luận án đạo hàm lie của dòng và liên thông (TT)

Phép đạo hàmLie trên đa tạp là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu về các bài toán đa tạp con có thể tích cực tiểu địa phương, xác định các độ cong, độ xoắn của đa tạp Riemann.Đạo hàm Lie

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI CAO VÂN

ĐẠO HÀM LIE CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 62 46 01 05

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2016

Tập thể hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Nguyễn Hữu Quang

2 PGS TS Kiều Phương Chi

vào hồi ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

1 Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh

2 Thư Viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Lý thuyết đạo hàm Lie là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của toán họchiện đại, xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ trước trong các công trình nghiêncứu của Slebodzinski, Dantzig, Schouten và Van Kampen Đây là lĩnh vực đã và đangđược sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước Phép đạo hàmLie trên đa tạp là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu về các bài toán đa tạp con

có thể tích cực tiểu địa phương, xác định các độ cong, độ xoắn của đa tạp Riemann.Đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như tìmnghiệm của các phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, hệ động lực, hệHamilton Ngoài ra, đạo hàm Lie cũng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoahọc khác như: Cơ học lượng tử, khoa học máy tính, sinh học, kinh tế,

1.2 Lý thuyết dòng là một lý thuyết của ngành Hình học - Tôpô Từ cuối nhữngnăm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự hình thành và phát triển của lý thuyết các khônggian phức hyperbolic, lý thuyết dòng đã có những bước tiến mạnh mẽ và được ứngdụng sâu sắc trong giải tích phức nhiều biến, hình học giải tích, hình học đại số, hệđộng lực Việc sử dụng lý thuyết dòng trong các nghiên cứu về thể tích cực tiểucủa k−mặt trên đa tạp Riemann có thể tìm thấy trong các công trình nghiên cứucủa A T Fomenko, Havey, Đào Trọng Thi, Lê Hồng Vân

1.3 Các phép đạo hàm trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong việc mô tả cácđặc trưng hình học của đa tạp đó Chính vì vậy, mà việc nghiên cứu nó đã và đangđược nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm Mặc dù cho đến nay đã cónhiều kết quả quan trọng nhưng đây vẫn là vấn đề cơ bản và mang tính thời sự, thuhút ngày càng nhiều nhà toán học nghiên cứu vì tính thực tiễn và ứng dụng trongkhoa học kỹ thuật Năm 2010, Sultanov đã trình bày các tính chất cơ bản của cácđạo hàm Lie và ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và độ xoắn trên cácđại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị Trong trường hợp riêng, đạo hàm Lie được

sử dụng trong các nghiên cứu về các tính chất hình học trên đa tạp Trong nhữngnăm gần đây, đạo hàm Lie đã được nhiều nhà toán học quan tâm, chẳng hạn: K.Habermann, A Klein (2003); L Fatibene, M Francaviglia (2011); R P Singh, S D.Singh (2010); A Ya Sultanov (2010); J D Pérez (2014)

Nhằm thiết lập khái niệm đạo hàm Lie cho dòng và liên thông trên các đa tạp,đồng thời nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của chúng, chúng tôi chọn đề tàinghiên cứu cho luận án của mình là: "Đạo hàm Lie của dòng và liên thông"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đa tạp như: Đạohàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, viphân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông nhằm bổ sungmột số tính chất hình học trên đa tạp Riemann, đồng thời chúng tôi cũng chỉ ra một

số ứng dụng của chúng

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng,đạo hàm Lie của các liên thông trên đa tạp Riemann

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của hình học Riemann,

lý thuyết dòng, giải tích hàm, lý thuyết liên thông và lý thuyết nhóm Lie trong quátrình thực hiện đề tài

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án đã đạt được một số kết quả về đạo hàm Lie trên đa tạp Riemann như:Đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng,đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạohàm Lie của liên thông pháp dạng nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên

đa tạp Đồng thời, áp dụng các kết quả thu được vào việc chứng minh định lý vậnchuyển, công thức đồng luân đối với dòng và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu.Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học vànghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô

7 Tổng quan và cấu trúc của luận án

7.1 Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án

Đa tạp Riemann là khái niệm cơ sở của toán học hiện đại Khái niệm này xuấthiện vào nửa cuối thế kỷ 19 Hình học trên các đa tạp đó có nhiều ứng dụng trong cáclĩnh vực khác nhau của toán học như: Giải tích, lý thuyết hệ động lực và các ngành:Vật lý, các ngành khoa học kỹ thuật Lý thuyết liên thông là một trong những công

cụ cơ bản của hình học Riemann Đến những năm cuối của thế kỷ 20, cùng với sựphát triển của tôpô với những công trình nổi tiếng của Hausdorff, Poincaré thìhình học trên các đa tạp đã phát triển mạnh mẽ và chính tôpô đã trở thành mộtcông cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các cấu trúc hình học, chẳng hạn như: Độcong, độ xoắn, đạo hàm các dạng vi phân trên các đa tạp và đặc biệt là mô tả cáctính chất hình học quan trọng trên nhóm Lie compact

S Lie là người đầu tiên đưa ra khái niệm đạo hàm X[f ] của hàm số f theo trườngvéctơ X trên đa tạp khả vi và bây giờ gọi là đạo hàm Lie của hàm số theo trườngvéctơ Năm 1920, Élie Cartan định nghĩa một cách tự nhiên toán tử vi phân LX củacác dạng vi phân và chứng minh được toán tử vi phân LX giao hoán với vi phânngoài d Đặc biệt, Élie Cartan đã chứng minh được công thức sau và gọi là công thứcCartan

LX = d ◦ iX + iX ◦ d,

ở đây iX là tích trong của trường véctơ X đối với dạng vi phân

Năm 1931, trong các công trình nghiên cứu của W ´Slebodzi´nski cũng đã xuất

hiện toán tử vi phân LX của trường tenxơ theo trường véctơ X W ´Slebodzi´nski đãchứng minh được công thức toán tử vi phân LX của tích hai trường tenxơ và ứngdụng vào việc tìm nghiệm của phương trình Hamilton chính tắc Với mỗi hàm sốH(p, q), p = (pµ), q = (qµ), µ = 1, 2, , n, W ´Slebodzi´nski định nghĩa trường véctơ

đã đưa ra những ứng dụng của đạo hàm Lie vào Vật lý Kể từ đó, các phép biến dạngcủa đường cong, không gian con và không gian các phép biến dạng cũng như nhómchuyển động, chuyển động affine, chuyển động xạ ảnh, chuyển động bảo giác đã đượcquan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: L Berwald, E Cartan,

N Coburn, E T Davies, P Dienes, A Duschek, L P Eisenhart, F A Ficken, H

A Hayden, V Hlavatý, E R van Kampen, M S Knebelman, T Levi Civita, J.Levine, W Mayer, A J McConnel, A D Michal, H P Robertson, S Sasaki, J A.Schouten, J L Synge, A H Taub, H C Wang và nhiều tác giả khác

Năm 1948, J A Schouten và D J Struik đã phát triển thêm một số tính chất

về đạo hàm Lie của dạng vi phân và đưa ra một số kỹ thuật tính đạo hàm Lie đốivới dạng vi phân trên đa tạp Sau đó, năm 1957 K Yano là người giới thiệu về lýthuyết đạo hàm Lie và các ứng dụng của đạo hàm Lie Việc nghiên cứu phép đạohàm Lie có nhiều ứng dụng trong việc mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp vàđặc biệt là ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực, lý thuyết truyền thông, cơ họclượng tử, động lực học Năm 1997, J.-H Kwon và Y J Suh đã nghiên cứu một

số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ trên siêu mặt thực kiểu A trong không giandạng phức Năm 2002, B N Shapukov đã trình bày một số kết quả về đạo hàm Liecủa trường tenxơ trên đa tạp Fiber Năm 2008, K R¨obenack đã đưa ra thuật toáncho phép tính đạo hàm Lie bậc cao bằng máy tính

Năm 2010, các tác giả L S Velimirovi´c, S M Min˘ci´c, M S Stankovi´c đã nghiêncứu về đạo hàm Lie của liên thông và đạo hàm Lie của tenxơ cong trên không gianvới liên thông affine không đối xứng Cùng trong thời gian này, A Ya Sultanov đãxây dựng khái niệm đạo hàm Lie trên đại số và nghiên cứu một số tính chất về đạohàm Lie của liên thông trên đại số, đồng thời ứng dụng chúng vào việc khảo sát các

độ cong và độ xoắn trên các đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị

Năm 2011, trong công trình nghiên cứu của L Fatibene và M Francaviglia đãtrình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ Lorentz và ứng dụng của nóvào việc khảo sát không gian Minkowski Năm 2012, trên cơ sở đạo hàm Lie củadạng vi phân, chúng tôi đã xây dựng đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp Riemann vàđưa ra một số ứng dụng trên nhóm Lie compact Năm 2014, J D Pérez đã nghiêncứu đạo hàm Lie trên siêu mặt thực trong không gian xạ ảnh phức

Năm 2015, A D Nicola và I Yudin đã nghiên cứu một số tính chất về đạo hàmLie trên đại số Lie Lior Falach và Reuven Segev đã phát biểu và chứng minh định

lý vận chuyển đối với dòng trên đa tạp mà đạo hàm Lie của dòng đóng vai trò quantrọng

7.2 Cấu trúc luận án

Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương Ngoài ra, luận án còn có Lờicam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục côngtrình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan trực tiếp đến luận án và danh mụctài liệu tham khảo

Chương 1 được dành để giới thiệu kiến thức cơ sở của luận án, bao gồm 4 mục.Mục 1.1 trình bày các kiến thức cơ bản về k−dạng vi phân trên đa tạp Mục 1.2 giớithiệu khái niệm và một số tính chất cơ bản về liên thông Levi-Civita, tenxơ cong vàtenxơ xoắn trên đa tạp Riemann n−chiều Mục 1.3 trình bày định nghĩa và các tínhchất cơ bản về đạo hàm Lie của hàm số, đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàmLie của k−dạng vi phân trên đa tạp Riemann Mục 1.4 trình bày các khái niệm vàtính chất cơ bản về lý thuyết phân bố và lý thuyết dòng

Chương 2 trình bày các nội dung nghiên cứu về đạo hàm Lie của dòng trên đatạp Riemann, bao gồm 4 mục Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày định nghĩa và một

số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng trên đa tạp Riemann Trongmục 2.2, chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạngsuy rộng trên nhóm Lie Trong mục 2.3, chúng tôi đưa ra một số ứng dụng đạo hàmLie của dòng trong việc chứng minh định lý vận chuyển, công thức đồng luân đốivới dòng trên đa tạp và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu Trong mục 2.4, chúngtôi nghiên cứu một số tính chất về đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc Đặcbiệt, chúng tôi tìm điều kiện của trường véctơ X để đạo hàm Lie của dạng song bậc(p, p) cũng là dạng song bậc (p, p) Việc nghiên cứu đạo hàm Lie của dạng và dòngsong bậc nhằm mục đích nghiên cứu đạo hàm Lie của dòng dương trong lý thuyết

đa thế vị Các kết quả của chương này đã được công bố trên 02 tạp chí LobachevskiiJournal of Mathematics, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications và gửiđăng ở 02 tạp chí Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vietnam Journal ofMathematics

Chương 3 nhằm trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông phápdạng, bao gồm 2 mục Trong mục 3.1, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất vềđạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết với liên thông Trong mục 3.2,chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng vàđạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann, từ đó nghiên cứucác tính chất về đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng, đạo hàm Lie của tenxơ congpháp dạng trên đa tạp con Riemann và ứng dụng của nó trong trường hợp đa tạpcon M là siêu mặt Các kết quả của chương này đã được công bố trên 03 tạp chí J.Nonlinear Sci Appl., Southeast Asian Bulletin of Mathematics và East-West Journal

of Mathematics

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Để thuận lợi cho việc trình bày chương 2 và chương 3, trong chương này chúngtôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về k−dạng vi phân, liên thông,tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đa tạp Riemann n−chiều; đạo hàm Lie của hàm số,đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàm Lie của k−dạng vi phân; các tính chất cơbản của lý thuyết phân bố và lý thuyết dòng trên đa tạp Riemann n−chiều

1.1 Dạng vi phân trên đa tạp Riemann

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm k−dạng vi phân, tích ngoàicủa các dạng vi phân, vi phân ngoài và ánh xạ kéo lùi của dạng vi phân trên đa tạpRiemann M

1.2 Liên thông trên đa tạp Riemann

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm liên thông tuyến tính, liênthông Levi-Civita, tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đa tạp Riemann M

1.3 Đạo hàm Lie của dạng vi phân

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm nhóm một tham số, tích trongcủa trường véctơ đối với k−dạng vi phân, đạo hàm Lie của hàm số, đạo hàm Lie củatrường véctơ, đạo hàm Lie của k−dạng vi phân và các tính chất của nó, công thứcCartan, trường véctơ phụ thuộc thời gian, k−dạng vi phân phụ thuộc thời gian, định

lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất và thứ hai đối với dạng vi phân

1.4 Phân bố và dòng trên đa tạp Riemann

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của phân bố, kháiniệm dòng trên đa tạp, tích ngoài của dòng và dạng, vi phân ngoài của dòng, ánh

xạ tiếp xúc, định lý Stokes và các phép toán của dòng trên đa tap Riemann

Chương 2 ĐẠO HÀM LIE CỦA DÒNG TRÊN ĐA TẠP

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie củadòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc Đồng thời ứng dụngvào việc chứng minh định lý vận chuyển, công thức đồng luân đối với dòng trên đatạp và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu

2.1 Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng

Trong mục này, chúng tôi xây dựng định nghĩa đạo hàm Lie của dòng và dạngsuy rộng trên đa tạp Riemann M Từ đó, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất vềđạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng Đặc biệt là công thức kiểu Cartan đối vớidòng và dạng suy rộng, định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất và thứhai đối với dòng

2.1.1 Định nghĩa Giả sử X ∈ B(M ) ´Anh xạ

£X : Dk(M ) → Dk(M )

T 7→ £XTđược gọi là đạo hàm Lie của k−dòng T theo trường véctơ X trên M , trong đó £XTđược xác định bởi

(£XT )(ω) = T (LXω), ∀ω ∈ Ωn−kc (M )

và LXω là đạo hàm Lie của (n − k)−dạng vi phân ω theo trường véctơ X

Sau đây là ví dụ về đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp

2.1.2 Ví dụ Cho E là tập con Borel của Rn, X là trường véctơ trên Rn và dòngtích phân [E] được xác định bởi

được gọi là tích trong của trường véctơ X đối với k−dòng T, trong đó iXT được xácđịnh bởi:

Sau đây là định lý về đạo hàm Lie đối với dòng

2.1.11 Định lý Giả sử X ∈ B(M ), T ∈ Dk(M ) và Ft là nhóm một tham số sinhbởi trường véctơ X Khi đó

d

dt(Ft)∗T = (Ft)∗£XT, (2.1)

ở đây (Ft)∗ là ánh xạ tiếp xúc (push-forward) của Ft.

Nếu t = 0 thì công thức (2.1) trở thành

£XT = d

dt

t=0

(Ft)∗T (2.2)

Bằng việc sử dụng định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất đối vớidạng vi phân ta nhận được định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất đốivới dòng sau đây

2.1.12 Định lý Giả sử T ∈ Dk(M ), Xt ∈ B(M ) là trường véctơ phụ thuộc thờigian trên M và Ft,s là nhóm một tham số phụ thuộc thời gian sinh bởi trường véctơ

Xt Khi đó

ddτ

τ =t

(Fτ,s)∗T = £Xt (Ft,s)∗T
(2.3)Trong trường hợp τ = s thì công thức (2.3) trở thành

ddτ

τ =s

(Fτ,s)∗T
(ωτ) = T ( ˙ωs) + (£XsT ) (ωs) (2.6)

Bây giờ, chúng tôi xét trong trường hợp đặc biệt dòng bậc n (phân bố) Giả sử

U là tập con mở trong M , ký hiệu D(U ) = Dn(U ) là không gian các phân bố với giácompact trên U Giả sử u ∈ D(U ) và X ∈ B(U ) Khi đó, ta có đạo hàm Lie £Xucủa phân bố u được xác định bởi

(£Xu)(ϕ) := u(LXϕ), ∀ϕ ∈ Fc(U ),trong đó LXϕ là đạo hàm Lie của hàm số ϕ trên U theo trường véctơ X

Sau đây là ví dụ về đạo hàm Lie của phân bố

2.1.14 Ví dụ Giả sử f ∈ C(U ) là hàm liên tục trên U , X ∈ B(U ) và phân bố ufcho bởi:

Khi đó, £Xuf là một phân bố trên U

2.1.15 Định lý Cho X = (X1, X2, , Xn) ∈ B(U ) và u ∈ D(U ) Khi đó

2.1.16 Ví dụ Giả sử H là một hàm trên R xác định như sau: H(x) = 0 nếu x < 0

và H(x) = 1 nếu x > 0 Ta định nghĩa phân bố Heaviside trên Fc(R), ký hiệu H vàđược xác định bởi

ở đây δ là phân bố Dirac và H0 = δ

2.1.17 Định lý Giả sử X ∈ B(U ), u, v ∈ D(U ) và {uk} , {vk} là dãy trong D(U ).Khi đó

i) uk → u (k → ∞) trong D(U ) ⇒ £Xuk → £Xu trong D(U );

2.1.18 Định nghĩa Giả sử Xk = Xk1, , Xkn
là dãy các trường véctơ trên U và

X = X1, , Xn
∈ B(U ) Dãy các trường véctơ {Xk} được gọi là hội tụ đến trườngvéctơ X khi k → ∞ nếu các dãy hàm tọa độ Xkj hội tụ đến Xj với mọi j = 1, n khi

k → ∞ trong Fc(U )

2.1.19 Định lý Giả sử {Xk} là dãy các trường véctơ và X ∈ B(U ) Khi đó, nếudãy {Xk} hội tụ đến X khi k → ∞ trong Fc(U ) thì dãy £Xku hội tụ đến £Xu khi

k → ∞ trong D(U )

2.1.20 Định lý Giả sử X = (X1, , Xn) ∈ B(U ); f, Xj ∈ Fc(U ) ∩ L1loc(U ) ∩ C(U ),

j = 1, 2, , n và uf là phân bố chính quy Khi đó

£Xuf = uLXf,

ở đây C(U ) là không gian các hàm liên tục trên U

Tiếp theo chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của dạng suyrộng trên đa tạp Riemann n−chiều M Ta ký hiệu eΩk(M ) là không gian các k−dạngsuy rộng trên M

2.1.21 Định nghĩa ´Anh xạ

LX : eΩk(M ) → eΩk(M )

ω 7→ LXωđược gọi là đạo hàm Lie của k−dạng suy rộng ω theo trường véctơ X, trong đó LXωđược xác định bởi

(iXω)(T ) = (−1)k−1ω(iXT ), ∀T ∈ Dn−k+1(M )

và iXT là tích trong của trường véctơ X đối với (n − k + 1)−dòng T

2.1.26 Mệnh đề Cho T ∈ Dk(M ), X ∈ B(M ), ω ∈ eΩp(M ) và ω0 ∈ eΩq(M ) Khi đói) iX(T ∧ ω) = (iXT ) ∧ ω + (−1)n−k+1T ∧ (iXω);

2.2 Đạo hàm Lie của dòng trên nhóm Lie

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng

và dạng suy rộng trên nhóm Lie n−chiều G

2.2.1 Bổ đề Giả sử X là trường véctơ bất biến trái trên G Khi đó

Từ đây trở đi ta luôn giả thiết G là nhóm Lie compact n−chiều và µ là độ đoHaar trên G, µ(G) = 1 Với mỗi T ∈ Dk(G), ta đặt

2.2.5 Mệnh đề Giả sử T là k−dòng trên G Khi đó

i) FGT là k−dòng bất biến trái trên G;

ii) Nói riêng, nếu T là k−dòng bất biến trái trên G thì FGT = T

2.2.6 Mệnh đề Giả sử X là trường véctơ bất biến trái trên G Khi đó

i) £X ◦ FG = FG ◦ £X;

ii) LX ◦ FG∗ = FG∗ ◦ LX;

trong đó £X và LX lần lượt là đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng

2.2.7 Định lý Cho dT là (k + 1)−dòng bất biến trái trên G, X ∈ B(G) Khi đó,

£X(FGT ) − £XT và (Lx)∗T − T đều là các dòng đóng, với mọi x ∈ G

Mệnh đề sau suy ra trực tiếp từ định lý Stockes và công thức kiểu Cartan đốivới dòng

2.2.8 Mệnh đề Giả sử G là nhóm Lie compact có biên ∂G khác rỗng, X ∈ B(G)

2.2.9 Mệnh đề Giả sử G là nhóm Lie compact có biên ∂G khác rỗng, X ∈ B(G)

và dT là n−dòng bất biến trái trên G Khi đó, £X(dT ) = 0

2.3 Một số ứng dụng của đạo hàm Lie của dòng

Định lý vận chuyển Reynolds có nhiều ứng dụng trong vật lý như: Cơ học lượng

tử, động lực học Định lý vận chuyển Reynolds tổng quát đối với dạng vi phân trên

đa tạp M được cho bởi công thức sau

ddtZ

F t (V )

ωt =Z

F t (V )

( ˙ωt+ LXωt) ,

trong đó ωt là k−dạng vi phân phụ thuộc thời gian trên đa tạp M, Ft là nhóm mộttham số địa phương sinh bởi trường véctơ X và V là đa tạp con k−chiều của M

Từ định nghĩa đạo hàm Lie dòng định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thờigian thứ hai dạng vi phân ta chứng minh định lý đạo hàm Lie phụthuộc thời gian thứ hai dòng

2.1.13 Định lý... (iXω);

2.2 Đạo hàm Lie dịng nhóm Lie< /h3>

Trong mục này, chúng tơi trình bày số tính chất đạo hàm Lie dịng

và dạng suy rộng nhóm Lie n−chiều G

2.2.1 Bổ... u(LXϕ), ∀ϕ ∈ Fc(U ),trong LXϕ đạo hàm Lie hàm số ϕ U theo trường véctơ X

Sau ví dụ đạo hàm Lie phân bố