Các MD5 đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều và k biểu diễn của các MD5 nhóm liên thông tương ứng

b Mô tả hình học các K-quỹ đạo của toàn bộ lớp con các MD5-nhóm liên thông tương ứng với các MD5-đại số kể trên Kết quả này đã được báo cáo tại Hội thảo quốc tế về Đại số và Tổ hợp lần t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

2007

I Cá nhân cùng tham gia thực hiện đề tài

Dương Quang Hòa, học viên cao học khóa 15 chuyên ngành Hình học - Tô pô

II Các cơ quan phối hợp chính

1 Viện Toán học, Viện khoa học và Công nghệ quốc gia ( do Giáo sư Tiến sỹ

khoa học Đỗ Ngọc Diệp đại diện )

2 Khoa Toán, trường Khoa học, Đại học Mahidol, Bangkok Thailand ( do Tiến

sỹ Nguyên Văn Sanh đại diện )

MỤC LỤC

Trang

TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU i

SUMMARY iii

LỜI CẢM ƠN v

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI 1

CÁC BÀI BÁO Bài báo thứ nhất 5

Bài báo thứ hai 17

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

- i -

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

Tên đề tài: Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều và K-biểu

diễn của các MD5-nhóm liên thông tương ứng

Mã số: CS2007.19.05

Chủ nhiệm đề tài: PGS-TS Lê Anh Vũ Tel: (08) 8436496, 0913900689

E-mail: leanhvu@vn-mail.net, leanhvu58@yahoo.com

Cơ quan chủ trì đề tài : Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM

Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện :

• Dương Quang Hòa, học viên cao học Toán KI 5 chuyên ngành Hình học - Tô

pô của trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh

• Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Quốc gia (do GS-TSKH Đỗ Ngọc Diệp đại diện)

• Khoa Toán, trường Khoa học, Đại học Mahidol Bangkok, Thailand (do TS Nguyễn Văn Sanh đại diện)

Thời gian thực hiện: Từ tháng 04/2007 đến hết tháng 04/2008

1 Mục tiêu

Đề tài nhằm nghiên cứu các nhóm Lie và đại số Lie thuộc lớp MD5 Liệt kê

và phân loại một bộ phận của lớp này Mô tả K-biểu diễn của chúng

- ii -

Kết quả chính đạt được (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tê-xã hội)

3.1 Các kết quả về khoa học cơ bản

a) Liệt kê và phân loại toàn bộ lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất bốn

chiều giao hoán (Kết quả này đã được bảo cáo tại Hội thảo quốc tế về Đại

số và Tổ hợp lần thứ hai tại Bắc kinh , Trung quốc, 6-10/07/2007 đồng thời được nhận đăng trên tạp chí khoa học trường Đại học sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh năm 2007)

b) Mô tả hình học các K-quỹ đạo của toàn bộ lớp con các MD5-nhóm liên

thông tương ứng với các MD5-đại số kể trên (Kết quả này đã được báo cáo tại Hội thảo quốc tế về Đại số và Tổ hợp lần thứ hai tại Tây An, Trung quốc, 12-14/07/2007 đồng thời được nhận đăng trên tạp chí khoa học

trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh năm 2007)

3.2 Kết quả về đào tạo

Với các kết quả về khoa học cơ bản nêu trên, chúng tôi hướng dẫn anh Dương Quang Hòa (học viên cao học Toán khóa 15 chuyên ngành Hình học -

Tô pô của trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh) hoàn thành luận

văn Thạc sỹ Toán và sẽ bảo vệ vào tháng 1 0 năm 2007

- iii -

Project Title: On MD5-algebras which have 4-dimensinal commutative derived ideals and the K-representation of corresponding connected MD5-groups

Code number: CS2007.19.05

Coordinator: Ass Prof Dr Le Anh Vu

Implementing Institution : Ho Chi Minh City University of Pedagogy

Cooperating Institution(s):

 Duong Quang Hoa, Graduate student K 15 of Ho Chi Minh City university

of Pedagogy, speciality of Geometry - Topology

 Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science anf Technology (represented by Prof Dr of Science Do Ngoc Diep)

 Department of Mathematics, Faculty of Science, Mahidol University,

Bangkok Thailand (represented by Dr Nguyen Van Sanh)

Duration: from April 2007 to April 2008

1 Objectives : Research and Classify MD5-algebras and MD5-groups Describe

the K-representation of them

a) The classification up to an isomorphism of all MD5-algebras with the derived

ideals is a 4-dimensional commutative Lie algebra ( t o appear

- iv -

in Journal of Science-Natural Sciences of Ho Chi Minh City University of Pedagogy, 2007)

b) The description the geometry of K-orbits of corresponding subclass of

connected MD5-groups (to appear in Journaỉ of Science-Natural Sciences

of Ho Chi Mình City University of Pedagogy, 2007)

 Tác giả hân hạnh được cám ơn Đại học Beihang, Bắc Kinh, Trung Quốc (BeiHang University, Beijing, China), đặc biệt là Giáo sư giáo sư Shangzhi

Li đã mời tác giả tham dự và đọc báo cáo kết quả nghiên cứu tại Hội thảo quốc tế

lần thứ hai về Đại số và Tổ hợp (ICAC-07) ở Bắc kinh, Trung Quốc trong các ngày 6-10 tháng 7 năm 2007

 Tác giả chân thành cám ơn Đại học Kiến trúc và Kỹ thuật, Tây An, Trung Quốc (Xi'an University of Architecture and Technology, China), đặc biệt là Giáo sư Karping Shum và Giáo sư Xueming Ren đã mời tác giả tham dự và đọc báo cáo kết quả nghiên cứu tại Hội thảo quốc tế lần thứ hai về Đại số và

Tổ hợp (ICAC-07) ở Tây An, Trung quốc trong các ngày 12-15 tháng 7 năm

2007

 Tác giả xin tỏ lòng biết ơn Giáo sư Tiến sỹ khoa học Đỗ Ngọc Diệp, người thầy đáng kính luôn dành cho tác giả sự động viên khích lệ và sự tài trợ vật chất quý giá giúp tác giả hoàn thành đề tài

 Tác giả cũng xin chân thành cám ơn Tiến sỹ Nguyễn Hà Thanh, Tiến sỹ Huỳnh Quang Vũ đã đọc kỹ bản báo cáo đề tài và cho những nhận xét xác đáng Cám ơn Tiến sỹ Nguyễn Văn Sanh, Phó Giáo sư Tiến sỹ Bùi Xuân Hải đã thường xuyên quan tâm động viên tác giả trong nghiên cứu đề tài

Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

Lê Anh Vũ 1

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI

1 Xuất xứ và tính cấp thiết của đề tài

Trong lĩnh vực Hình học - Tô pô, lý thuyết biểu diễn nhóm Lie là một hướng nghiên cứu lớn và có rất nhiều ứng dụng trong Cơ học, Vật lý Năm 1962, Kirillov (xem [Ki]) phát minh ra phương pháp quỹ đạo và nó nhanh chóng trở thành phương pháp hiệu quả nhất để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn bất khả quy unitar của mỗi

nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ các K - quỹ đạo nguyên của nó Trong

khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov được nghiên cứu cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie bởi nhiều nhà Toán học trên thế giới như L Auslander, B Kostant, Đỗ Ngọc Diệp,

Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ là các K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (còn gọi là K-biểu diễn) Do đó, việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông giải được, đặc biệt có ý nghĩa trong

lý thuyết biểu diễn nhóm Lie

Các nhóm Lie và đại số Lie giải được có cấu trúc không quá phức tạp, tuy nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để Năm

1980, trong quá trình nghiên cứu vấn đề tìm lớp các C*- đại số hoặc lớp các nhóm Lie mà C*- đại số của chúng có khả năng mô tả được bàng phương pháp KK-hàm

tử, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được mà rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo Đó là lớp các MD-nhóm và MD-đại số Một nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ đạo của nó hoặc không chiều hoặc chiều cực đại được gọi là MD-nhóm Ngay lập tức

một bài toán lớn được đặt ra là phân loại các MD-đại số đồng thời mô tả C*- đại

số của các MD-nhóm băng phương pháp KK-hàm tử

Việc phân loại lớp các MD-đại số đến nay vẫn còn là một bài toán mở Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp các MD-nhóm và MD-đại số theo số chiều Tức là xét các lớp con MDn-nhóm (và MDn-đại số) gồm các MD-nhóm (và MD-đại số) n-chiều Dễ thấy rằng tất cả các đại số Lie dưới 4-chiều đều là các MD-đại số và đã được liệt kê hết từ lâu nên ta chỉ xét các lớp MDn-nhóm và MDn-đại số với n>4

Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tr]) đã liệt kê toàn bộ lớp các MD4-đại số Đến năm 1990, lớp các MD4-đại số được chúng tôi (xem các tài liệu [Vu2], [Vu3], [Vu4]) phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) Hiện tại, lớp các MD5-đại số vẫn chưa được liệt kê và phân loại đầy đủ

Mặt khác, về phương diện hình học, nếu bỏ đi các K-quỹ đạo 0-chiều, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD-nhóm liên thông có những tính chất

Lê Anh Vũ 2

hoàn toàn giống như họ các lá của một không gian phân lá Điều này gợi cho chúng ta xét các phân lá tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD-nhóm Như vậy, có thể kết hợp việc nghiên cứu K-biểu diên của các MD-nhóm và MD-đại số với các phân lá

Khái niệm về không gian phân lá lần đầu tiên xuất hiện khi khảo sát các lời giải của một hệ khả tích các phương trình vi phân thường Kể từ công trình của Reeb [Re] năm 1952, các phân lá mới thực sự trở thành đối tượng nghiên cứu mang tính chất hình học và nhanh chóng phát triển thành ngành tôpô phân lá - một ngành thuộc lĩnh vực Hình học - Tô pô

Năm 1982, A Connes (xem [Co]) đưa ra khái niệm độ đo hoành rất thích hợp đối với việc nghiên cứu các phân lá Ta gọi mỗi phân lá với một

độ đo hoành đã cho trên nó là phân lá đo được Để nghiên cứu tô pô phân lá một cách hiệu quả, Connes liên kết mỗi phân lá đo được với một C*-đại số

mà được gọi là C*-đại số của phân lá đó Điều đáng lưu ý là họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD-nhóm liên thông đều lập thành một phân lá

đo được Chúng ta gọi đó phân lá đó là MD-phân lá lien kết vớ MD-nhóm

đang xét Từ đây nảy sinh bài toán lớn là mô tả cấu trúc C *-đại sổ của các

MD-phân lá bằng phương pháp KK-hàm tử Bài toán này có ý nghĩa khoa

học rất lớn vì nó kết hợp được phương pháp quỹ đạo nổi tiếng của Kirillov với ý tưởng đặc sắc của Connes trong Hình học vi phân không giao hoán Trong khoảng thời gian từ 1987 đến 1990, chúng tôi quan tâm giải quyết các bài toán liên quan đến lớp MD4 Cụ thể, luận án tiến sỹ của chúng

tôi (xem [Vui]) đã giải quyết các vấn đề sau: phân loại triệt để (chính xác

đến đẳng cấu đại số Lie) toàn bộ lớp MD4-đại số; mô tả triệt để hình học các K-quỹ đạo của mọi MD4-nhóm liên thông đơn liên; phân loại tô pô toàn

bộ lớp MD4-phân lá tương ứng với lớp MD4-nhóm đồng thời mô tả tất cả các C *- đại số liên kết với từng MD4-phân lá bằng phương pháp KK-hàm

tử Nói một cách vắn tắt, bài toán nghiên cứu lớp MD4 xem như đã được

giải quyết trọn vẹn về phương diện Tôpô - Hình học và đại số toán tử! Kể từ thời điểm đó, có thể bắt đầu "tấn công" lớp MDn với n ≥ 5

Phương pháp và công cụ nghiên cứu cho trường hợp MD5 về cơ bản vẫn như trường hợp MD4 nhưng vì số chiều tăng lên 1 đơn vị nên mọi tính toán trở nên phức tạp hơn nhiều Do đó việc nghiên cứu đòi hỏi tốn nhiều thời gian và cần công sức đóng góp của nhiều người Cho đến trước năm

2003, không một MD5-đại số bất khả phân nào được biết đến

Chú ý rằng, điều kiện cần (nhưng không đủ) để một đại số Lie  thuộc

lớp MD là ideal dẫn xuất thứ hai 2

= [,,] , [, G]] của nó giao hoán

(xem [So-Vi]) Do đó để tiếp cận các MD5- đại số, trước hết ta xét các đại số Lie giải được 5 chiều với 2

tầm thường, tức là 1

: = [,] giao hoán

Trong mấy năm gần đây, từ 2003 đến 2006, chúng tôi đã phân loại được tất

cả các MD5- đại số với ideal dẫn xuất giao hoán không quá ba chiều, mô tả hình học K- biểu diễn của các MD5-nhóm liên thông bất khả phân tương ứng và xét các MD5-phân lá tương

Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

Lê Anh Vũ 3

ứng với các MD5-nhỏm đã xét (xem [Vu5], [Vu6], [Vu-Tr], [Vu-Th]) Như vậy,

để hoàn thành việc phân loại các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán, yêu

cầu cấp thiết đặt ra là nhanh chóng nghiên cứu các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều Chính vì những lý do trên, chúng tôi đăng ký thực hiện đề tài "Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều và K-biểu

diễn của các MD5-nhóm liên thông tương ứng"

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài này là tìm các MD5-đại số và MD5-nhóm mới với ideal dẫn xuất bốn chiều rồi nghiên cứu K-biểu diễn của chúng

3 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sẽ tiếp cận và nghiên cứu đề tài bằng phương pháp kết hợp các

kỹ thuật liệt kê kinh điển các đại số Lie số chiều thấp với các tính toán hình họ -

tô pô và giải tích trong K-biểu diễn

4 Phạm vi và nội dung nghiên cứu

Về phạm vi nghiên cứu, chúng tôi giới hạn chỉ xét các MD5-đại số bất khả phân với ideal dẫn xuất giao hoán bổn chiều vì việc nghiên cứu các MD5-đại sổ khả phân dễ dàng quy về trường hợp MD4 Khi mô tả K-quỹ đạo, ta cũng chỉ cân xét các MD5-nhóm liên thông đơn liên bất khả phân vì mỗi MD5-nhóm liên thông có bức tranh K-quỹ đạo hoàn toàn giống với phủ đơn liên của nó Cụ thể nội dung nghiên cứu của đề tài bao gồm hai bước dưới đây

• Bước 1: Liệt kê và phân loại các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều

• Bước 2: Mô tả bức tranh hình học các K-quỹ đạo của mỗi MD5-nhóm liên thông đơn liên ứng với MD5—đạỉ sổ đã liệt kê

Các kết quả chính mà chúng tôi nhận được là:

1 Liệt kê đầy đủ và phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) lớp con tất

cả các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều (xem bài báo thứ

nhất; §3, Định lý 3.2)

2 Mô tả hình học các K-quỹ đạo của toàn bộ lớp con các MD5-nhóm liên thông đơn liên bất khả phân tương ứng với các MD5-đại số mà ideal dẫn xuất bốn chiều giao hoán (xem bài báo thứ hai, §3, các định lý 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3,

3.3.4 và mệnh đề 3.4.2)

Đây là những kết quả mới và có nhiều ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu lớp MD5 nói riêng, lớp các đại số Lie và nhóm Lie giải được nói chung Chúng tôi đã báo cáo các kết quả này tại Hội thảo quốc tế lần thứ hai về Đại số & Tổ hợp lần lượt ở Bắc kinh 6-10/07/2007 và ở Tây An 11-14/07/2007 Đồng thời

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 9 năm 2007

Chủ nhiệm đề tài

CÁC BÀI BÁO VIẾT VỀ CÁC KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

§1 LỊCH SỬ VẤN ĐỀ

1.1 MD-đại số là gì? Tại sao cần nghiên cứu lớp MD-đại số ?

Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán mô tả cấu trúc các C*- đại số bằng phương pháp K-hàm tử

Năm 1943, I Gelfand và A Naimark [Ge-Na] đưa ra khái niệm C*- đại

số Các C*- đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học cũng như trong Vật lý, Cơ học Tuy nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc C*- đại số trong trường hợp tổng quát lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là bài toán

phương pháp của Đỗ Ngọc Diệp (Diep's method) Năm 1975, J Rosenberg [Ro]

đã sử dụng phương pháp này để mô tả C*-đại số C*(AffC) của nhóm các phép biến đổi Affine trên đường thẳng phức C và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác Năm 1977, Đỗ Ngọc Diệp [Di] đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc mô tả C*-đại số của các nhóm Lie khác cũng như các C*-đại số khác nữa Một cách tự nhiên nảy sinh hai vấn đề lớn

• Vấn đề 1: Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có thể mô tả được một lớp rộng hơn các C*-đại số

• Vấn đề 2: Đi tìm lớp các C*-đại số hoặc lớp các nhóm Lie mà C*-đại số của chúng có khả năng mô tả được bằng các K-hàm tử mở rộng

Năm 1980, G G Kasparov [Ka] đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành

công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán

tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Ngay sau

Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

Lê Anh Vũ 6

đó, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử của mình để mô tả C*-đại số C*(H3) của nhóm Heisenberg H3

Vấn đề thứ hai có liên quan mật thiết với một phương pháp nổi tiếng và

đóng vai trò then chốt trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie - đó là phương pháp quỹ đạo do Kirillov khởi xướng vào năm 1962 Năm 1980, chính phương pháp quỹ đạo của Kirillov đã gợi ý để Đỗ Ngọc Diệp đề nghị xét lớp các MD- đại số

và MD- nhóm Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K- quỹ đạo

nên nói chung C*-đại số của chúng có thể mô tả được nhờ các KK- hàm tử Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số tự nhiên

dương) G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không

chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n Khi k = n thì G còn được gọi là một MDn -nhóm Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm

(tương ứng MDn - nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số) Rõ ràng lớp MD là con của lớp MD Đến đây, một bài toán lớn được đặt ra

là phân loại các MD-đại số đồng thời mô tả C*-đại số của các MD - nhóm bằng phương pháp KK-hàm tử

Năm 1984, Hồ Hữu Việt [So-Vi] đã phân loại triệt để các MD-đại số Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán Rn, đại số Lie (AffR) và đại số Lie (AffC) Ngay sau đó, Hồ Hữu Việt đã dùng phương pháp KK-hàm tử để mô tả

C* AffC của AffC, ở đó AffC là phủ phổ dụng của nhóm AFFC Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đỗ Ngọc Diệp và Rosenberg, bài toán đối với các MD -đại số và MD -nhóm xem như đã được giải quyết triệt để

Thế còn các MD-đại số và MD-nhóm thì sao? Đáng tiếc là đối với chúng, vấn đề trở nên phức tạp hơn nhiều Chú ý rằng mọi nhóm (tương ứng đại số) Lie thực giải được không quá 3 chiều đều là MD-nhóm (tương ứng MD-đại số), hơn nữa chúng đã được liệt kê hết từ lâu trong lý thuyết đại số Lie Bởi vậy chúng ta chỉ cần bắt đầu từ các MDn-đại số và MDn-nhóm với n ≥ 4

Ngoài ra, chúng ta quan tâm nghiên cứu các MD-nhóm và MD-đại số còn do

sự kiện quan trọng sau đây: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ đạo chiều cực

đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A Connes [Co] Các phân lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD-nhóm đã xét Phân

lá là khái niệm xuất xứ từ lý thuyết các phương trình vi phân nhưng kể từ công trình của G Reeb [Re] năm 1952, lý thuyết các phân lá đã trở thành một nhánh thuộc lĩnh vực Tô pô - Hình học và nhanh chóng phát triển Năm 1982, nghiên cứu các đa tạp phân lá, A Connes [Co] đưa ra khái niệm phân lá đo được và gắn mỗi phân lá đo được với một C*-đại số mà được gọi là C*- đại số của phân lá đó Lập tức nảy sinh câu hỏi là liệu các C*-đại số phân lá có thích hợp với phương pháp KK-hàm tử hay không? Câu trả lời là khẳng định Năm 1985,

A M Torpe [To] đã dùng các KK-hàm tử để mô tả thành công C*-đại số của

các phân lá Reeb trên xuyến 2 chiều Đến đây, lại xuất hiện thêm bài toán mô tả C*-đại số của các MD-phân lá

Đó chính là các lý do cơ bản để chúng ta quan tâm nghiên cứu lớp các đại số và MD-nhóm

MD-Lê Anh Vũ 7

1.2 Các két quả trước đây liên quan trực tiếp đến bài báo

• Giải quyết triệt để lớp MD4 Cụ thể là phân loại tất cả các MD4-đại số, mô tả hình học K-biểu diễn của các MD4-nhóm liên thông bất khả phân, phân loại tô pô tất cả các MD4-phân lá đồng thời mô tả tất cả các C*-đại số của các MD4-phân lá bằng phương pháp KK-hàm tử (xem [Vui], [Vu2], [Vu3])

• Phân loại các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều không quá 3, mô

tả hình học K-biểu diễn của các MD5-nhóm liên thông bất khả phân tương ứng và

xét các MD5-phân lá tương ứng với các MD5- đã xét (xem [Vu4], [Vu5], [Vu-Tr], [Vu-Th])

1.3 Tóm tắt kết quả chính của bài báo

Bài báo sẽ cho một phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) tất cả các MD5-đại số với ideal dẫn xuôi giao hoán 4 chiều

Trước khi phát biểu và chứng minh kết quả chính, chúng ta sẽ nhắc lại một

số khái niệm có liên quan để bạn đọc tiện theo dõi

2.1 Biểu diễn phụ hợp, K-biểu diễn và dạng song tuyến Kirillov

2.1.1 Biểu diễn phụ hợp

Cho G là một nhóm Lie tuy ý và  là đại sổ Lie của nó Giả sử G tác động lên bởi Ad: GAut được định nghĩa như sau:

 g g1Ad(g) : L R  :  ,  g G

trong đó L g (tương ứng Rg  1) là phép tinh tiến trái (tương ứng, phải) của G theo phân tử gG (tương ứng, Rg  1G) Tác động Ad còn gọi là biểu diễn phụ hợp

của G trong 

2.1.2 Biểu diễn đối phụ hợp

Ký hiệu * là không gian đối ngẫu của  Khi đó biểu diễn Ad cảm sinh ra

tác động K: GAut*

của G lên * theo cách sau đây:

<K(g)F, X > : = < F, Ad (g-1) X > ,  F *,  F ,  F G

Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

Lê Anh Vũ 8

ở đó với mỗi F*, X, ký hiệu < F, X > chỉ giá trị của dạng tuyển tính F

* tại trường vectơ (bất biến trái) X Tác động K được gọi là K-biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong * Mỗi quỹ đạo ứng với K- biểu diễn được gọi

là K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong *) Như vậy, K-quỹ đạo F chứa phần tử F được cho bởi

QF: = { K ( g ) F / g e G } Mỗi K-quỹ đạo của G luôn là một G-đa tập vi phân thuần nhất với số chiều chẵn và trên đó có thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên (tương thích với tác động của G) cảm sinh bởi dạng song tuyến tính phản xứng Kirillov

2.1.3 Dạng song tuyến tính Kirillov

Với mỗi F*, ta xác định dạng BF như sau:

BF(X, Y): = <F, [X, Y]>, X, Y 

Hiển nhiên BF là dạng song tuyến tính phản xứng vì móc Lie có tính chất

đó Ký hiệu GF là cái ổn định hóa của F dưới tác động K của G trong *

, tức là

GF: = { g e G / K ( g ) F = F } Đặt F: = Lie (GF) là đại số Lie của GF Đại số Lie F và dạng song tuyến

tính Kirillov BF có quan hệ mật thiết với nhau, hơn nữa chúng rất có ích trong việc xác định số chiều của K-quỹ đạo F chứa F

2.1.4 Mệnh đề (xem [Ki]) Hạt nhân của B F và số chiều của Q F được cho bởi các

hệ thức sau đây:

KerBF = Fvà dimF = dim - dimF 

2.2 Các MD-nhóm và MD-đại số

2.2.1 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là

một số tự nhiên dương nào đó) G được gọi là một MDn-nhóm nếu

Lê Anh Vũ 9

các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn)

nào đó không vƣợt quá n

2.2.2 Định nghĩa Đại số Lie của mỗi MDn - nhóm đƣợc gọi là một MDn-đại số

2.2.3 Mệnh đề (xem [So-Vi]) Điều kiện cần để đại số Lie giải được  thuộc lớp MD-đại số là ideal dẫn xuất thứ hai

: = [1

, 1 ] = [ [,  ], [, ] ]

của nó giao hoán 

Chú ý rằng điều kiện cần nêu trên không phải là điều kiện đủ Nói một cách khác, có những đại số Lie giải đƣợc với ideal dẫn xuất thứ hai giao hoán, thậm chí triệt tiêu nhƣng vẫn không phải là MD- đại số Tuy nhiên, nhờ điều kiện này, để phân loại các MD- đại số, ta chỉ cần xét các đại số Lie giải đƣợc với .2 giao hoán

Nói riêng có thể xét lớp con các đại số Lie giải đƣợc với .2 triệt tiêu, tức là ideal

dẫn xuất thứ nhất .1 giao hoán Gần đây, trong [Vu4], [Vu5], [Vu-Tr], [Vu-Th] tác giả đã xét các MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ nhất giao hoán không quá 3 chiều Bài này sẽ phân loại nốt các MD5-đại số với 1

giao hoán 4 chiều

§3 KẾT QUẢ CHÍNH

3.1 Các ký hiệu

Từ đây về sau,  sẽ là ký hiệu để chỉ một đại số Lie thực giải đƣợc 5 chiều

Ta luôn chọn một cơ sở thích hợp ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) trong  Lúc đó, với tƣ

cách là một không gian vectơ 5 chiều,  5

Không gian đối ngẫu của  đƣợc

Giả sử  là một MD5-đại số với 1

: = [,] 4(đại số Lie giao hoán 4 chiều)

• Nếu  khả phân thì nó có dạng  = h, ở đó h là một MD4-đại số

• N ế u  bất khả phân thì ta luôn có thể chọn được một cơ sở thích hợp

( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) trong  sao cho ’ = < X 2 , X 3 , X 4 , X 5 > R4

Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

Lê Anh Vũ 11

Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều……

Lê Anh Vũ 12

3.3 Phép chứng minh của định lý

3.3.1 Bổ đề

Mỗi đại số Lie thực hiện 5 chiều  với ideal dẫn xuất thứ nhất 1

giao hoán 4 chiều đều là MD5-đại số

3.3.2 Chứng minh bổ đề

Giả sử  là một đại số Lie thực 5 chiều với 1

= 4 Hiển nhiên là ta luôn chọn đƣợc một

cơ sở ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) thích hợp trong  sao cho

với cơ sở đối ngẫu  * * * * *

Lê Anh Vũ 13

ở đó (.)T

chỉ phép lấy chuyển vị ma trận, còn B là ma trận sau đây

Suy ra dim F = dim = dimF = rank(B) Tính toán trực tiếp, ta đƣợc:

Dễ thấy rằng rank(B) {0, 2} Do đó F chỉ hoặc không chiều hoặc 2 chiều Vậy  là

MD5-đại số 

3.3.3 Chứng minh định lý

Bây giờ phép chứng minh định lý dựa vào phân loại đồng dạng của ma trận thực cấp bốn adX1 Chú ý rằng trong dạng chuẩn tắc của ma trận adX1, ta luôn có thể đổi cơ sở một cách thích hợp để cho một trong các giá trị riêng thực hoặc mô đun của giá trị riêng phức của

adX1 bằng một Từ đó ta nhận đƣợc đúng 14 dạng khác nhau của adX1 nhƣ đã liệt kê trong định lý 3.2 Hơn nữa hai đại số ứng với hai dạng khác nhau của adX1 không đẳng cấu Định lý 3.2 đƣợc chứng minh hoàn toàn 