm trên biên của D thì:

Trang 36

VD 11 Hãy biểu diễn tích phân ( , )

Giải Đổi biến và thay x r cos , y r sin vào

phương trình biên của hai hình tròn, ta được:

2 1

( ) :C r 2 cosr r 2 cos ,

2 2

( ) :C r 4 cosr r 4 cos

Trang 37

2 cos 2

( cos , sin )

Trang 38

Trang 39

Trang 40

Trang 41

Do D nằm ngoài ( )E , nằm trong 1 ( )E và nằm trong góc 2

phần tư thứ nhất, nên ta được:

2

ab

Trang 42

VD 14 Tính diện tích miền D (cắt tia Oy ) giới hạn bởi:

Trang 43

ta được: r2 3r 3 cosr r 3 3 cos

Trang 44

§2 TÍCH PHÂN BỘI BA 2.1 Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể)

• Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không đồng

chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại điểm ( , , ) P x y z là

( )P ( , , )x y z

• Ta chia V thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau, thể tích mỗi phần là V i , i 1,n Trong mỗi V i ta lấy điểm P x y z i( , , )i i i và ký hiệu đường kính của V i là d i

Khi đó, khối lượng của V xấp xỉ:

Trang 45

2.2 Định nghĩa tích phân bội ba

• Cho hàm số ( , , )f x y z xác định trong miền đo được V

trong không gian Oxyz Chia miền V như bài toán

Trang 46

• Nếu tồn tại tích phân, ta nói ( , , )f x y z khả tích; ( , , ) f x y z

là hàm dưới dấu tích phân; , ,x y z là các biến tích phân

• Hàm số f x y z( , , ) liên tục trong miền V bị chặn và đóng thì khả tích trong V

Đặc biệt, nếu ( , , )f x y z 1 thì I là thể tích của V

 Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép

Trang 47

 Chương 3 Hàm nhiều biến - Một số mặt bậc hai

MẶT CẦU

( x a ) ( y b ) ( z c ) R

Trang 48

MẶT TRỤ TRÒN

( x a ) ( y b ) R

Trang 49

Trang 50

MẶT TRỤ PARABOL

2

y ax

Trang 51

MẶT NÓN

Trang 52

MẶT PARABOLIC

Trang 53

MẶT PARABOLIC

Hình

Trang 54

Trang 55

2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH

2.3.1 Đưa về tích phân lặp

a) Chiếu miền V lên mpOxy

Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt z z x y , 2( , )giới hạn dưới bởi z z x y , giới hạn xung quanh bởi 1( , )mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz

Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxy xy

Trang 56

Trang 57

b) Chiếu miền V lên mpOxz

Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy) bởi hai mặt y y x z và 2( , ) y y x z , giới hạn xung 1( , )quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy

Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxz xz

Trang 58

c) Chiếu miền V lên mpOyz

Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox ) bởi hai mặt x x y z và 2( , ) x x y z , giới hạn xung 1( , )quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Ox Gọi D là hình chiếu của V trên mp yz Oyz Khi đó:

Trang 59

Đặc biệt. Nếu miền V [ ; ] [ ; ] [ ; ]a b c d e f

Trang 60

Trang 61

6 6x dx 8

Trang 62

• Dựng miền V :

x 1 x x 1,

y x2 y y 1,

z 0 z z 2

Trang 63

V

giới hạn bởi x y z 1 và 3 mặt phẳng tọa độ

Giải Chiếu miền V xuống

Phương trình mặt phẳng:

Trang 64

(1 )

Trang 65

2.3.2 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT

Giả sử x x u v w , ( , , ) y y u v w , ( , , ) z z u v w có ( , , )đạo hàm riêng liên tục trong miền V uvw đóng bị chặn trong không gian Ouvw

Nếu Jacobien ( , , )

0( , , )

Trang 66

Trang 67

Vậy 1

4

uvw V

Trang 68

VD 5 Tính thể tích của khối elipsoid

Trang 69

Trang 70

Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội2.3.3 Đổi biến trong tọa độ trụ

Đặt

cossin

x r

y r

z z

, r 0, [0; 2 ] hoặc [ ; ]

Trang 71

Trang 72

ta có:

Trang 73

Trang 74

1 3

Trang 75

VD 7 Tính ( 2 2 2)

V

I x y z dxdydz với V là

khối hình nón giới hạn bởi x2 y2 z và 2 z 1

Giải Chiếu V xuống Oxy ta được

Trang 76

r z V

Trang 77

Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội2.3.3 Đổi biến trong tọa độ cầu

Đặt

sin cos ,sin sin ,cos ,

r

2 sin

r r r

Trang 78

Trang 79

VD 8 Tính tích phân:

V

dxdydz I

Trang 80

Trang 81

VD 9 Tính tích phân ( 2 2)

V

là miền giới hạn bởi: x2 y2 z2 4, y 0 và z 0

Giải Đổi biến trong tọa độ cầu,

ta có

: 0

20

r

r V

và x 2 y2 r 2 sin2

Trang 82

Trang 83

VD 10 Tính tích phân 2 2 2

V

trong đó V là miền giới hạn bởi: x2 y2 z2 z 0

Giải Đổi biến trong tọa độ cầu, ta có:

Trang 84

r V

Trang 85

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI

3.1 Tính thể tích V của vật thể

 Thể tích V của vật thể có đường sinh song song với Oz

và hình chiếu trên Oxy là D , hai đáy giới hạn bởi các mặt z f x y1( , ) z f x y2( , ) là:

Trang 86

VD 1 Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi

Trang 87

xy D

[3 (cos sin )]

r D

Trang 88

VD 2 Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi

phần hình trụ x2 y2 2y 0 nằm trong hình cầu x2 y2 z2 4 ứng với z 0

Trang 89

Trang 90

VD 3 Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt:

Giải Chiếu V xuống Oxy ta được

miền D nằm trong đường tròn xy

Trang 91

Trang 92

3.2 Giá trị trung bình của hàm trên miền đóng

 Giá trị trung bình của hàm f x y( , ) trên miền D 2

đóng và bị chặn là:

1

( , ) ( )

Trang 93

VD 4 Tính giá trị trung bình của ( , )f x y x cosxy trong

Trang 94

3.3 Khối lượng m của vật thể

 Xét bản phẳng chiếm miền D 2 (đóng và bị chặn)

có khối lượng riêng (mật độ khối lượng hay tỉ khối) tại

điểm ( , )M x y D là hàm ( , ) x y liên tục trên D

Khi đó, khối lượng của bản phẳng là:

( , )

D

 Xét vật thể chiếm miền V 3 (đóng và bị chặn) có

khối lượng riêng là hàm ( , , ) x y z liên tục trên V

Khi đó, khối lượng của vật thể là:

V

Trang 95

VD 6 Tính khối lượng của bản phẳng chiếm miền D

Trang 96

VD 7 Tính khối lượng của vật thể chiếm miền V giới

x y x

Trang 97

Trang 98

VD 8 Tìm tọa độ trọng tâm hình phẳng D giới hạn bởi

Trang 99

Trang 100

VD 9 Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất V

Mặt trên và dưới của V là z 2 x2 y và 2 z 0

Hình chiếu của V xuống Oxy là x2 y2 1

Trang 101

Chuyển sang tọa độ trụ, ta được:

2

32

Trang 102

Định dạng
Số trang	102
Dung lượng	3,68 MB