Bài giảng toán a1 chương 2 a1 2016

Các định nghĩa a Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy, hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong kín được gọi là miền phẳng.. Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D

§1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Các định nghĩa

a) Miền phẳng

• Trong mặt phẳng Oxy, hình phẳng D giới hạn bởi các

đường cong kín được gọi là miền phẳng

Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là

biên của D , ký hiệu D hay

Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với

biên ở vô cùng

• Miền phẳng D kể cả biên D được gọi là miền đóng, miền phẳng D không kể biên D là miền mở

• Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1

đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D

Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi

là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b)

b) Lân cận của một điểm

• Khoảng cách giữa 2 điểm M x y , 1( ,1 1) M x y là: 2( ,2 2)

c) Hàm số hai biến số

• Trong mặt phẳng Oxy cho tập D 2

Tương ứng f D: cho tương ứng mỗi ( , )x y D

với một giá trị z f x y( , ) duy nhất được gọi là hàm số hai biến số x y,

• Tập D 2 được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm

số ( , )f x y , ký hiệu là D f

Miền giá trị của hàm số ( , )f x y là:

( , ) ( , ) f

Chú ý

• Trong trường hợp xét hàm số f x y( , ) mà không nói gì thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm

2( , )

M x y sao cho f x y( , ) có nghĩa

• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự

• Hàm số z f x y( , ) ln(2x y 3) có MXĐ là nửa

mp mở có biên d : 2x y 3 0, không chứa O

1.2 Giới hạn của hàm số hai biến số

a) Điểm tụ

• Trong mpOxy cho dãy điểm M x n( ,n y n ), n 1, 2, Điểm M x y được gọi là điểm tụ của dãy trên nếu 0( ,0 0)mọi lân cận của M0 đều chứa vô số phần tử của dãy

• Điểm M x y được gọi là điểm tụ của tập 0( ,0 0) D 2

nếu mọi lân cận của điểm M0 đều chứa vô số điểm thuộc D

b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội)

• Điểm M x y được gọi là giới hạn của dãy điểm 0( ,0 0)

23

x y

x y

VD 5 Cho hàm số

2( , ) xy

• Hàm số ( , )f x y liên tục tại M x y0( ,0 0) D 2 nếu

( , ) ( , )lim ( , ) ( , )

x y x y f x y f x y

• Hàm số ( , )f x y liên tục trên tập D 2 nếu nó liên tục

tại mọi điểm thuộc D

Chú ý

Hàm số f x y( , ) liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó

đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D

§2 TÍNH LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM RIÊNG

2.1 Hàm số liên tục

a) Đạo hàm riêng cấp 1

Cho hàm số ( , )f x y xác định trên miền mở D 2 chứa điểm M x y 0( ,0 0)

Cố định y0, nếu hàm số f x y có đạo hàm tại ( , 0) x0 thì ta

gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm

VD 1 Tính các đạo hàm riêng của hàm số:

VD 2 Tính các đạo hàm riêng của

1ln

1

x z

VD 3 Tính các đạo hàm riêng của z cos

VD 4 Tính các đạo hàm riêng của f x y z( , , ) e x y2 sinz

Giải f x/ (x y e2 )/x x y2 sin z 2xye x y2 sin z

f y/ (x y e2 )/y x y2 sin z x e2 x y2 sin z

f z/ e x y2 cosz

Ký hiệu: 2

2 2

x y

b) Đạo hàm riêng cấp cao

• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số ( , )f x y , ( , ) x f x y y

được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của ( , ) f x y

VD 5 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:

y y

• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn

2 có định nghĩa tương tự

y y

• Định lý Schwarz

Nếu hàm số f x y( , ) có các đạo hàm riêng f và xy f yx

liên tục trong miền mở D 2 thì f xy f yx

• Xét những điểm M x( 0 x y, 0 y dịch chuyển ) trên đường đi qua M song song Ox Khi đó 0 y 0 :

c) Định lý

• Nếu hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng trong lân cận

nào đó của ( ,x y và các đạo hàm riêng này liên tục 0 0)tại ( ,x y thì ( , )0 0) f x y khả vi tại ( ,x y 0 0)

Giải z x/ 2 sin(x xy2) y2 cos(xy2) e x2 y,

Giả sử ( , )f x y là hàm khả vi với , x y là các biến độc lập

Các số gia dx x dy, y tùy ý độc lập với , x y

nên được xem là hằng số đối với ,x y

Vi phân của hàm df x y được gọi là vi phân cấp 2 của ( , )hàm số f x y( , )

2.3.2 VI PHÂN CẤP CAO

Chứng minh

d f2 d df( ) d f dx( x f dy y )

(f dx x f dy dx y )x (f dx x f dy dy y )y ( 2 xy ) ( xy 2 )

VD 10 Cho hàm số f x y( , ) x y2 3 xy2 3x y3 5 Tính vi phân cấp hai df 2(2; 1)

b) Vi phân cấp n

( ) 1

VD 13 Tính vi phân d z3 của hàm số z e2x cos 3y

27e2x sin 3ydy3 54e2x cos 3ydxdy 2

36e2x sin 3ydx dy2 8e2x cos 3ydx 3

Tính trực tiếp như sau:

b) Hàm hợp với hai biến độc lập

• Cho f x y( , ) là hàm khả vi đối với ,x y và , x y là những

hàm khả vi đối với hai biến độc lập , Khi đó, hàm hợp của 2 biến , là ( , ) f x( ( , ), ( , ))y

khả vi Ta có:

/ f x x/ / f y y/ / , / f x x/ / f y y/ /

2.4 Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến)

Hàm z x y( , ) xác định trên D z 2 thỏa phương trình

( , , ( , )) 0, ( , ) z

hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*)

Giả sử các hàm số ở trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*)

ta được:

VD 16 Cho hàm ẩn z x y( , ) thỏa phương trình:

xyz x y z Tính z x/, z y/

Giải Ta có ( , , )F x y z xyz cos(x y z )

/ / /

x y z

VD 17 Cho hàm ẩn z x y( , ) thỏa phương trình mặt cầu:

• Hàm số z f x y( , ) đạt cực trị địa phương (gọi tắt là

cực trị) tại M x y nếu với mọi điểm 0( ,0 0) M x y( , ) khá gần nhưng khác M0 thì hiệu f f x y( , ) f x y ( ,0 0)

có dấu không đổi

• Nếu f 0 thì f x y được gọi là giá trị cực tiểu ( ,0 0)

và M0 là điểm cực tiểu của z f x y( , )

• Nếu f 0 thì f x y được gọi là giá trị cực đại và ( ,0 0)

0

M là điểm cực đại của z f x y( , )

§4 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

4.1 Định nghĩa (cực trị địa phương)

f x y x y nên đạt cực tiểu tại O(0; 0)

a) Điều kiện cần

• Nếu hàm số z f x y( , ) đạt cực trị tại M x y và 0( ,0 0)tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì:

• Nếu AC B2 0 thì ( , )f x y không đạt cực trị tại M 0

• Nếu AC B2 0 thì ta không thể kết luận

• Trong không gian Oxyz ,

• Khi đó, điểm P1 S là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu

1

M D là được gọi là điểm cực trị tự do của hàm

( , )

f x y xác định trên D (vì không phụ thuộc vào ( ))

• Tương tự, điểm P2 ( )C là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu M2 ( ) là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc

bởi ( ) : ( , )x y 0 của hàm f x y( , )

4.4 Cực trị tự do

Cho hàm số ( , )f x y xác định trên D

Để tìm cực trị của ( , )f x y , ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1. Tìm điểm dừng M x y bằng cách giải hệ: 0( ,0 0)

0 0

0 0

( , ) 0( , ) 0

x y

VD 2 Tìm điểm dừng của hàm số z xy(1 x y )

Vậy hàm số có 4 điểm dừng:

1 1(0; 0), (0; 1), (1; 0), ;

Giải

/ /

2 2 0

x y

• Hai điểm M M3, 4 không là điểm cực trị

• Điểm M1 là điểm cực đại và z C Đ 2

• Điểm M2 là điểm cực tiểu và z CT 2

A z đạt cực tiểu tại M(2; 5) và giá trị cực tiểu z 39

B z đạt cực tiểu tại M(5; 2) và giá trị cực tiểu z 30

C z đạt cực đại tại M(2; 5) và giá trị cực đại z 39

D z đạt cực đại tại M(5; 2) và giá trị cực đại z 30

2 2

5020

x

x

y xy

4.5 Cực trị có điều kiện (cực trị vướng)

• Cho hàm số ( , )f x y xác định trên lân cận của điểm

0( ,0 0)

M x y thuộc đường cong ( ) : ( , )x y 0

Nếu tại điểm M0, hàm f x y( , ) đạt cực trị thì ta nói M0

là điểm cực trị có điều kiện của ( , ) f x y với điều kiện

( , )x y 0

• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f x y( , ) ta dùng

phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange

VD 7 Tìm điểm cực trị của hàm z x y thỏa điều kiện: 2

Giải x y 3 0 y x 3 z x 3 3x 2

Ta có z 3x2 6x 0 x 2, x 0

• x 2 y 1 z đạt cực đại tại điểm M1( 2; 1)

• x 0 y 3 z đạt cực tiểu tại điểm M2(0; 3)

b) Phương pháp nhân tử Lagrange

Tại điểm cực trị ( , )x y của f , ta gọi x y

x y

L L L

Suy ra điểm dừng M x y ứng với 0( ,0 0 ) 0

• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại M x y ứng với 0( ,0 0) 0:

• Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:

 Nếu d L M2 ( 0) 0 thì ( , )f x y đạt cực tiểu tại M 0

 Nếu d L M2 ( 0) 0 thì ( , )f x y đạt cực đại tại M 0

 Nếu d L M2 ( 0) 0 thì M 0 không là điểm cực trị

Joseph-Louis Lagrange

(1736 – 1813)

M y

VD 9 Tìm giá trị cực trị của hàm số z x y thỏa

Từ vi phân d L x y2 ( , ) (2 2 )(dx2 dy , ta có: 2)

• d L M2 ( 1) 0 M là điểm cực tiểu và 1 z CT 0

• d L M2 ( 2) 0 M là điểm cực đại và 2 z CÑ 25

VD 10 Tìm điểm cực trị của hàm z xy thỏa điều kiện:

0

1 0

8 2

x y

( 2; 1), 2( 2; 1), 2

4 8 (2; 1), 2

M M

M

4.6 Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm hai biến

trên miền đóng, bị chặn (cực trị toàn cục)

Cho miền D 2 đóng có biên D : ( , )x y 0 và

( , )

f x y là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có thể không khả vi tại m điểm M1, , M ) m

Giả sử biên D trơn, nghĩa là hàm khả vi

Để tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của f trên D , ta thực

hiện các bước sau:

(chỉ cần tìm điểm dừng)

• Bước 2. Tìm các điểm cực trị P1, , P trên biên D p

thỏa điều kiện ( , )x y 0 (chỉ cần tìm điểm dừng)

D f x y D f x y tương ứng là

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong tất cả các giá trị sau:

1( ), , ( m )

f M f M , f N( 1), , (f N , n ) f P( ), , ( )1 f P p

2 2

2 (2 1) 0

30

; 02

VD 13 Cho hàm số f x y( , ) x y xy x y

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ( , )f x y trong miền

Giải Miền D là OAB với ( 3; 0), (0; 3)A B

• Tại các đỉnh OAB hàm số không khả vi, ta có:

P là điểm dừng và ( )2 1

4

• Trong miền D , ta có:

cos cos( ) 00