luận án đạo hàm lie của dòng và liên thông

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONGLUẬN ÁN Kí hiệu Tên gọi M Đa tạp Riemann n−chiều U, x Bản đồ của M hoặc Mc Mc Đa tạp phức n−chiều TpM Không gian tiếp xúc với M tại p ∈ M Vk TpM Không gi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI CAO VÂN

ĐẠO HÀM LIE CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI CAO VÂN

ĐẠO HÀM LIE CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 62 46 01 05

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS NGUYỄN HỮU QUANGPGS TS KIỀU PHƯƠNG CHI

VINH - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS

TS Nguyễn Hữu Quang và PGS TS Kiều Phương Chi Tôixin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận án làhoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sửdụng và luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nàokhác

Tác giả

Bùi Cao Vân

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS.Nguyễn Hữu Quang và PGS TS Kiều Phương Chi Trước hết, tác giả xinđược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy của mình: PGS

TS Nguyễn Hữu Quang và PGS TS Kiều Phương Chi, những người đãđặt bài toán và hướng nghiên cứu cho tác giả Các Thầy đã dạy bảo, chỉdẫn tác giả nghiên cứu một cách kiên trì và nghiêm khắc Tác giả đã họcđược rất nhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia sẻ, yêu thương củacác Thầy trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô giáo trongKhoa Sư phạm Toán học, đặc biệt là tổ Hình học, Trường Đại học Vinh

đã trang bị cho tác giả những kiến thức cần thiết để hoàn thành chươngtrình nghiên cứu sinh cũng như hoàn thiện luận án

Trong quá trình học tập và thực hiện luận án, tác giả đã nhận được sự

hỗ trợ và tạo điều kiện tốt nhất để hoàn thành chương trình Tác giả xingửi lời cảm ơn trân trọng nhất đến Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đàotạo Sau đại học và các Phòng chức năng khác của Trường Đại học Vinh

vì những giúp đỡ quý báu đó

Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đàotạo tỉnh Quảng Nam, Trường THPT Thái Phiên - Quảng Nam đã quantâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trunghọc tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những ngườibạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu./

Bùi Cao Vân

MỤC LỤC

Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 9

1.1 Dạng vi phân trên đa tạp Riemann 9

1.2 Liên thông trên đa tạp Riemann 11

1.3 Đạo hàm Lie của dạng vi phân 14

1.4 Phân bố và dòng trên đa tạp Riemann 20

Chương 2 Đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp 28 2.1 Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng 28

2.2 Đạo hàm Lie của dòng trên nhóm Lie 47

2.3 Một số ứng dụng của đạo hàm Lie của dòng 54

2.4 Đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc 60

Chương 3 Đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng 72 3.1 Đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết 72

3.2 Đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng 83

Kết luận chung và kiến nghị 97

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG

LUẬN ÁN

Kí hiệu Tên gọi

M Đa tạp Riemann n−chiều

(U, x) Bản đồ của M hoặc Mc

Mc Đa tạp phức n−chiều

TpM Không gian tiếp xúc với M tại p ∈ M

Vk

(TpM ) Không gian k−dạng tuyến tính, phản xứng

B(M ) Không gian các trường véctơ trơn trên M

F(M ) Không gian các hàm trơn trên M

Fc(U ) Không gian các hàm trơn và suppf là tập con

com-pact trong UD(U ) Không gian các phân bố trên U có giá compact

Ωk(M ) Không gian các k−dạng vi phân trơn trên M

Ωkc(M ) Không gian k−dạng vi phân trơn có giá compact

Dk(M ) Không gian các k−dòng có giá compact trên Me

Ωk(M ) Không gian các k−dạng suy rộng trên M

Ω(p,q)(Mc, C) Không gian các dạng vi phân song bậc trên Mc

Ωk(M, F ) Không gian các k−dạng vi phân với giá trị trong

không gian định chuẩn F trên MO(Mc) Không gian các hàm chỉnh hình trên Mc

B(1,0)hol (Mc) Không gian các trường véctơ chỉnh hình trên Mc

Ωphol(Mc) Không gian các p−dạng chỉnh hình trên Mc

D(p,q)(M, C) Không gian các dòng song bậc (p, q) trên Mc

N(M ) Không gian các trường véctơ pháp dạng khả vi trên

đa tạp con Riemann M

∇ Liên thông Levi-Civita của M

e

∇ Liên thông Levi-Civita của fM

∇⊥ Liên thông pháp dạng của M

R Tenxơ cong (độ cong) của đa tạp con Riemann Me

R Tenxơ cong (độ cong) của đa tạp Riemann fM

R⊥ Độ cong pháp dạng của đa tạp con Riemann M

£X Đạo hàm Lie của dòng

LX Đạo hàm Lie của dạng vi phân hoặc dạng suy rộng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Lý thuyết đạo hàm Lie là một trong những lĩnh vực nghiên cứu củatoán học hiện đại, xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ trước trongcác công trình nghiên cứu của Slebodzinski, Dantzig, Schouten và VanKampen ([47]) Đây là lĩnh vực đã và đang được sự quan tâm của rấtnhiều nhà toán học trong và ngoài nước Phép đạo hàm Lie trên đa tạp làmột công cụ hữu hiệu để nghiên cứu về các bài toán đa tạp con có thể tíchcực tiểu địa phương, xác định các độ cong chính, độ cong Ricci của đa tạpRiemann Đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhaucủa toán học như tìm nghiệm của các phương trình vi phân, hệ phươngtrình tuyến tính, hệ động lực, hệ Hamilton ([4], [25]) Ngoài ra, đạo hàmLie cũng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như: Cơ họclượng tử, khoa học máy tính, sinh học, kinh tế

1.2 Lý thuyết dòng là một lý thuyết của ngành Hình học - Tôpô Từ cuốinhững năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự hình thành và phát triển của

lý thuyết các không gian phức hyperbolic, lý thuyết dòng đã có nhữngbước tiến mạnh mẽ và được ứng dụng sâu sắc trong giải tích phức nhiềubiến, hình học giải tích, hình học đại số, hệ động lực Việc sử dụng lýthuyết dòng trong các nghiên cứu về thể tích cực tiểu của k−mặt trên đatạp Riemann có thể tìm thấy trong các công trình nghiên cứu của A T.Fomenko, Havey, Đào Trọng Thi, Lê Hồng Vân ([38])

1.3 Các phép đạo hàm trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong việc

mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp đó Chính vì vậy, mà việc nghiêncứu nó đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quantâm Mặc dù cho đến nay đã có nhiều kết quả quan trọng nhưng đây vẫn

là vấn đề cơ bản và mang tính thời sự, thu hút ngày càng nhiều nhà toánhọc nghiên cứu vì tính thực tiễn và ứng dụng trong khoa học kỹ thuật.Năm 2010, Sultanov đã trình bày các tính chất cơ bản của các đạo hàmLie và ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và độ xoắn trên cácđại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị ([37]) Trong trường hợp riêng, đạo

hàm Lie được sử dụng trong các nghiên cứu về các tính chất hình học trên

đa tạp Trong những năm gần đây, đạo hàm Lie đã được nhiều nhà toánhọc quan tâm, chẳng hạn: K Habermann, A Klein ([19]); L Fatibene, M.Francaviglia ([16]); R P Singh, S D Singh ([33]); A Ya Sultanov ([37]);

J D Pérez ([28], [29])

Nhằm thiết lập khái niệm đạo hàm Lie cho dòng và liên thông trên các

đa tạp, đồng thời nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của chúng, chúngtôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Đạo hàm Lie củadòng và liên thông"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đa tạpnhư: Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng vàdòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của cácliên thông nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên đa tạp Riemann,đồng thời chúng tôi cũng chỉ ra một số ứng dụng của chúng

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là đạo hàm Lie của dòng và dạngsuy rộng, đạo hàm Lie của các liên thông trên đa tạp Riemann

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của hình họcRiemann, lý thuyết dòng, giải tích hàm, lý thuyết liên thông và lý thuyếtnhóm Lie trong quá trình thực hiện đề tài

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án đã đạt được một số kết quả về đạo hàm Lie trên đa tạpRiemann như: Đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của phân bố, đạo hàmLie của dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân

ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên đa tạp Đồng thời, áp dụngcác kết quả thu được vào việc chứng minh định lý vận chuyển, công thứcđồng luân đối với dòng và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu.

Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên caohọc và nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô

7 Tổng quan và cấu trúc của luận án

7.1 Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án

Đa tạp Riemann là khái niệm cơ sở của toán học hiện đại Khái niệmnày xuất hiện vào nửa cuối thế kỷ 19 Hình học trên các đa tạp đó có nhiềuứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như: Giải tích, lýthuyết hệ động lực và các ngành: Vật lý, các ngành khoa học kỹ thuật

Lý thuyết liên thông là một trong những công cụ cơ bản của hình họcRiemann và được trình bày trong các tài liệu ([22], [24]) Đến những nămcuối của thế kỷ 20, cùng với sự phát triển của tôpô với những công trìnhnổi tiếng của Hausdorff, Poincaré thì hình học trên các đa tạp đã pháttriển mạnh mẽ và chính tôpô đã trở thành một công cụ hữu hiệu trongviệc xây dựng các cấu trúc hình học, chẳng hạn như: Độ cong, độ xoắn,đạo hàm các dạng vi phân trên các đa tạp và đặc biệt là mô tả các tínhchất hình học quan trọng trên nhóm Lie compact

S Lie là người đầu tiên đưa ra khái niệm đạo hàm X[f ] của hàm số ftheo trường véctơ X trên đa tạp khả vi và bây giờ gọi là đạo hàm Lie củahàm số theo trường véctơ Năm 1920, Élie Cartan ([5]) định nghĩa mộtcách tự nhiên toán tử vi phân LX của các dạng vi phân và chứng minhđược toán tử vi phân LX giao hoán với vi phân ngoài d Đặc biệt, ÉlieCartan đã chứng minh được công thức sau và gọi là công thức Cartan

LX = d ◦ iX + iX ◦ d,

ở đây iX là tích trong của trường véctơ X đối vớ dạng vi phân

Năm 1931, trong các công trình nghiên cứu của W ´Slebodzi´nski ([35])cũng đã xuất hiện toán tử vi phân LX của trường tenxơ theo trường véctơ

X W ´Slebodzi´nski đã chứng minh được công thức toán tử vi phân LXcủa tích hai trường tenxơ và ứng dụng vào việc tìm nghiệm của phương

trình Hamilton chính tắc Với mỗi hàm số H(p, q), p = (pµ), q = (qµ), µ =

1, 2, , n, W ´Slebodzi´nski định nghĩa trường véctơ

mô tả bởi n + 1 tọa độ cong thuần nhất mà có thể xem như không gian(n + 1)−chiều với liên thông tuyến tính và ông đã đưa ra những ứng dụngcủa đạo hàm Lie vào Vật lý Kể từ đó, các phép biến dạng của đườngcong, không gian con và không gian các phép biến dạng cũng như nhómchuyển động, chuyển động affine, chuyển động xạ ảnh, chuyển động bảogiác đã được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng như:

L Berwald, E Cartan, N Coburn, E T Davies, P Dienes, A Duschek, L

P Eisenhart, F A Ficken, H A Hayden, V Hlavatý, E R van Kampen,

M S Knebelman, T Levi Civita, J Levine, W Mayer, A J McConnel,

A D Michal, H P Robertson, S Sasaki, J A Schouten, J L Synge, A

H Taub, H C Wang và nhiều tác giả khác

Năm 1948, J A Schouten và D J Struik ([34]) đã phát triển thêmmột số tính chất về đạo hàm Lie của dạng vi phân và đưa ra một số kỹthuật tính đạo hàm Lie đối với dạng vi phân trên đa tạp Sau đó, năm

1957 K Yano là người giới thiệu về lý thuyết đạo hàm Lie và các ứngdụng của đạo hàm Lie ([47]) Việc nghiên cứu phép đạo hàm Lie có nhiềuứng dụng trong việc mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp và đặc biệt

là ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực, lý thuyết truyền thông, cơ họclượng tử, động lực học Năm 1997, J.-H Kwon và Y J Suh đã nghiêncứu một số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ trên siêu mặt thực kiểu

A trong không gian dạng phức ([21]) Năm 2002, B N Shapukov đã trìnhbày một số kết quả về đạo hàm Lie của trường tenxơ trên đa tạp Fiber([36]) Năm 2008, K R¨obenack đã đưa ra thuật toán cho phép tính đạohàm Lie bậc cao bằng máy tính ([31])

Năm 2010, các tác giả L S Velimirovi´c, S M Min˘ci´c, M S Stankovi´c

đã nghiên cứu về đạo hàm Lie của liên thông và đạo hàm Lie của tenxơcong trên không gian với liên thông affine không đối xứng ([45]) Cùngtrong thời gian này, A Ya Sultanov đã xây dựng khái niệm đạo hàm Lietrên đại số và nghiên cứu một số tính chất về đạo hàm Lie của liên thôngtrên đại số, đồng thời ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và

độ xoắn trên các đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị ([37])

Năm 2011, trong công trình nghiên cứu của L Fatibene và M caviglia đã trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ Lorentz

Fran-và ứng dụng của nó Fran-vào việc khảo sát không gian Minkowski ([16]) Năm

2012, trên cơ sở đạo hàm Lie của dạng vi phân, chúng tôi đã xây dựng đạohàm Lie của dòng trên đa tạp Riemann và đưa ra một số ứng dụng trênnhóm Lie compact ([6]) Năm 2014, J D Pérez đã nghiên cứu đạo hàmLie trên siêu mặt thực trong không gian xạ ảnh phức ([28], [29], [30]).Năm 2015, A D Nicola và I Yudin đã nghiên cứu một số tính chất vềđạo hàm Lie trên đại số Lie ([27]) Lior Falach và Reuven Segev đã phátbiểu và chứng minh định lý vận chuyển đối với dòng trên đa tạp mà đạohàm Lie của dòng đóng vai trò quan trọng ([13], [14])

7.2 Cấu trúc luận án

Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương Ngoài ra, luận án còn

có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị,Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan trực tiếpđến luận án và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 được dành để giới thiệu kiến thức cơ sở của luận án, bao gồm

4 mục Mục 1.1 trình bày các kiến thức cơ bản về k−dạng vi phân trên đatạp Mục 1.2 giới thiệu khái niệm và một số tính chất cơ bản về liên thôngLevi-Civita, tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đa tạp Riemann n−chiều Mục1.3 trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản về đạo hàm Lie của hàm

số, đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàm Lie của k−dạng vi phân trên

đa tạp Riemann Mục 1.4 trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về

lý thuyết phân bố và lý thuyết dòng

Chương 2 trình bày các nội dung nghiên cứu về đạo hàm Lie của dòngtrên đa tạp Riemann, bao gồm 4 mục Trong mục 2.1, chúng tôi trình bàyđịnh nghĩa và một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng

trên đa tạp Riemann Trong mục 2.2, chúng tôi trình bày một số tính chất

về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng trên nhóm Lie Trong mục 2.3,chúng tôi đưa ra một số ứng dụng đạo hàm Lie của dòng trong việc chứngminh định lý vận chuyển Reynolds và chứng minh công thức đồng luânđối với dòng trên đa tạp Một điều thú vị là toán tử vận chuyển Rϕ(t) (T )chính là đạo hàm Lie LXt((ϕt)∗T ) của k−dòng (ϕt)∗T Mô tả đạo hàm Liecủa dòng tích phân trên đa tạp con và tìm được điều kiện để đa tạp con cựctiểu là đạo hàm Lie của dòng tích phân triệt tiêu Trong mục 2.4, chúngtôi nghiên cứu một số tính chất về đạo hàm Lie của dạng và dòng songbậc Đặc biệt, chúng tôi tìm điều kiện của trường véctơ X để đạo hàm Liecủa dạng song bậc (p, p) cũng là dạng song bậc (p, p) Việc nghiên cứu đạohàm Lie của dạng và dòng song bậc nhằm mục đích nghiên cứu đạo hàmLie của dòng dương trong lý thuyết đa thế vị Các kết quả của chương này

đã được công bố trên 02 tạp chí Lobachevskii Journal of Mathematics [6],Bulletin of Mathematical Analysis and Applications [43] và gửi đăng ở 02tạp chí Journal of Nonlinear and Convex Analysis [44], Vietnam Journal

of Mathematics [7]

Chương 3 nhằm trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của liênthông pháp dạng, bao gồm 2 mục Trong mục 3.1, chúng tôi nghiên cứumột số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kếtvới liên thông Trong mục 3.2, chúng tôi trình bày một số tính chất về đạohàm Lie của liên thông pháp dạng và đạo hàm Lie của tenxơ cong phápdạng trên đa tạp con Riemann, từ đó nghiên cứu các tính chất về đạo hàmLie của liên thông pháp dạng, đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trên

đa tạp con Riemann và ứng dụng của nó trong trường hợp đa tạp con M

là siêu mặt Các kết quả của chương này đã được công bố trên 03 tạp chí

J Nonlinear Sci Appl ([42]), Southeast Asian Bulletin of Mathematics([40]) và East-West Journal of Mathematics ([41])

Các kết quả chính của luận án đã được viết thành 07 bài báo, trong

đó có 05 bài đã công bố trong các tạp chí toán học quốc tế (01 bài thuộcdanh mục SCIE, 01 bài thuộc danh mục ESCI, 01 bài đã có được 02 tríchdẫn) và 02 bài đã gửi đăng

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Để thuận lợi cho việc trình bày chương 2 và chương 3, trong chươngnày chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về k−dạng viphân, liên thông, tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đa tạp Riemann n−chiều;đạo hàm Lie của hàm số, đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàm Liecủa k−dạng vi phân; các tính chất cơ bản của lý thuyết phân bố và lýthuyết dòng trên đa tạp Riemann n−chiều

Trong suốt luận án, ta luôn giả thiết M là đa tạp Riemann thựcn−chiều có cơ sở đếm được Ta ký hiệu:

TpM là không gian tiếp xúc với M tại p ∈ M

Vk

(TpM ) = {f | f : TpM ×· · ·×TpM → R là k−tuyến tính, phản xứng}.F(M ) = f | f : M → R trơn trên M

B(M )= {X | X là trường véctơ trơn trên M }

1.1 Dạng vi phân trên đa tạp Riemann

1.1.1 Định nghĩa ([17, tr.723]) Mỗi k−dạng đa tuyến tính thay phiên

ω trên B(M )

ω : B(M ) × B(M ) × · · · × B(M ) → F(M )

(X1, X2, , Xk) 7→ ω(X1, X2, , Xk)được gọi là k−dạng vi phân trơn (hay đơn giản là k−dạng trơn) trên M

Ký hiệu không gian các k−dạng vi phân trơn trên M là Ωk(M ) Taquy ước Ω0(M ) := F(M )

Giả sử (U, x) là hệ tọa độ địa phương trên đa tạp Riemann M Ta kýhiệu Ei = ∂x∂

i, i = 1, 2, , n là các trường véctơ cơ sở trong U và {dxi} là1−dạng vi phân trên U đối ngẫu với {∂x∂

i} với i = 1, 2, , n Khi đó, mỗik−dạng vi phân trơn trên U được biểu diễn dưới dạng

ω = X1≤i ≤ ≤i ≤n

ϕi 1 ikdxi 1 ∧ ∧ dxik,

ở đây ϕi1 ik là các hàm trơn xác định trên U

1.1.2 Định nghĩa ([17, tr.697]) Giả sử ω ∈ Ωk(M ) và µ ∈ Ωl(M ) Tíchngoài của ω và µ, ký hiệu ω ∧µ và được xác định bởi (ω ∧µ)p = ωp∧µp, p ∈

M, trong đó ωp∧ µp được xác định bởi

i) Nếu f ∈ F(M ) thì df là 1−dạng vi phân xác định bởi

df (X) = X[f ], ∀f ∈ F(M )

ii) d2ω = 0

iii) Với mọi ω ∈ Ωk(M ), µ ∈ Ωl(M ), ta có

d(ω ∧ µ) = dω ∧ µ + (−1)kω ∧ dµ

Ta gọi dω là vi phân ngoài của dạng vi phân ω Trong trường hợp

dω = 0 thì ta nói ω là k−dạng đóng Như vậy, mọi dạng có bậc cực đạiđều đóng Trong trường hợp, tồn tại µ ∈ Ωk−1(M ) sao cho dµ = ω thì tanói ω là k−dạng khớp

1.1.5 Định lý ([17, tr.725]) Với mọi k−dạng vi phân ω ∈ Ωk(M ), ta códω(X1, ,Xk+1) =

k+1X

i=1(−1)i−1Xi[ω(X1, , cXi, , Xk+1)]+

+ X1≤i<j≤k+1

(−1)i+jω([Xi; Xj], X1, , cXi, , cXj, , Xk+1),

ở đây (X1, , Xi−1, Xi+1 , Xk+1) viết là (X1, , cXi, , Xk+1)

1.1.6 Định nghĩa ([17, tr.714])) Giả sử M, N là các đa tạp Riemann và

f : M → N là ánh xạ trơn Khi đó, ánh xạ:

f∗ : Ωk(N ) → Ωk(M )

ω 7→ f∗ωđược gọi là ánh xạ kéo lùi (pull-back) của k−dạng vi phân ω; trong đó

1.2 Liên thông trên đa tạp Riemann

Trong mục này M luôn được giả thiết là đa tạp Riemann với mêtricđược ký hiệu là g

1.2.1 Định nghĩa ([24, tr.51]) Giả sử M là đa tạp Riemann ´Anh xạ

∇ : B(M ) × B(M ) → B(M )

(X, Y ) 7→ ∇XY

được gọi là liên thông tuyến tính trên M nếu thỏa mãn các điều kiện sau:i) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ, ∀X, Y, Z ∈ B(M );

ii) ∇X+Y(Z) = ∇XZ + ∇YZ, ∀X, Y, Z ∈ B(M );

iii) ∇ϕX(Y ) = ϕ∇XY ; ∀X, Y ∈ B(M ), ∀ϕ ∈ F(M );

iv) ∇X(ϕY ) = X[ϕ]Y + ϕ∇XY, ∀X, Y ∈ B(M ), ∀ϕ ∈ F(M )

Giả sử {Uα, Xα}α∈I là bản đồ địa phương trên M với hệ tọa độ địaphương (x1, , xn) Ta ký hiệu Ei = ∂x∂

i, i = 1, 2, , n là các trường véctơ

cơ sở Ta có sự biểu diễn ∇EiEj =

nPk=1

ΓkijEk Khi đó, Γkij được gọi là thànhphần liên thông của ∇

Với mọi X, Y ∈ B(M ), X =

nPi=1

XiEi, Y =

nPj=1

YjEj, ta có sự biểu diễn

∇XY =

nX

i,j=1



XiYj

nX

1.2.2 Định nghĩa ([1, tr.115]) Đa tạp khả vi M được gọi là đa tạp khảsong nếu trên M tồn tại một trường mục tiêu {E1, E2, , En}, nghĩa là,với mọi p ∈ M, {E1, E2, , En} là một cơ sở của TpM Đặc biệt, Rn là đatạp khả song với trường mục tiêu

nPi=1

XiEi, Y =

nPj=1

YjEj,

ta đặt DXY =

nPi=1X[Yi]Ei Khi đó, D là liên thông tuyến tính trên M thỏamãn tính chất DEiEj = 0, ∀i, j = 1, 2, , n

Khi M = Rn, liên thông tuyến tính D xác định như trên gọi là liênthông tuyến tính chính tắc trên Rn

1.2.4 Ví dụ Gọi D là liên thông chính tắc trên R3, ta xét ∇XY = DXY +1

2X × Y, ∀X, Y ∈ B(R3), với X × Y là tích có hướng của X và Y Khi đó,

∇ là liên thông tuyến tính trên R3

1.2.5 Định nghĩa ([24, tr.67]) Cho M là đa tạp Riemann với là liênthông tuyến tính ∇ Liên thông ∇ gọi là tương thích với mêtric g nếu

X[g(Y, Z)] = g(∇XY, Z) + g(Y, ∇XZ), ∀X, Y, Z ∈ B(M ) (1.1)1.2.6 Định lý ([24, tr.67]) Giả sử M là đa tạp Riemann với là liên thôngtuyến tính ∇ Liên thông ∇ tương thích với mêtric khi và chỉ khi với mọitrường véctơ X và Y dọc đường cong c : I → M (I ⊂ R) , ta có

1.2.8 Định nghĩa ([24, tr.68]) Một liên thông tuyến tính ∇ trên M đượcgọi là liên thông đối xứng hoặc xoắn tự do (torsion free) nếu

∇XY − ∇YX = [X, Y ], ∀X, Y ∈ B(M )

1.2.9 Định lý ([24, tr.68], Định lý cơ bản của Hình học Riemann) Giả

sử M là đa tạp Riemann với mêtric g Khi đó, tồn tại duy nhất một liênthông tuyến tính ∇ trên M thỏa mãn các điều kiện sau:

1) ∇ là liên thông đối xứng;

2) ∇ tương thích với mêtric Riemann g

1.2.10 Định nghĩa ([24, tr.68]) Liên thông ∇ xác định trong Định lý1.2.9 được gọi là liên thông Levi-Civita hay liên thông Riemann trên M 1.2.11 Định nghĩa ([24, tr.68]) Giả sử M là đa tạp Riemann với là liênthông tuyến tính ∇ ´Anh xạ

T : B(M ) × B(M ) → B(M )

(X, Y ) 7→ T (X, Y ) = ∇XY − ∇YX − [X, Y ]được gọi là tenxơ xoắn của liên thông ∇ trên đa tạp Riemann M

1.2.12 Định nghĩa ([24, tr.117]) Giả sử M là đa tạp Riemann với là liênthông tuyến tính ∇ ´Anh xạ

R : B(M ) × B(M ) × B(M ) → B(M )

(X, Y, Z) 7→ R(X, Y, Z)được gọi là tenxơ cong của liên thông ∇ trên đa tạp Riemann M , trong

đó R(X, Y, Z) được xác định bởi

R(X, Y, Z) = ∇X∇YZ − ∇Y∇XZ − ∇[X,Y ]Z,với mọi X, Y, Z ∈ B(M )

1.3 Đạo hàm Lie của dạng vi phân

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất vềđạo hàm Lie của hàm số, đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàm Liecủa k−dạng vi phân trên đa tạp Riemann M ([9], [15], [17], [22], [39]).1.3.1 Định nghĩa ([1, tr 49]) Nhóm vi phôi một tham số (hay nhómmột tham số) các phép biến đổi khả vi trên M, đó là ánh xạ ϕ : R × M →

M, (t, x) 7→ ϕ(t, p) = ϕt(p) thỏa mãn các điều kiện sau:

1) Với mỗi t ∈ R, ϕt : M → M, p 7→ ϕt(p) = ϕ(t, p) ∈ M là vi phôi và

F0(p) = p, ∀p ∈ M ;

2) Với t, s ∈ R, p ∈ M, ta có ϕt+s(p) = ϕt(ϕs(p))

1.3.2 Định nghĩa ([1, tr 49]) Ký hiệu Iε = (−ε, ε), với ε > 0 và U làtập con mở của M Nhóm vi phôi một tham số địa phương (hay nhómmột tham số địa phương) trên M, đó là ánh xạ ϕ : Iε × U → M, (t, x) 7→ϕ(t, p) = ϕt(p) thỏa mãn các điều kiện sau:

1) Với mỗi t ∈ Iε, ϕt : U → M, p 7→ ϕt(p) = ϕ(t, p) ∈ M là vi phôi từ

U lên ϕt(U ) và F0(p) = p, ∀p ∈ U ;

2) Với t, s, t + s ∈ Iε và nếu p ∈ U, ϕs(p) ∈ U thì ϕt+s(p) = ϕt(ϕs(p)) 1.3.3 Chú ý ([1, tr 49]) Nhóm một tham số ϕt trên M sinh ra trườngvéctơ X xác định như sau: Với mỗi p ∈ M , ta lấy Xp là véctơ tiếp xúc vớiđường cong: ρ(t) = ϕt(p) tại p Đường cong này được gọi là quỹ đạo củađiểm p

1.3.4 Định lý ([1, tr 50]) Nếu X là trường véctơ khả vi trên đa tạp Mthì với mỗi p ∈ M, tồn tại một lân cận U của p, một số ε > 0 và nhómmột tham số địa phương ϕt : U → M, t ∈ Iε sinh ra trường véctơ X đãcho

Định lý này suy ra từ kết quả trong lý thuyết phương trình vi phân.Khi đó, ta nói rằng X sinh ra nhóm một tham số địa phương ϕt trong lâncận của điểm p Nếu tồn tại nhóm một tham số địa phương sinh ra trườngvéctơ X thì X được gọi là trường véctơ đầy đủ ([1, tr 50])

1.3.5 Định nghĩa ([17, tr 727]) Giả sử X ∈ B(M ), f ∈ F(M ) và ϕt lànhóm một tham số địa phương sinh ra bởi trường véctơ X Đạo hàm Liecủa hàm số f theo trường véctơ X, ký hiệu LXf và được xác định bởi

trường véctơ Y theo trường véctơ X, ký hiệu LXY và được xác định bởi

(ϕ−t)∗|

ϕt(p)Yϕt(p)

 t=0, ∀p ∈ M

1.3.8 Mệnh đề ([17, tr 733]) Cho X, Y ∈ B(M ) và f ∈ F(M ) Khi đói) LX(Y + Z) = LXY + LXZ;



ϕ∗tωϕt(p)

t=0, ∀p ∈ M,

ở đây ϕ∗t là ánh xạ kéo lùi k−dạng vi phân ω

vi phân ω, trong đó iXω được xác định bởi

(iXω)(X1, , Xk−1) = ω(X, X1, , Xk−1), ∀X1, , Xk−1 ∈ B(M )

i) i2X = 0;

ii) iXiY + iYiX = 0;

iii) iX(ω ∧ µ) = iXω ∧ µ + (−1)kω ∧ iXµ

1.3.14 Định lý ([17, tr.728]) Giả sử X, X1, X2, , Xk ∈ B(M ); ω ∈ Ωk(M ).Khi đó, đạo hàm Lie của k-dạng vi phân ω theo trường véctơ X được xácđịnh bởi công thức

(LXω)(X1, , Xk) = LX(ω(X1, , Xk)) −

kX

i=1ω(X1, , LXXi, , Xk)

(1.2)1.3.15 Định lý ([17, tr.730]) Giả sử ω ∈ Ωk(M ) và X ∈ B(M ) Khi đó

LXω = diXω + iXdω (1.3)Công thức (1.3) được gọi là công thức Cartan

1.3.16 Mệnh đề ([17, tr.728-732]) Giả sử ω ∈ Ωk(M ); X, Y ∈ B(M ).Khi đó

i) LX ◦ d = d ◦ LX;

ii) i[X,Y ] = LXiY − iYLX;

iii) L[X,Y ]ω = LXLYω − LYLXω;

iv) LXiXω = iXLXω

1.3.17 Mệnh đề ([17, tr.732]) Giả sử ω ∈ Ωk(M ), ϕ ∈ F(M ) và X, Y làcác trường véctơ trơn trên M Khi đó

LX(ω ∧ µ) = LXω ∧ µ + ω ∧ LXµ

1.3.19 Định lý ([26, tr.137], Định lý đạo hàm Lie) Giả sử X ∈ B(M ),

ϕt nhóm một tham số địa phương sinh bởi trường véctơ X và ω ∈ Ωk(M ).Khi đó

ϕ∗tLXω (1.5)

Sau đây là ứng dụng của định lý đạo hàm Lie đối với hàm số (ω = f ∈

Ω0(M ) = F(M )) để tìm nghiệm của phương trình vi phân trên Rn+1 dạng

∂f

∂t (x, t) =

nX

i=1

Xi(x)∂f

∂xi(x, t) (1.6)với điều kiện đầu f (x, 0) = g(x) và X1, X2, , Xn, g(x) là các hàm khả vi.1.3.20 Định lý ([4, tr.238]) Giả sử ϕt là nhóm một tham số được sinhbởi trường véctơ X = (X1, , Xn) Khi đó, f (x, t) = g (ϕt(x)) là nghiệmcủa phương trình (1.6)

Chứng minh ´Ap dụng định lý đạo hàm Lie trong trường hợp ω là hàm số,

1.3.21 Ví dụ Tìm nghiệm của phương trình vi phân

Giải Nhóm một tham số sinh bởi trường véctơ X = (x + y, −x − y) là

ϕt(x, y) = ((x + y)t + x, −(x + y)t + y) Do đó, áp dụng Định lý 1.3.20,

ta được nghiệm của phương trình vi phân đã cho là:

f (x, y, t) = g (ϕt(x, y)) = 2(x + y)2t2+ x2+ y2+ 2(x2− y2)t

1.3.22 Định nghĩa ([26, tr.127]) Trường véctơ phụ thuộc thời gian trên

đa tạp M là ánh xạ X : R × M 7→ T M sao cho X(t, p) ∈ TpM với mọi(t, p) ∈ R×M ; nghĩa là Xt ∈ B(M ), trong đó Xt(p) = X(t, p), với mọi p ∈

M Nhóm một tham số phụ thuộc thời gian Ft,s sinh bởi trường véctơ Xtđược xác định bởi ánh xạ t 7→ Ft,s(p) là đường cong tích phân của X điqua p tại thời điểm t = s, nghĩa là

d

dtFt,s(p) = X (t, Ft,s(p)) = Xt(Ft,s(p)) và Fs,s(p) = p. (1.7)1.3.23 Chú ý ([26, tr.127]) i) Do tính duy nhất của đường cong tích phânnên ta có Ft,s◦ Fs,r = Ft,r và Ft,t = id;

ii) Ft∗Xt 6= Xt, với Ft = Ft,0

1.3.24 Định lý ([26, tr.137]), Định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gianthứ nhất đối với dạng) Giả sử Xt ∈ B(M ) là trường véctơ phụ thuộc thờigian trên M và Ft,s là nhóm một tham số phụ thuộc thời gian sinh bởitrường véctơ Xt Khi đó, với mọi ω ∈ Ωk(M ), ta có

ddτ

... Ωk(M ).Khi

ϕ∗tLXω (1.5)

Sau ứng dụng định lý đạo hàm Lie hàm số (ω = f ∈

Ω0(M ) = F(M )) để tìm nghiệm phương trình vi phân Rn+1... (ϕt(x)) nghiệmcủa phương trình (1.6)

Chứng minh ´Ap dụng định lý đạo hàm Lie trường hợp ω hàm số,