Tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới

Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài này là trình bày một số kết quả gần đây của Nguyễn Quang Diệu về tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới trên tập mở trong  nhằm làm nsáng tỏ vấn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÂM QUANG TÀI

TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: : 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU

Thái Nguyên, năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luân văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác đã công bố ở Việt Nam Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2015

Tác giả

Lâm Quang Tài

Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn

Xác nhận của người hướng dẫn khoa học

GS TSKH Nguyễn Quang Diệu

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Nguyễn Quang Diệu người thầy đã tận tình giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Giải Tích trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ những kiến thức quan trọng cho tôi, tạo điều kiện thuận lợi, cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu giúp đỡ tôi nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn ĐHSP Thái Nguyên khoa toán - tin nơi mà tôi đã được đào tạo và hoàn thành luận văn thạc sỹ

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người luôn ủng hộ tôi trong suốt quá chình hoàn thành luận văn

Thái Nguyên tháng 10 năm 2015

Tác giả

Lâm Quang Tài

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Phân bố 3

1.2 Dạng vi phân 3

1.3 Dòng 4

1.4 Hàm nửa liên tục 8

1.5 Hàm điều hòa dưới 11

1.6 Hàm đa điều hòa dưới 13

1.7 Hàm đa điều hòa dưới cực đại 16

1.8 Toán tử Monge-Ampère phức 18

Chương 2 TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI 34

2.1 Bài toán 34

2.2 Tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới 34

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tính duy nhất của một hàm nào đó có vai trò quan trọng trong toán học

Ở phổ thông ta thường gặp bài toán giải phương trình, việc tìm ra lời giải không

hề dễ dàng nhưng bằng những cách thông thường ta lại tìm được một nghiệm của

nó Công việc của chúng ta là chứng minh hàm số đó có nghiệm duy nhất trên miền xác định

Tương tự trong giải tích hàm ta có: Giả sử dãy hàm f x1( ), f x2( )…, f x n( ) xác

định trên miền D thỏa mãn lim n( ) f(x)

n f x thì ta có f(x)là duy nhất

Tính duy nhất của một hàm được các nhà toán học rất quan tâm, đặc biệt trong giải tích phức Trong lớp các dãy hàm chỉnh hình chúng ta đã biết Định lí sự tồn tại duy nhất của hàm chỉnh hình Cụ thể: Giả sử cho f z ( ), g z ( ) là các hàm chỉnh hình trong miền mở trong  n Nếu ( )f z n g z( )n trên một dãy điểm khác nhau

n

z mà hội tụ tới một điểm a thì f z ( ) g z ( ) với mọi z

Thế còn lớp hàm đa điều hòa dưới xác định trên miền mở trong  thì sao? nChúng có là duy nhất hay không, nếu không duy nhất thì chúng phải thỏa mãn điều kiện gì để trở thành duy nhất?

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài này là trình bày một số kết quả gần đây của Nguyễn Quang Diệu về tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới trên tập mở trong  nhằm làm nsáng tỏ vấn đề trên

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Cho là miền siêu lồi bị chặn trong  Cho n K là tập compact lồi chỉnh hình trong Cho u u1, 2 PSH ( ),u u phải thỏa mãn các điều kiện gì để 1, 2chúng bằng nhau trên Đây là nhiệm vụ hàng đầu mà ta cần giải quyết

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Ta nghiên cứu trên tập các hàm đa điều hòa dưới, âm trên tập mở là miền siêu lồi bị chặn trong  n

5 Nội dụng của luận văn

Nội dung chính của luận văn là trình bày một số kết quả gần đây của Nguyễn Quang Diệu về tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới trên tập mở trong n

Chương I Trình bày các kiến thức cơ sở như hàm nửa liên tục, đa điều hòa dưới, toán tử Monge-Ampère làm cơ sở lí thuyết cho chương sau

Chương II Phát biểu và chứng minh chi tiết bài toán về “tính duy nhất của hàm

đa điều hòa dưới”

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu là dựa vào tính chất của toán tử Monge-Ampère cùng với đặc trưng hình học của tập lồi phân hình và lồi chỉnh hình làm công cụ để chứng minh tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới, âm thỏa mãn một số điều kiện cho trước trên tập mở trong  n

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN1.1 Phân bố

Thật vậy, rõ ràng uf là dạng tuyến tính trên D U ( ) Giả sử KÐ Chọn U k 0, , do

f liên tục trên U Khi đó với mọi D U ( ), sup p K, ta có:

ánh xạ p - tuyến tính thay dấu bằng công thức

1 1

1

( , , , ) ( )( , , )

p p

: p( n, ) Nếu đặt dx x k( ) u k, 1 ≤ k ≤ n, x thì từ lí luận trên ta có thể viết mỗi p - dạng

vi phân trên dưới dạng :

1.3 Dòng

1.3.1 Định nghĩa

Một dòng bậc p hay có chiêu (n-p) trên tập mở n

 là dạng tuyến tính liên tục ( )

: n p( )

T D  , với D(n p)( ) là không gian các (n- p) - dạng trơn có giá

Nếu là dạng trong D(n p)( ), giá trị của T tại , kí hiệu T ( ) hay T, Thông thường các dòng thường được xét với tôpô yếu Như vậy với tôpô này, một dãy T n các dòng bậc p trên gọi là hội tụ tới dòng T bậc p trên nếu dãy

n

T hội tụ tới T trong không gian (D(n p)( )) ,

nghĩa là với mọi

1 i i p n Giả sử J ( , ,j1 j n p) là dãy tăng các chỉ số là phần bù của I

trong tâp 1, 2, , n Khi đó D U ( ) xác định

Dòng T bậc p trên gọi là cấp 0 nếu nó thác triển tới dạng tuyến tính liên tục trên không gian D0(n p)( ) các ( n p ) dạng với hệ số là các hàm liên tục có giá compact trong Trong trường hợp này nếu

'

I

thì T là các dạng tuyến tính liên tục trên I C0( ) với giá trị trong  , do đó T Ilà độ

đo Borel chính quy phức trên

Ví dụ : Giả sử n là tập mở và E là tập Borel Khi đó E xác định một dòng bậc 0, kí hiệu E , trên cho bởi

,

E

Dòng E được gọi là dòng tích phân trên

Khi xét các dạng vi phân cũng như các dòng trên tập mở trong n 2n ta sẽ phát biểu các khái niệm này theo tọa độ phức z ( , , , )z z1 2 z n n Bằng cách thay

Rõ ràng ( , ) n n dòng là các phân bố trên Các ( , ) n n dòng là cấp 0là các độ đo Borel chính quy trên , D(n p n q. )( ), ta kí hiệu T, là tác động của T lên

Ví dụ : Giả sử là ( ,q) p dạng với hệ số là các hàm khả tích địa phương trên Khi đó xác định một ( ,q) p dòng T trên bởi :

nếu

, ,

Giả sử T là (p, q) - dòng trên  Khi đó ta xác định :

Định nghĩa Giả sử T là (p, q) - dòng trên tập mở  T được gọi là dòng

dương nếu với mỗi dạng dương sơ cấp

1.4.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô Hàm u: X ; gọi là nửa

liên tục trên trên X nếu với mỗi  thì tập

: ( )

là mở trong X

Ta có định nghĩa tương đương

Giả sử X là không gian tôpô Hàm u: X ; gọi là nửa liên tục trên trên X nếu

0

0

lim supu(x) u(x )

Tương tự ta có khái niệm nửa liên tục dưới trên X

Hàm u: X ; gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu -u là hàm nửa liên tục trên trên X

Dễ thấy định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính chất địa phương sau

Giả sử u X: , Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x X nếu với

1.4.2 Định lí Giả sử u là hàm nửa liên tục trên trên không gian tôpô X và

KÐX là tập compact Khi đó u đạt cực đại trên K

Chứng minh Các tập x X u x: ( ) n với n 1 tạo nên phủ mở của K Do

đó có phủ con hữu hạn phủK Vậy ubị chặn trên K Giả sử M sup u x x K( ) :

Khi đó các tập mở x X u x: ( ) M 1

n không thể phủ K Vậy có x0 K sao cho

0

1( )

n với mọi n Vậy u x( )0 M Ta có điều phải chứng minh

1.4.3 Định lí Giả sử u là hàm nửa liên tục trên và bị chặn trên không gian metric

( , ) X d Khi đó tồn tại các dãy giảm các hàm liên tục : X  với

Rõ ràng hàm liên tục thì nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

1.5 Hàm điều hòa dưới

1 . 5.1.Định nghĩa Giả sử là tập mở trong  Hàm u: ; gọi là điều hòa dưới trên nếu nó nửa liên tục trên trên và thỏa mãn bất đẳng thức trung bình trên , nghĩa là với mọi tồn tại 0 sao cho với mọi 0 r

Ví dụ: Nếu f :  là hàm chỉnh hình trên thì log f là hàm điều hòa dưới trên

Chứng minh: trường hợp f 0trên thì kết quả là rõ ràng Giả sử f 0

trên Khi đó rõ ràng log f là hàm nửa liên tục trên trên Giả sử Nếu

( ) 0

f thì chọn 0 sao cho f 0trên B( , ) z : z Khi đó

log f là hàm điều hòa trên B( , ) z : z nên Bất đẳng thức trung bình được thỏa mản trên Trường hợp f 0 Khi đó log f và do đó Bất đẳng thức trung bình cộng luôn đúng

1 .5.2.Mệnh đề Giả sử u , v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở trong  Khi đó

(i) Max( , ) u v là hàm điều hòa dưới trên

(ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên là mộtnónsiêu lồi, nghĩa là nếu

u v SH và 0, 0 thì u v cũng thuộc SH ( )

Chứng minh.Dễ thấy từ Định nghĩa 1.5.1

Bây giờ ta đi đến Nguyên lí cực đại của hàm điều hòa dưới

1 .5.3.Định lí.Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền bị chặn trên  Khi đó:

(i) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên thì u là hằng số trên

(ii) Nếu limsup ( ) 0

z u z thì với mỗi thì u 0trên Chứng minh (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M tại điểm z0

Do đó là tập compact nên u đạt cực đại tại Nếu thì do giả thiết u ( ) 0trên Do đó u 0trên Trường hợp thì theo (i) thì

u là hằng số trên Do đó là hằng số trên Vậy u 0trên

Định lí sau cho ta thấy giới hạn của dãy hàm điều hòa dưới là hàm điều hòa dưới

1 .5.4.Định lí Giả sử u n là dãy các hàm điều hòa dưới trên tập mở trên  và

lim n

n

u u Khi đó u là hàm điều hòa dưới trên

Chưng minh.Đầu tiên ta chứng minh u là hàm nửa liên tục trên trên Với mỗi a  , tập

u thỏa mãn Bất đẳng thức dưới trung bình nên dùng Định lí hội tụ đơn điệu suy ra

u cũng thỏa mãn Bất đẳng thức dưới trung bình trên Do đó u là hàm điều hòa dưới trên

1.6 Hàm đa điều hòa dưới

1.6.1 Định nghĩa Giả sử n

 là tập mở, hàm u: ; là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng trên mọi thành phần liên thông của Hàm u

được gọi là đa điều hòa dưới trên (viết u PSH ( )) nếu với mọi a và

: , 1

ta có

Chứng minh.Điều kiện cần là hiển nhiên suy ra từ Định nghĩa 1.6.1

Điều kiện đủ Giả sử a và b n và xét

Ta cần chứng minh v ( ) là hàm điều hòa dưới trên U Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ

nếu 0 U tồn tại 0 sao cho với 0 r thì

Chứng minh Các khẳng định (i), (ii), (iii) được suy ra từ Định nghĩa 1.6.1và

Định lí hội tụ đơn điệu hay Định lí qua giới hạn dưới dấu tích phân trong trường hợp dãy hội tụ đều Ta cần chứng minh (iv) Chỉ cần chứng tỏ a và b n sao

i

Với a , chọn dãy z n sao cho z n a và u( ) z n u* ( )a

Từ z b, 1 nên với n đủ lớn thì z n b, 1 Khi đó

2

0

1(z ) * ( )

0

1lim sup * ( )2

i n

2

0

1lim sup * ( )2

i

Ta có điều phải chứng minh

1.6.4 Mệnh đề (Nguyên lí cực đại) Giả sử D là một miền trong  và n

lim sup ( ) u(a) ( )

2

i

Từ đó do tính nửa liên tục trên của hàm u nên suy ra u u z là một dãy lân cận ( )0

của a Vậy D là mở, do đó 0 D0 D Điều này kéo theo u u z trên ( )0 D Mâu thuẫn với Giả thiết

1.7 Hàm đa điều hòa dưới cực đại

1.7.1 Định nghĩa.Cho nlà tập mở và u PSH ( ) Ta nói ulà hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω và viết u MPSH ( ) nếu với mọi tập mở, compact tương đối G và mọi hàm v nửa liên tục trên trên G, v PSH G ( ), v u trên ∂G thì

Thật vậy, giả sửv GÐn \ 0 và u v trên G Với mỗi z G, xét tập mở

Điều phải chứng minh

1.7.2.Định lí Giả sử là một miền trong  n

(i) Giới hạn của dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên hoặc bằng hoặc là các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên

(ii) Nếu u MPSH ( ) thì với mọi G Ð tồn tại một dãy các hàm đa điều hòa dưới cực đại trong G hội tụ giảm tới u trong G

Chứng minh.(i) Giả sử u j MPSH( )và u j utrên Giả sử u

trên Lấy G Ð là tập mở, compact tương đối trên Giả sử v là hàm nửa liên tục trên Gvà v PSH G ( ) , v u trên G Khi đó v u j trên G và do đó

v u trên G

Vậy

v utrênG

(ii) Do G Ð nên ta có thể chọn dãy hàm đa điều hòa dưới liên tục v j trên một lân

cận của G giảm tới u Đặt , |

j

u u Khi đó dãy u j là dãy giảm các hàm đa

điều hòa dưới liên tục trên G và chúng cực đại trên G Từ (i) suy ra u j u Điều phải chứng minh

Chứng minh Ta chứng minh ddcu T là (p + 1, q + 1) - dòng dương, đóng Ta có

(ddc ) (ddc ) (ddc )

Vậy chỉ cần chứng minh

0 (ddc u T) (ddc u T) Chỉ cần chỉ ra (ddc u T) 0 tương tự ta suy ra (ddc u T) 0 Lấy

Bây giờ ta chứng minh ddcu T là dương Giả sử u M Khi đó với mỗi 0 đủ

bé, u M , u u Bởi Định lí hội tụ bị chặn của Lebesgue ta có u T hội tụ yếu tới uT Do đó dd (c u T) hội tụ yếu tới dd (c uT) vì với mọi  0,(n q 1,n q1)( )

ta có

dd (c u T), u T, ddc, ddc dd (c ),

Nhưng do u là hàm trơn trên nên

dd (c u T ) ddcu T

theo Định nghĩa thông thường

Nhưng u PSH( ) L loc( ) nên dd (c u T) là (1, 1) - dòng thực, dương Vậy

ddc u ddc u ddc u p dd c v

Trường hợp nếu u PSH ( ) Lloc( ) thì ta có ddcu là (1, 1) - dòng dương, đóng trên Do đó xác định được (dd )c u n là (n, n) - dòng dương, đóng trên Vây

(dd )c u n là độ đo Borel chính quy trên

Để có thể tiếp tục nghiên cứu tính chất của toán tử Monge-Ampère phức, đặc biệt là Định lí hội tụ Bedford-Taylor và Xing đối với các toán tử này, ta cần vài kết quả sau

1.8.1.3 Bổ đề.Giả sử j là dãy có độ đo Radon trên tập mở n hội tụ yếu tới

độ đo Radon Khi đó

a) Nếu G là tập mở thì ( ) lim inf ( )

E IntE E Khi đó

1.8.1.4 Bổ đề.Nếu f j là dãy các hàm nửa liên tục trên hội tụ tới hàm f và

j là độ đo Borel dương hội tụ yếu tới Nếu f j j hội tụ yếu tới độ đo thì

g Định lí hội tụ đơn điệu cho ta f j0 j cho j0 và dùng Định

lí hội tụ đơn điệu ta đi đến

Đăc bệt, nếu lim ( ) 0

z v z thì

ddc uddc

Chứng minh Chú ý rằng ddcv Tvà ddcu Tlà các độ đo Borel dương trên Với

0, đặt u max u, Khi đó u 0 và là hàm điều hòa dưới trên u tăng dần về 0 khi giảm dần về 0 Từ Định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue ta có

z u z nên u 0 là tập compact tương đối trong Lấy miền

Ð sao cho u 0 Ð Ð Khi đó với j đủ lớn, (u - u ) 1 0

Tiếp theo ta chứng minh Bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg.

1.8.1.6 Định lí Giả sử n

 là tập mở, u u1, , ,2 u p PSH( ) L ( ) và T là (p, q) - dòng dương, đóng với p q n Khi đó với mọi K Ð ta có

Chứng minh Có thể coi p 1 Lấy D ( ) sao cho 0 1 và 1 trên K khi

đó tồn tại C 0 không phụ thuộc vào n và q sao cho

1

ddc ddc n q

K K

theo nghĩa độ đo của dòng

Chứng minh Do bài toán là địa phương nên ta có thể giả sử u k j và T được xác định trong lân cận của B B z r ( , )0 là hình cầu đóng tâm z0 bán kính r, B B z r( , )0 B

Do giả thiết có thể giả sử có M 1 sao cho

1

j k

M u và M uk 1

với mọi k 1, 2 mọi j 1 trong lân cận của B

Lấy B Ð và đặt B

2 20

Ta chứng minh định lí bằng quy nạp theo p

Định lí đúng trong trường hợp p=0 do Định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue

Xét p 1 và giả sử Định lí đúng cho p 1 Khi đó