Về tính ổn định bình phương trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ không giải ra đối với đạo hàm

Khóa luận này nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình theo nghĩaLiapunov của hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ không giải ra đối với đạo hàm.. Chơng II: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận

mở đầu

Bất cứ hệ thống nào dù là hệ thống kỹ thuật, hệ sinh thái hay hệ thống kinh tếxã hội bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn định nhất Trong thực tếkhông có quá trình nào lại diễn ra một cách độc lập hoàn toàn Các kích động thờngtồn tại và gây nhiễu đến sự phát triển của quá trình làm cho các quá trình không còn

đợc bình thờng, từ đó nảy sinh khái niệm tính ổn định của các quá trình dới dạng

định nghĩa mô tả sau đây

Một quá trình bị nhiễu dới tác động của các kích động mà vẫn duy trì đợc sựphát triển bình thờng nh không có nhiễu đợc gọi là quá trình ổn định

Một quá trình bị kích động mà phát triển khác xa bình thờng đợc gọi là quátrình không ổn định

Khóa luận này nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình theo nghĩaLiapunov của hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ không giải ra đối với đạo hàm

Khóa luận gồm hai chơng:

Chơng I: Trình bày những khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định của hệ

vi phân tuyến tính theo nghĩa Liapunov.

Chơng II: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình của

nghiệm tầm thờng của hệ vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính có trễ không giải ra đối với đạo hàm.

Khóa luận này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình của PGS-TS.Phan Đức Thành Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy -Ngời đã dành cho tôi sự hớng dẫn nhiệt tình trong suốt khóa học và nghiên cứu

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu và bổ ích củacác thầy PGS-TS Nguyễn Văn Quảng, TS Trần Xuân Sinh cùng các thầy cô ở tổ

Điều khiển - Khoa Toán - Trờng Đại Học Vinh

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè đã tạomọi điều kiện thuận lợi cho bản thân trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đểtôi hoàn thành tốt khóa luận này

Vinh, tháng 4 năm 2005

Nguyễn Thị Lâm

Chơng I

Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính

Đ1 bài toán ổn định

Nh đã biết, phơng tiện cơ bản để mô tả một hệ thống là phơng trình vi phân.Phơng trình vi phân liên kết những yếu tố quan trọng nhất của quá trình phân tích

hệ thống nh: Tác động điều khiển, trạng thái của tự nhiên và kết quả chờ đợi (đầura)

Xét hệ phơng trình vi phân thờng:

) y , , y , y , ( f dt

dy

n 2 1 j

j

Dới dạng ma trận véc tơ ta có:

T n

1 ( t , Y ), , f ( t , Y )]

f ) Y , t ( F dt

dy



Định nghĩa1.1.1 Nghiệm z = z(t) (a < t < ) của hệ (1.2) đợc gọi là ổn định theo

Liapunov khi t  , nếu  > 0 và t0  (a, ),  = (, t0) > 0 sao cho :

i) Tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ (1.2) thoả mãn điều kiện:

xác định trong khoảng t0 < t <  tức là Y(t)  DY khi t  [tt0, )

ii) Đối với nghiệm này bất dẳng thức sau đợc thoả mãn:

Trờng hợp đặc biệt, khi F(t, 0)  0 nghiệm tầm thờng z(t)  0 (0 < t < ) ổn

định nếu   > 0 và t0  (a, )   = (, t0) sao cho: ||Y(t0)|| <  kéo theo đẳngthức : ||Y(t)|| <  khi t0 < t < 

Định nghĩa 1.1.2 Nếu số  > 0 có thể chọn không phụ thuộc trờng hợp ban đầu t0 

G, tức là  = () thì ổn định đó gọi là ổn định đều trong miền G

Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) đợc gọi là không ổn định theo

Liapunov, nếu   > 0, t0  (a, ) nào đó và   > 0 tồn tại nghiệm Y (t)và thời

điểm t1 = t1() > t0 sao cho:

i) Nó ổn định theo Liapunov và

ii) t0  (a, ),  = (t0) > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) (t0  t < ) thoảmãn điều kiện || Y(t0) – z(t0) || <  sẽ có tính chất:

0 ) t ( z ) t ( Y lim



Định nghĩa 1.1.5 Giả sử hệ (1.2) xác định trong nửa không gian  = {tt0 < t <

}x{||Y|| < x{t||Y|| < }x{||Y|| < nếu nghiệm z = z(t) (a < t < ) ổn định tiệm cận khi t   và tất cảcác nghiệm Y = Y(t) (t0  t < , t0 > a) đều có tính chất (1 5) tức là  =  thì z(t)

đợc gọi là ổn định tiệm cận toàn cục

Cùng với hệ (1 2) ta xét hệ có nhiễu sau:

Định nghĩa 1.1.6 Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) của hệ (1 2) đợc gọi là ổn định dới

tác động của nhiễu  ( , Y~) nếu  > 0 và t0  (a, ),  = (, t0) > 0 sao cho khi



 (t,Y~)  tất cả các nghiệm Y~( t ) của hệ (1 6) thoả mãn điều kiện Y~( t0)   sẽxác định trong khoảng [tt0, ) và Y~( t0)  z ( t )   với t0  t < 

Đ2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính.

Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính:

) t ( F Y ) t ( A dt

Y~d

Định nghĩa 1.2.1 Hệ vi phân tuyến tính (1) đợc gọi là ổn định (hoặc không ổn

định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ tơng ứng ổn định (hoặc không ổn định)khi t  +

Định nghĩa 1.2.2.Hệ vi phân tuyến tính (1) đợc gọi là ổn định đều nếu tất cả cấc

nghiệm Y(t) của hệ ổn định đều khi t  + đối với thời điểm ban đầu t0  (a, )

Định nghĩa 1.2.3 Hệ vi phân tuyến tính (1) đựoc gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả

các nghiệm của hệ ổn định tiệm cận khi t  +

Định lý 1.2.4 Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1) ổn định với số hạng

tự do bất kỳ F(t) là nghiệm tầm thờng: Y~0  0 (t 0 < t < , t 0  (a, )) của hệ thuần nhất tơng ứng (2) ổn định.

Định lý 1.2.5 Hệ vi phân tuyến tính (1) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm tầm

th-ờng Y~0  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2) ổn định đều khi t  +.

Định lý 1.2.6 Hệ vi phân tuyến tính (1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm

thờng Y~0  0của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2) ổn định tiệm cận khi

t  +.

Hệ quả 1 Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi ít ra một nghiệm của nó ổn định

và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nó không ổn định

Hệ quả 2 Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần nhất

tơng ứng ổn định

Hệ quả 3 Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1) với số hạng tự do

F(t) bất kỳ ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2) ổn

định

4

Đ3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:

Y ) t ( A dt

dY

trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a, )

Định lý1.3.1 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1) ổn định khi và chỉ khi mỗi

nghiệm Y = Y(t) (t 0  t < ) của hệ đó bị chặn trên nửa trục t 0  t < .

Hệ quả Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì tất cả các nghiệmcủa hệ hoặc giới nội hoặc không giới nội khi t  +

Định lý 1.3.2 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi

tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ dần tới không khi t  +, tức là:

0 ) t ( Y lim

Đ4 ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng

ớc cơ bản đơn.

Định lý 1.4.2 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng A ổn định

tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng  j =  j (A) của A đều có phần tử thực âm, tc là:

Re j (A) < 0 (  j 1 , n )

Đ5 Tiêu chuẩn Hurwitz.

Muốn chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính thuần nhất (4.1) ta chỉ cần khẳng định rằng tất cả các nghiệm 1, 2, …, , n của hệ phơng trình đặctrng det(A – E) = 0 có các phần thực âm

Sau đây ta sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ để cho phơng trình đại số với các hệ

số thực có các nghiệm với các phần thực chỉ mang dấu âm

5.1 Một số khái niệm cần thiết.

Xét đa thức: f(z) = a0 + a1z + + anzn (n  1) (1)

Trong đó z = x + iy là số phức và a0, a1, , an có thể là các hệ số thực hoặc phức

Định nghĩa1.5.1 Đa thức f(z) bậc n  1 đợc gọi là đa thức Hurwitz nếu tất cả

các nghiệm z1, z2, , zn của nó đều có phần thực âm:

0 a a a a 0 a

1 n n n

2 3 0 1 2 1 1

Đ6 ổn định của hệ gần đúng thứ nhất

Giả sử ta có hệ phần tử vi phân:

) x , , x , x , ( f dt

dx

n 2 1 i

Khai triển vế phải của (6 1) theo công thức Taylor tại lân cận gốc toạ độ, ta có:

) x , , x , ( R x ) t ( a dt

dx

n 1 i n

8

Từ đó ta có:   (i 1, n )



n

1

j ij j

i a ( t ) x dt

dx

(3)

Hệ (3) đợc gọi là hệ phơng trình gần đúng (hay xấp xỉ) thứ nhất đối với hệ (1)

Định lý 1.6.1 Nếu:

i) Hệ (2) là dừng theo xấp xỉ thứ nhất.

ii) Tất cả các số hạng R i bị chặn theo t và khai triển đợc thành chuỗi luỹ thừa

đối với x 1 , x 2 , , x n trong một miền 





n

1 i

2

i H

x và tất cả các khai triển đều bắt đầu từ

số hạng không thấp hơn bậc hai.

iii) Tất cả các nghiệm của phơng trình đặc trng:

0 k

a

.

a k a 1 n 21 1 1    n n n2 2n 2 2 1n 12 a

a

a

k -a

a

a (4) đều có các phần thực âm Thì nghiệm tầm thờng x i  0 (i = 1, 2, , n) của hệ (2) và hệ (3) là ổn định tiệm cận, tức là trong trờng hợp này có thể nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất

Định lý 1.6.2 Nếu:

i) Hệ phơng trình (2) là dừng theo xấp xỉ thứ nhất.

ii) Tất cả các hàm của R i thoả mãn các điều kiện của định lý 1.

iii) Có ít nhất một nghiệm của hệ phơng trình đặc trng (4) có phần thực

d-ơng.

Thì điểm cân bằng x i  0 (i = 1, 2, , n) của hệ (2) và (3) là không ổn định,

tức là trong trờng hợp này cũng có thể nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất.

10

Đ7 Phơng pháp hàm Liapunov

Trong các mục trên để khảo sát tính ổn định nghiệm của phơng trình vi phânngời ta dựa vào nghiệm cụ thể của phơng trình hoặc thông qua đánh giá nghiệm củaphơng trình đã cho với nghiệm của phơng trình tuyến tính

Trong mục này ta nghiên cứu tính ổn định của hệ bằng cách đánh giá giántiếp thông qua hàm số V(t, k) đợc gọi là hàm Liapunov

7.1 Hệ qui đổi Giả sử cho một hệ vi phân phi tuyến thực

) Y , t ( F dt

dY

Trong đó: Y(y1(t), , yn(t))T;

T n 1

dt

dy , , dt

dy dt

Nh vậy, để nghiên cứu tính ổn định của một nghiệm z = z(t) trong không giann

7.2 Hàm có dấu xác định Xét hàm số V = V(t, X) liên tục theo t và theo x1, , xn

trong miền z0 = {ta < t < , ||X|| < h}x{||Y|| <

Ta sẽ đa các định nghĩa cơ bản về các hàm có dấu xác định và có dấu không

đổi

Định nghĩa7.2.1 Hàm thực hiện liên tục V(t, X) đợc gọi là có dấu không đổi

(d-ơng hoặc âm) trong z0 nếu:

Đặc biệt, V = V(X) là hàm có dấu xác định nếu (-1) V(X) > 0 với ||X||  0 và X(0)

= 0, trong đó đối với hàm xác định dơng  = 0, còn đối với hàm xác định âm  = 1

Định nghĩa 7.2.3 Hàm V(t, X) đợc gọi là hàm có giới hạn vô cùng bé bậc

cao khi X  0 nếu với t0 > a nào đó ta có V t X  ( , ) t 0 trên [tt0, ) khi X  0, tức

là với mọi  > 0  = () > 0 sao cho:

7.3 Các định lý của Liapunov về tính ổn định và ổn định tiệm cận nghiệm.

Cho hệ vi phân qui đổi:

) X , ( G dt

dX

với G(t, X) liên tục theo t và các đạo hàm riêng liên tục theo x1, x2, , xn

Trong một miền T (T = {ta < t < ; ||X|| < H}x{||Y|| < )

Giả sử V = V(t, X) khả vi liên tục theo các biến t, x1, , xn trong T0 = {ta < t <  ; ||X||  h < H}x{||Y|| <  T và G(t, X) = [tG1(t, x1, , xn), , Gn(t, x1, , xn)]T

12

Định nghĩa Hàm số

1

n o

đợc gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V(t, X) theo nghĩa của hệ (8)

Định lý thứ nhất Liapunov Nếu đối với hệ qui đổi (8) tồn tại một hàm xác định

d-ơng V(t, X) liên tục theo các biến t, x 1 , …, x , x n

trong đó T0 = {ta < t <  ; ||X||  h < H}x{||Y|| <  T có đạo hàm dấu không dơng V(t,X) theo t trong nghĩa của hệ thì nghiệm tầm thờng X  0 (a < t < ) của hệ đã cho ổn

định theo Liapunov khi t  +.

Ví dụ: Xét tính ổn định nghiệm tầm thờng của hệ:

x y ( dt dy

) y 3 x 1 )(

y 2 x ( dt dX

2 2

2 2

V dt

x x

V dt

dX

 (A(t)  C[tt0, ))tồn tại hàm xác định dơng V(t, X) có đạo hàm trong nghĩa của hệ V(t, X)  0 thì tất cảcác nghiệm X(t) của hệ đó đợc xác định và bị chẵn trên nửa trục [tt0, )

Chú ý: Trong định lý thứ nhất Liapunov có thể thay tính xác định dơng của hàm

V(t, X) bằng tính xác định âm nhng khi đó đòi hỏi V(t, X) phải là hàm không âm

Định lý thứ hai Liapunov Giả sử đối với hệ qui đổi (8) tồn tại một hàm xác định

dơng V(t, X) (liên tục theo các biến t, x 1, , x n trong T0 = {ta < t <  ; ||X||  h < H}x{||Y|| <

 T) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X  0 và có đạo hàm theo t xác định âm

o

V (t, X) trong nghĩa của hệ đó Khi đó nghiệm tầm thờng X  0 của hệ ổn định tiệm cận khi t  +.

Hệ quả Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất A ( t ) X

Trong định lý trên ta có thể thay điều kiện xác định dơng của hàm V(t, X) bằng

điều kiện xác định âm nhng khi đó phải có điều kiện xác định dơng đối với V(t, X)

14

Chơng II Tính ổn định bình phơng trung bình của hệ vi phân ngẫu

nhiên có trễ

Đ1 Vi phân Itô của hàm Liapunov

Để nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên

ta cần một số khái niệm cơ bản về vi phân Itô đợc xây dựng theo các quá trình Wiener

Từ tính chất iii) ta suy ra EdWt = 0, E(dWt)2 = 

Định lý sau đợc gọi là qui tắc vi phân Itô

Định lý 2.1.1.2. Cho X = (Xt) là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô:

d x t = A(t, x t ) dt + B(t, x t )dW t Giả sử y = g(t, x) là hàm một lần khả vi liên tục theo biến t, hai lần khả vi liên tục theo biến x Khi đó quá trình ngẫu nhiên y t = g(t, X t ) có vi phân Itô đợc tính theo công thức:

dt B x

g 2

1 dX x

g dt t

g

2 t

II Vi phân Itô của hàm Liapunov.

2.1.2.1 Xét hệ vi phân tuyến tính dừng

Ax dt

dx dt

Lời kỳ vọng hai vế ta có: EdV = xT(ATH + HA + BTHB)xdt (vì EdW = 0)

2.1.2.3 Xét hệ sai phân ngẫu nhiên.

x(k + 1) = [tA + B(k)]x(k)

trong đó (k) = W(k + 1) – W(k) là quá trình “ồn trắng” ngẫu nhiên

V = Vx(k + 1)) – Vx(k) = xT(k + 1)Hx(k + 1) – xT(k)Hx(k)Thay x(k + 1) = [tA + B(k)]x(k) ta có:

V = xT(k)[tATHA – H + (BTHA + ATHB)(k) + BTHB2(k)]x(k).Lấy kỳ vọng hai vế ta có: EV= xT(k)(ATHA – H + BTHB)x(k).(Vì E(k) = 0

E2(k) = E(W(k + 1) – W(k))2 = 1)

16

) t ( dx

với điều kiện ban đầu 0  t0 < t, x() = x0  0 với  = t0, x() = 0, t0 -    < t0

 = Const  0, t0 –     t0

t0 là thời điểm gốc; x, x0 – vectơ cột n – chiều; A, A1- các ma trận hằng

Định nghĩa2.2.1.1 Nghiệm x = 0 của hệ (1) ổn định theo Liapunov nếu  > 0 bé

tuỳ ý, > 0 sao cho từ điều kiện ||x0|| <  suy ra ||x(t, t0, x0)|| < 

Trong trờng hợp trái lại nếu không tồn tại  thì ta nói x = 0 không ổn định

Định nghĩa 2.2.1.2 Nghiệm x = 0 của hệ (1) ổn định tiệm cận theo Liapunov nếu

nó ổn định theo định nghĩa 1 và thoả mãn:

0

||

) x , t t ( x

||



 với điều kiện gốc x0 mà ||x0|| < 

Định nghĩa 2.2.1.3 Nghiệm x = 0 của hệ (1) ổn định mũ theo Liapunov với số mũ

 > 0 nếu nó ổn định tiệm cận và thoả mãn:

||x(t, t0, x0)|| < k||x0||e t

trong đó k > 0,  > 0 - các hằng số không phụ thuộc t0, x0

Định nghĩa2.2.1.4. Nghiệm x(t, t0, x0) của hệ (1) bị chẵn tuyệt đối nếu C > 0sao cho ||x0|| <  thì ||x(t, t0, x0)|| < C

Bài toán đặt ra là với giả thiết chùm ma trận D và A chính quy tìm các điềukiện ổn định tiệm cận của nghiệm các hệ vi phân có trễ

) t ( x A ) t ( Ax dt

) t ( dx

II Một số kết quả đã biết.

Chùm ma trận A – D đợc gọi là chính quy (hay không suy biến) nếu det(A

- D)  0 (theo ), muốn thế các ma trận A và D phải không suy biến

Nếu detA = 0 thì điều đó có nghĩa là hệ:

) t ( Ay dt

) t ( dy

đặt ở biên ổn định

Về sau này ta luôn giả thiết detD  0

Nếu hệ (2) ổn định tiệm cận theo Liapunov tức là chùm ma trận A – D Hurwitz(hoặc phần thực của các giá trị riệng âm) thì ta có bổ đề sau đây:

Bổ đề 2.2.2.1 Nếu chùm ma trận A   D Hurwitz thì ồn tại ma trận xác định dơng

đối xứng duy nhất H0 cỡ nxn là nghiệm của phơng trình Sylvester

T T

Trong đó G là ma trận xác định dơng đối xứng chọn tuỳ ý cỡ nxn chọn tuỳ ý

Mệnh đề ngợc cũng đúng: Nếu ồn tại H0 = HTo  0 của phơng trình (3) thì chùm matrận A D Hurwitz

Bổ đề 2.2.2.2 (Kalman, Bertram) Nếu Chùm ma trận A   D ổn định mũ với chỉ

số mũ  > 0 thì tồn tại ma trận xác định dơng đối xứng duy nhất cỡ nxn là nghiệmcả phơng trình Sylverter

(A + D)TH0D + DTH0(A +D) = - G (4)Trong đó G là ma trận xác định dơng đối xứng chọn tuỳ ý cỡ nxn

Mệnh đề ngợc cũng đúng: nếu tồn tại H0 = HT0  0 của phơng trình (4) thìchùm ma trận A D ổn định mũ với chỉ số 

18