Rèn luyện kỹ năng tìm số hạng tổng quát của dãy số cho các em học sinh THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO CÁC EM HỌC SINH THPT Người thực hiện: Nguyễn Hữu Tới Ch

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO CÁC EM HỌC SINH THPT

Người thực hiện: Nguyễn Hữu Tới Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2018

MỤC LỤC

1 Mở đầu 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 Nội dung 2

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2

2.3.1 Kiến thức toán và các kỹ năng có liên quan 2

2.3.2 Một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số 4

2.3.2.1 Dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp 4

2.3.2.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số 5

2.3.2.3 Xác định số hạng tổng quát bằng phương trình đặc trưng …….……… 8

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 9

2.4.1 Đối với học sinh 9

2.4.2 Đối với bản thân và đồng nghiệp 10

2.4.3 Đối với nhà trường 10

3 Kết luận, kiến nghị 11

3.1 Kết luận 11

3.2 Kiến nghị 11

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên là một nhiệm vụ quan trọng trong các nhà trường nói chung và các trường THPT nói riêng Trường THPT Như Thanh thường xuyên phát động phong trào viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng, …

Môn toán có nhiều đơn vị kiến thức quan trọng mà các em học sinh cần được trang bị chắc chắn để vượt qua các kỳ thi THPT quốc gia và thi HSG cấp tỉnh

Trong đó các bài toán về dãy số cũng là một trong những đơn vị kiến thức nói trên

Từ những lý do trên và từ thực tiễn giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi đại học cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, đúc rút

thành chuyên đề: ‘‘Rèn luyện kỷ năng tìm số hạng tổng quát của dãy số cho các

em học sinh THPT”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và hình thành một hệ thống các bài toán về tìm số hạng tổng quát của dãy số, từ đó tổng hợp được kỹ năng cho các em học sinh trong việc giải các bài toán về dãy số

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu về các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Tự đọc tài liệu nghiên cứu

Tổng hợp, thống kê, phân loại

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận của sang kiến kinh nghiệm:

Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng Tuy nhiên hầu hết chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó

Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện qua phương pháp dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình Trong môn toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán, kỹ năng giải phương trình, bất phương trình …

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sang kiến kinh nghiệm :

Khuyến khích học sinh vận dụng kiến thức từ thực tiễn trong học tập Làm cho kiến thức toán học thêm phong phú, đa dạng, tăng thêm sự đam mê, hứng thú và sinh động đối với học sinh, nhằm phát triển, năng lực và phẩm chất học sinh

Khuyến khích sự tìm tòi, sáng tạo của giáo viên và học sinh trong đổi mới phương pháp giảng dạy, học tập góp phần nâng cao kết quả trong dạy và học Qua

đó, kiến thức học sinh thu nhận được sâu sắc hơn

Học sinh thấy được chủ đề “ Dãy số ” có vai trò quan trọng trong việc giáo dục

kĩ năng giải toán, giúp học sinh đạt được kết quả cao hơn trong kỳ thi THPT và kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :

Giáo viên đưa ra hệ thống các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số phù hợp và giúp học sinh tư duy định hướng dẫn đến giải các bài toán một cách phù hợp

Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về dãy số từ đó có thể tự suy ra các biểu thức thường gặp Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận dụng Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài tập về tìm số hạng tổng quát của dãy số

2.3.1 kiến thức liên quan

* Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu:

* : ( )

n u n





Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển

u u1 , , , , , 2 u n

Trong đó u n u n( ) hoặc viết tắt là ( )u n , và u1 được gọi là số hạng đầu, u n được gọi là

số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số

* Định nghĩa về dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập

1, 2,3, , , *

M  m m N được gọi là dãy số hữu hạn

* Cách cho dãy số

+) Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát;

+) Dãy số cho bằng công thức mô tả;

+) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

* Định nghĩa 2:

Dãy số ( )u n được gọi là dãy tăng nếu ta có *

n n

u  u  n N Dãy số ( )u n được gọi là dãy giảm nếu ta có *

n n

u  u  n N Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho

u n M,  n N*

Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho

u n M,  n N*

Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho u n M,  n N*

*Cấp số cộng

+) Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số(hữu hạn hặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

+) Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng ( )u n có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát được xác định như sau:

u n u1  (n 1)d

+) Tính chất: Trong cấp số cộng, trừ số hạng đứng đầu và số hạng đứng cuối, số hạng đứng giữa bằng trung bình cộng hai số hạng liền kề

1 1

2

n n n



+) Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Gọi S n là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng , s n u1 u2  u n, ta có

( 1 ) 2 1 ( 1) 

S  u u  u  n d

* Cấp số nhân

+) Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số(hữu hạn hặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

+) Số hạng tổng quát: Nếu cấp số nhân ( )u n có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát được xác định như sau:

1

1 n n

u u q 



+) Tính chất: Trong cấp số nhân, trừ số hạng đứng đầu và số hạng đứng cuối, trị tuyệt

số hạng đứng giữa bằng trung bình nhân hai số hạng liền kề

u n  u u n1 n

+) Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Gọi S n là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân , s n u1 u2  u n, ta có

1

1 1

n n

q

q







2.3.2 Một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số

2.3.2.1 Dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp

Bài toán 1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số, biết

1 1

1

1

n n

n

u

n u u

u









 







Ta tìm một số các số hạng đầu : 1 2 3

u  u  u 

Ta dự đoán u n 1, n 1

n

   (1)

Sử dụng phương pháp quyu nạp, ta chứng minh công thức (1) đúng

+) Với n=1, công thức (1) đúng

+) Giả sử công thức (1) đúng đến n k k ,(  1), nghĩa là ta đã có u k 1.

k



+) Ta cần chứng minh (1) vẫn đúng đến n k  1,(k 1), nghĩa là cần chứng minh

1

1

.

1

k

u

k

 Thật vậy

1

1

1

k k

k

u u

k

k



Đẳng thức trên hiển nhiên đúng, do đó u n 1, n 1

n

Bài toán 2.Tìm số hạng tổng quát của dãy số, biết

1

2 1

1

n n

u

n







 





Ta tìm một số các số hạng đầu : 1 1; 2 3; 3 3;u5 3;

Ta dự đoán 3, 1

2

n

u   n

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được 3, 1

2

n

u   n Bài toán 3.Tìm số hạng tổng quát của dãy số, biết

1

1

2

2

u

n



 





Ta tìm một số các số hạng đầu : 1 2 2cos ; 2 2 2 2cos

Ta dự đoán 2cos 1 , 1

2

u    n

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được 2cos 1, 1

2

u    n Bài toán 4.Tìm số hạng tổng quát của dãy số, biết

1

2 1

1

2

n n

u

n

u  u







 





Ta dự đoán và chứng minh được tan , 1.

12

n

n

u    n

2.3.2 2 Áp dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số

Đưa dãy số về công thức của cấp số cộng hoặc cấp số nhân, và tìm ra số hạng tổng quát

Bài toán1 Xác định số hạng tổng quát của dãy số( )u n được cho bởi

1

1

1

2

n n

u

n

u u 





 





Ta có u n u n1  2 là cấp số cộng có u1  1;d  2 Vậy số hạng tổng quát là

u n   3 2n

Bài toán 2 Xác định số hạng tổng quát của dãy số( )u n được cho bởi

1

1

2

n n

u

n

u u 





 





Ta có 1

3

u   u  

Đặt 1

2

u  v , ta thu được cấp số nhân 1

1

5

2 3

n n

v

n

v v 







 





Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân ( )v n là 5 1

.3 2

n n

Theo cách đặt ta có 5 1 1

.3

n n

Bài toán 3 Xác định số hạng tổng quát của dãy số( )u n được cho bởi

1

1

2

n n

u

n





 





Đặt u n 3n 1 v n,ta thu được cấp số nhân 1

1

4

2

n n

v

n

v v





 







Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân ( )v n là 1

5.3n n

Theo cách đặt ta có 5.3n 1 2n 1

n

Tổng quát: Tìm số hạng tổng quát của dãy số biết 1

1

n n

u

n









 





Ta thu được u n u1  (n 1)b nếu a 1 ;

1 1

1

1

1

n n

n

a

a



 nếu a 1.

Bài toán 4 Xác định số hạng tổng quát của dãy số( )u n được cho bởi

1

1

1

n n

u

n

u u 





 





Ta có 1

1



2n

n n

  ,ta thu được cấp số nhân 1

1

5

3

n n

v

n

v v 





 







Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân ( )v n là 5.3n 1

n

Theo cách đặt ta có 5.3n 1 2n 1

n

Bài toán 5 Xác định số hạng tổng quát của dãy số( )u n được cho bởi

1

1

1

n n

u

n





 





Ta có 1

1



Đặt 3n 1 2

n n

    ,ta thu được cấp số nhân 1

1

11

2

n n

v

n





 







Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân ( )v n là 1

11.2n n

Theo cách đặt ta có 3n 1 2 11.2n 1

n

Trên đây ta xết dãy số cho dưới dạng hàm đa thức, đối với một số dãy cho dưới

dạng hàm phân thức ta vẫn có thể áp dụng được nếu ta biết cách đặt phù hợp

Bài 5 Xác định số hạng tổng quát của dãy số( )u n được cho bởi

1

1 1

1

2

n n

n

u

n u

u u











 







Ta phân tích

u  u   u   u  

Đặt 1 32 v

n

v

u   ,ta thu được cấp số nhân 1

1

5

2 2

n n

v

n

v v







 





Bài toán 6 Xác định số hạng tổng quát của dãy số( )u n được cho bởi

1

1 1

2

n n

n

u

n u

u

u











 







Ta đặt u n1 x n1 t thay vào công thức trên ta được

1

1

n n

n

x t





 

1

n n

n

x





2 1

1

n n

n

x





Ta chọn t sao cho 2

5t  22t 24 0 

Ta chọn t 2, khi này thu được

1

1 1

5

n n

n n n

x x

x















2.3.2.3 Xác định số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sử dụng phương trình đặc trưng

Dãy số (u )n được cho theo công thức truy hồi biết u 0và u 1; u n a u. n1 b u. n2

Ta xết phương trình đặc trưng : x2  a x b   0 (1)

Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x x1 ; 2 Khi này số hạng tổng quát của dãy số là 1n 2n

n

u   x   x , kết hợp với giả thiết đã biết u 0và u 1ta tìm được   , .

Bài toán 1 Xác định số hạng tổng quát của dãy số( )u n được cho bởi

0 1

n



 





Xét phương trình đặc trưng 2 2

3

x

x







Vậy số hạng tổng quát của dãy số có dạng .2n .3n

n

u    

Do 0

1

1 3

u

u











Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 5.2n 6.3n

n

Bài toán 2 Xác định số hạng tổng quát của dãy số( )u n được cho bởi

0 1

4

n n n

n

u  u u 



 





Xét phương trình đặc trưng 2 2 5

x

x

  

 



Số hạng tổng quát của dãy số có dạng .(2 5)n (2 5)n

n

u      

Do 0

1

1 2

u

u









 nên ta có

1

1

2













Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 1(2 5) 1(2 5)

n

Bài toán 3 Xác định số hạng tổng quát của dãy số( )u n được cho bởi

0 1

n

u u  u 



 





Xét phương trình đặc trưng 2

Số hạng tổng quát của dãy số có dạng ( ).2n 1

n

u k n l 

Do 0

1

11

3

u

u









 nên ta có

1

2 1

2

1 3

l l

k

k l













  



Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 1

n

Chú ý: 1) Trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép x x 0 (có 1 nghiệm), số hạng tổng quát của dãy số có dạng 1

0

n

u k n l 

2) Ta có thể dùng phương trình đặc trưng bậc 3 đối với những dãy số cho biết

sự liên hệ bậc nhất giữa 4 số hạng.

Bài toán 4 Xác định số hạng tổng quát của dãy số( )u n được cho bởi

1 2 3

n

u u  u  u 



 





Xét phương trình đặc trưng 3 2 1,2

3

1

5

x

x









Số hạng tổng quát của dãy số có dạng .5n

n

u    n 

Do

1

2

3

0

1

3

u

u

u













nên ta có

13 16

3

4

80















Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 13 3 5

n n

u   n

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2.4.1 Đối với học sinh:

 Chọn lớp đối chứng gồm 15 học sinh lớp 11C1, chọn lớp thử nghiệm gồm 15 học

sinh khác (lớp 11C1 là lớp chọn khối A) của trường THPT Như Thanh

 Chọn các bài tập đã xây dựng ở trên và những bài tập khác trong các đề thi thử

THPT Quốc Gia những năm gần đây Tiến hành hướng dẫn học sinh giải quyết các bài tập đã chọn

 Tiến hành hướng dẫn học sinh nghiên cứu chủ đề ‘‘Rèn luyện kỷ năng tìm số hạng tổng quát của dãy số cho các em học sinh THPT”

Yêu cầu học sinh viết thành đề tài, nạp cho giáo viên (chỉ chọn những học sinh giỏi)

 Tiến hành kiểm tra đánh giá bằng một bài 45 phút cho cả các lớp nói trên.

 Kết quả kiểm tra: Đối với nhóm học sinh giỏi kết quả bài kiểm tra là rất tốt, điểm

của học sinh đều đạt từ loại khá trở lên, đối với lớp khác kết quả đạt được từ loại trung bình trở lên

 Đối với chủ đề nghiên cứu của lớp học sinh giỏi, các em đã thực hiện tốt Được

rèn luyện kỹ năng giải bài toán dãy số Đội tuyển học sinh giỏi nhà trường gồm 5 em

tham dự kì thi cấp tỉnh đạt ba giải Ba, hai giải khuyến khích

 Dạng bài tập và phương pháp này chỉ có hiệu quả cao với học sinh khá, giỏi

2.4.2 Đối với bản thân và đồng nghiệp:

 Đề tài này có thể dùng làm tài liệu cho học sinh và giáo viên trong quá trình dạy

học môn toán, ôn thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi

 Từ đề tài này có thể mở rộng và ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán khó

về dãy số

2.4.3 Đối với nhà trường:

 Đề tài đã và đang được áp dụng trong hoạt động giảng dạy góp phần nâng cao chất

lượng giáo dục môn Toán, nâng cao kết quả thi học sinh giỏi, kết quả thi THPT Quốc gia của học sinh trường THPT Như Thanh

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Quá trình nghiên cứu đề tài đã thu được một số kết quả sau:

 Trong đề tài đã nghiên cứu về kỹ năng giải một số các bài tập tìm số hạng

tổng quát của dãy số

 Xây dựng được một hệ thống các bài tập về tìm số hạng tổng quát của dãy số

Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng dạy học nói chung và các kỹ năng cơ bản dạy

học môn toán nói riêng

3.2 Kiến nghị

Sau khi tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tôi có một số đề xuất sau:

 Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học của mình để phù hợp với từng đối

tượng, từng nội dung bài học Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu, để tạo ra những sản phẩm hữu ích giúp các em có một lượng kiến thức và kỹ năng tốt để chuẩn bị cho các kỳ thi

 Nhà trường, các tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu,

hợp tác nhóm của học sinh theo sự hướng dẫn của giáo viên, từ đó tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất lượng học tập giúp các em

có một nền tảng kiến thức thật sự vững chắc

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người

khác

Nguyễn Hữu Tới