Các kiến thức cần nhớ 1... Các kiến thức cần nhớ 1... Các kiến thức cần nhớ 2... Các kiến thức cần nhớ 2... Các kiến thức cần nhớ 3... Các kiến thức cần nhớ 3... Tìm toạ độ giao điểm của
Trang 2BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
Trang 3BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
A Các kiến thức cần nhớ
1 Véctơ - toạ độ
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 vectơ:
1 1 1
a x y z r b x y z r ( ;2 2; ).2 Ta có:
+ Tích vô hướng: a b r r = x x1 2 + y y1 2 + z z1 2
+ Độ dài vectơ: | | a r = x12 + y12 + z12
+ Góc giữa 2 vectơ: 1 2 1 2 1 2
cos( , )
.
x x y y z z
a b
=
r r
+ Tích có hướng của 2 vectơ: 1 1 1 1 1 1
r r
1 2 1 2 1 2 0
a r ⊥ ⇔ b r x x + y y + z z =
Trang 4BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
A Các kiến thức cần nhớ
1 Véctơ - toạ độ
+ Diện tích tam giác ABC: SABC = 1 | [AB,AC] |uuur uuur
2
+ Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: VABCD.A’B’C’D’ = [AB,AC].AA'uuur uuur uuur
+ Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1
6
uuur uuur uuur [AB,AC].AD
+ Khoảng cách giữa hai điểm A (xA; yA; zA), B(xB; yB; zB):
AB = (x - x ) + (y - y ) + (z - z )
+ Đường cao AH của tam giác ABC: AH =
uuur uuur BC
| [AB,AC] |
Trang 5BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
A Các kiến thức cần nhớ
2 Phương trình mặt phẳng:
+ mp(α) qua M(x0; y0; z0) có vectơ pháp tuyến n A B C r ( ; ; )
A( x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 + mp(α) qua M(x0; y0; z0) có cặp VTCP u a b c r ( ; ; ), u a b c ur '( '; '; ')
+Mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau (α) và (α’)
(α): Ax + By + Cz + D = 0 (α’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
λ(Ax + By + Cz + D ) + µ(A’x + B’y + C’z + D’ ) = 0 (λ2+ µ2 ≠ 0)
Trang 6BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
A Các kiến thức cần nhớ
2 Phương trình đường thẳng:
+ Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0
A'x + B'y + C'z + D' = 0
+ Phương trình tham số:
0 0 0
x = x + at
y = y + bt
z = z + ct
+ Phương trình chính tắc: x - x0 y - y0 z - z0
có VTCP B C C; A A; B
B' C' C' A' A' B'
r
có VTCP u r (a;b;c)
có VTCP u r (a;b;c)
Trang 7BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
A Các kiến thức cần nhớ
3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
d
' :
d
− = − = −
+ d chéo d’ ⇔ [u u M Mr ur uuuuuuuur, '] 0 '0 ≠ 0
+ d cắt d’ ⇔ và a : b: c [u u M Mr ur uuuuuuuur, '] 0 '0 = 0 ≠ a’ : b’ : c’
+ d // d’ ⇔ a : b : c = a’ : b’ : c’ ≠ (x’0 - x0) : (y’0 - y0 ) : (z’0 - z0 )
+ d ≡ d’ ⇔ a : b : c = a’ : b’ : c’ = (x’0 - x0) : (y’0 - y0 ) : (z’0 - z0 )
Qua M0(x0; y0; z0), có VTCP u a b c r ( ; ; ) Qua M’0(x’0; y’0; z’0), có VTCP u a b c ur '( '; '; ')
Trang 8BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
A Các kiến thức cần nhớ
3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
d
= = (α) : Ax + By + Cz + D = 0 + d cắt (α) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0
+ d // (α) ⇔
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ d ⊂ (α) ⇔
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ d ⊥ (α) ⇔ a : b : c = A : B : C
Trang 9BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
A Các kiến thức cần nhớ
4 Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ điểm M(x0;y0; z0) đến mp( α ): Ax + By + Cz + D = 0
2 2 2
| Ax + By + Cz + D | d(M,( )) =
A + B + C
α
+ Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng ∆ qua M0 có VTCP u r
1
0 1
| [M M , ] | d(M , ) =
| u |
u
∆
uuuuuuur r
r
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆ ’:
' 0
' '
'
0
| [ , ].M M | d( , ) =
| [u, ] |
u u
u
∆ ∆
uuuuuuur
r ur
r ur
Trang 10BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
A Các kiến thức cần nhớ
5 Góc:
+ Góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆ ’:
' :
2 2 2 2 2
| aa' + bb' + cc' |
a + b + c a' + b' + c'
ϕ =
+ Góc giữa đường thẳng ∆ và mp( α ):
2 2 2 2 2
| Aa + Bb + Cc |
A + B + C a + b + c
ψ =
+ Góc giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( α ’):
(α): Ax + By + Cz + D = 0
(α’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 cos 2 2 2 2 2 2
| AA' + BB' + CC' |
A + B + C A' + B' + C'
ϕ =
Trang 11BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
A Các kiến thức cần nhớ
6 Phương trình mặt cầu:
+ Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c) bán kính R
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
+ Phương trình tổng quát của mặt cầu:
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 > D)
có tâm I(-A; -B; -C) bán kính R = A + B + C - D2 2 2
Trang 12BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
B Bài tập
Bài 1. Trong không gian cho bốn điểm: A(0; 0 ;3), B(1; 1; 5), C(-3; 0; 0), D(0; -3; 0)
a) Tính :
b) Tính diện tích tam giác ACD
c) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng
2
(AB.BC).CA + CD ABuuur uuur uuur uuur uuur
Bài 2. Giả sử A(3; 0; 4), B(1; 2; 3), C(9; 6; 4) là ba đỉnh của hình bình hành ABCD Tìm:
a) Toạ độ đỉnh D;
b) Toạ độ giao điểm của hai đường chéo;
c) Số đo góc B;
d) Độ dài đường chéo AC;
e) Diện tích hình bình hành
ĐS: (-27; 18; -9)
9 3 2
D(11; 4; 5) I(6; 3; 4) cosB = 1/3
6 2
AC =
18 2
S =
Trang 13BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
B Bài tập
Bài 4 Cho đường thẳng ∆ và mp( α ) lần lượt có phương trình:
x y z
α
a) Chứng minh rằng đường thẳng ∆ cắt mp(α) Tìm toạ độ giao điểm của chúng
b) Viết phương trình mp(α’) qua M0(1; 2; -1) và (α’) ⊥ ∆
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của ∆ trên mp(α)
d) Cho điểm A(1; 0; -1) Hãy tìm toạ độ điểm A’ sao cho mp(α) là mặt phẳng trung trực của đoạn AA’
e) Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc chứa điểm
M1(1; 2; 1) tạo bởi hai mặt phẳng (α) và (α’)
Trang 14BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
B Bài tập
Bài 4 Cho đường thẳng ∆ và mp( α ) lần lượt có phương trình:
x y z
α
+ Đáp số:
b) 4x + 3y +z – 9 = 0
x y z
+ − − =
c)
d) A'
