Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN 2 http://www.lrc.tnu.edu.vn/E.Bedford và B.A.Taylor, năm 1988, đã chứng minh rằng một miền bị chặn trơn tuỳ ý trong n C là miền tồn tại của hàm đa điề

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM

ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM

ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2014

Trang 3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN i http://www.lrc.tnu.edu.vn/

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Hường

Trang 4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN ii http://www.lrc.tnu.edu.vn/

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Bố cục của luận văn 2

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Hàm đa điều hồ dưới 5

1.2 Tốn tử Monge-Ampère phức 7

Chương 2: DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HỒ DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU 17

2.1 Hàm đa điều hồ dưới với độ đo Monge-Ampere bị chặn đều địa phương 17

2.2 Dung lượng của tập mức con của hàm đa điều hịa dưới trong lớp con của e W( ) 22

2.3 Dưới thác triển của hàm đa điều hịa dưới với độ đo Monge-Ampere bị chặn 27

2.4 Dưới thác triển tồn cục của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu 30

2.5 Dưới thác triển tồn cục của hàm đa điều hồ dưới với độ đo Monge - Ampere bị chặn đều 34

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

Trang 5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN 1 http://www.lrc.tnu.edu.vn/

được gọi là dưới thác triển của j tới W%

E.Bedford và D.Burns và sau đĩ là U.Cegrell, năm 1978, đã chứng minh rằng một vài miền trơn bị chặn thỏa mãn điều kiện biên đã biết là một miền tồn tại của một hàm đa điều hịa dưới

El Mir, năm 1980, đã cho một ví dụ về một hàm đa điều hịa dưới trên song đĩa đơn vị trong £ mà hạn chế lên một song đĩa bé hơn khơng cĩ dưới 2

thác triển lên tồn bộ khơng gian Tác giả cũng chứng minh rằng, sau khi làm yếu đi tính kỳ dị của hàm đa điều hịa dưới đã cho bằng sự hợp thành với hàm lồi tăng thích hợp, cĩ thể đạt được dưới thác triển tồn cục

Sau đĩ Alexander và Taylor vào năm 1984 đã tổng quát hĩa kết quả này với chứng minh đơn giản và hiệu quả hơn

Trang 6

E.Bedford và B.A.Taylor, năm 1988, đã chứng minh rằng một miền bị chặn trơn tuỳ ý trong n

C là miền tồn tại của hàm đa điều hịa dưới trơn

Gần đây, các tác giả Cegrell và Zeriahi đã chứng minh rằng hàm đa điều hịa dưới với độ đo Monge - Ampere bị chặn đều trên một miền siêu lồi bị chặn luơn cĩ dưới thác triển đa điều hịa dưới đến một miền siêu lồi lớn hơn

Ở đây chúng tơi muốn chứng minh một vài kết quả chỉ ra rằng hàm đa điều hịa dưới với độ đo Monge - Ampere trên một miền siêu lồi bị chặn luơn

cĩ dưới thác triển đa điều hịa dưới tồn cục với cấp tăng lơga ở vơ cùng Vì

thế chúng tơi chọn đề tài “Dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ

dị yếu”

Đề tài cĩ tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà tốn học trong và ngồi

nước quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc

nghiên cứu về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

+ Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm

đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère

+ Trình bày một số kết quả về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu

3 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết thế vị phức

- Trình bày lại các kết quả của U.cegrell, S.kolodziej và A.zeriahi

4 Bố cục của luận văn

Trang 7

Nội dung luận văn gồm 44 trang, trong đĩ cĩ phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu

Trong mục 2.1, nhắc lại định nghĩa cơ bản liên quan đến lớp Cegrell ( )

e W các hàm đa điều hịa dưới với độ đo Monge - Ampere bị chặn đều địa phương trên miền siêu lồi n

WÐ C Từ đĩ cho đặc trưng theo ngơn ngữ dung lượng của hàm trong lớp e W( )

Trong mục 2.2, trình bày các ước lượng về cỡ của tập mức con của các hàm đa điều hịa dưới trong lớp con khác nhau của lớp e W( )

Trong mục 2.3 trình bày các kết quả về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với độ đo bị chặn

Trong mục 2.4, sử dụng kết quả trong phần 2.2 để tổng quát hĩa định lý dưới thác triển của Alexander - Taylor, từ đĩ suy ra rằng hàm đa điều hịa dưới

cĩ năng lượng hữu hạn theo nghĩa của Cegrell sẽ cĩ dưới thác triển tồn cục với cấp tăng lơgarit kiểu logarit bé tùy ý

Phần cuối cùng của chương này, trong mục 2.5, sử dụng kết quả gần đây

từ lý thuyết của phương trình Monge - Ampere trên đa tạp Kahler compact nhờ tác giả Kolodziej, chứng minh hai kết quả về dưới thác triển tồn cục của hàm

đa điều hịa dưới cĩ độ đo bị chặn đều trên miền siêu lồi nhờ hàm đa điều hịa dưới với cấp tăng logarit trên n

C với độ đo Monge - Ampere tồn cục được xác định tốt trong một vài trường hợp

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tĩm tắt kết quả đạt được

Bản luận văn được hồn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học

Trang 8

dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Tốn học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận

lợi cho tơi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái

tạo điều kiện giúp đỡ tơi về mọi mặt trong quá trình học tập và hồn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong nhận được sự đĩng gĩp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn học viên để luận văn này được hồn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn

Trang 9

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hồ dưới

1.1.1 Định nghĩa

hợp {l Ỵ £ : a + l bỴ W} Trong trường hợp này, ta viết u Ỵ P SH( )W ( ở đây kí hiệu P SH( )W là lớp hàm đa điều hồ dưới trong W)

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hồ dưới:

1.1.2 Mệnh đề

Nếu u v Ỵ, P SH( )W và u = v hầu khắp nơi trong W, thì u º v

1.1.3 Định lý

Cho W là một tập con mở trong £ Khi đĩ n

( )i Họ P SH( )W là nĩn lồi, tức là nếu a b là các số khơng âm và ,

các tập con compact của W, thì u Ỵ P SH( )W

Trang 10

hồ dưới trong W

1.1.4 Hệ quả

w

íïïï

= ìï

Wïïỵ

1.1.5 Định lý

( )i Cho u v, là các hàm đa điều hồ trong W và v > 0 Nếu f : ¡ ® ¡

là lồi, thì v u v f ( / ) là đa điều hồ dưới trong W

( )ii Cho u Ỵ P SH( )W, v Ỵ P SH( )W, và v > 0 trong W Nếu

:

f ¡ ® ¡ là lồi và tăng dần, thì v u v f ( / )là đa điều hồ dưới trong W

(iii) Cho u,- v Ỵ P SH( )W, u ³ 0 trong W, và v > 0 trong W Nếu

ïïï

ïïïïỵ

Trang 11

với dV là yếu cĩ thể tích trong Cn gọi là tốn tử Monge-Ampe Tốn tử này

cĩ thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên khơng gian các hàm liên tục với giá compact C W0( ) trên W

0

n c

và gọi là tốn tử Monge-Ampe của u

Sau đây chúng ta sẽ xem xét một vài tính chất cơ bản của tốn tử Ampe, phần cuối của mục này là nguyên lý so sánh được dùng trong chương 2

Monge-1.2.1 Mệnh đề

Trang 12

Trang 13

độ đo phức trên W Vậy từ u Ỵ P SH( )W ÇL¥loc( )W nên u là hàm khả tích đối

hội tụ yếu tới

độ đo Radon m Khi đĩ

Trang 14

lân cận mở của K và j Ỵ C V , 0( ) 0£ j £ 1 và j = 1 trên K Khi đĩ

c) Viết E = IntE È ¶ Khi đĩ E

( ) (int ) lim inf j(int ) lim inf j( )

Trang 15

điều hịa dưới trên W và u tăng tới 0 khi e giảm về 0 Từ định lí hội tụ đơn e

u u C và do giả thiết T là (n - 1,n - 1)- dịng dương, đĩng

trên W nên dd u c Ù là T ( , ) n n - dịng dương, đĩng với mọi

Trang 16

Điều này cĩ nghĩa là với mọi e > 0 tồn tại K Ð sao cho W " Ỵ Wz \ K

thì u z( )- v z( )³ - e Hơn nữa khi thay u bởi u + d d, > 0, thì {u + d< v} {- u < v} khi d ¯0 Nếu bất đẳng thức (1.2) đúng trên u + d< v

thì cho d ¯0 suy ra (1.2) đúng trên {u < v} Vì vậy cĩ thể giả sử lim infz® ¶ W( ( )u z - v z( )) ³ d> Vậy 0 {u < v}Ð W

u z + e ³ v z + >d v z với z gần biên ¶ W Vậy u e = u z( )+ e gần biên

¶ W và u e ¯ trên v W¢ Theo cơng thức Stokes

Trang 17

Trang 18

thì u = v = 0 và kết luận là hiển nhiên) Khi đĩ nếu l > 1 thì u l < u trên W

Vậy u l < v trên W Từ đĩ

Trang 19

(dd u c )n £ (dd v c )n trên W Khi đĩ u £ v trên W

Chứng minh Đặt y( )z = z 2 - M , với M được chọn đủ lớn sao cho 0

y < trên W Giả sử {u < v} khác rỗng Khi đĩ cĩ e > 0 sao cho {u < v + ey} khác rỗng và do đĩ nĩ cĩ độ đo Lebesgue dương Do Định lí 1.2.4 ta cĩ

Trang 20

Giả sử WÐ £n là miền bị chặn và u v, Ỵ P SH( )W ÇL¥ ( )W sao cho

Trang 21

Chương 2 DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HỒ DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU 2.1 Hàm đa điều hồ dưới với độ đo Monge-Ampere bị chặn đều địa phương

Trước tiên ta nhắc lại một vài định nghĩa trong [Ce 2], [Ce 3] Giả sử

Trang 22

yếu*

của dãy các các độ đo (dd j c j)n , trong đĩ (j j) là dãy giảm các hàm đa điều hồ dưới thuộc lớp e W0( ) hội tụ đến j và thoả mãn các điều kiện địi hỏi trong định nghĩa

2.1.1 Bổ đề

Cho j Ỵ e p( )W, nếu p > 0 và j Ỵ F( )W khi p = 0 Khi đĩ

Dãy như thế được gọi là dãy p - chấp nhận được giảm đến

dưới trong e0, giảm đến , với điều kiện (2.1), dãy (- j)p là dãy tăng các hàm nửa liên tục dưới trên W hội tụ đến (- )p và dãy các độ đo ( c )n

j

dd hội tụ yếu đến (dd c )n trên W Từ đĩ suy ra

0

(dd c )n = f dd y( c )n Theo Định lý Kolodziej (xem [Ko], [ce2]), với số nguyên

Trang 23

1

j ³ tùy ý tồn tại j Ỵ e0( )W sao cho (dd c j)n = min{ , }.(f j ddy0)n Bây giờ theo Nguyên lý so sánh , ta thấy dãy ( j) giảm đến hàm đa điều hồ dưới y

trên W sao cho y Ỵ e p( )W và (dd c y)n = (dd c )n Theo Nguyên lý so sánh suy

ra = y trên W Bây giờ theo Định lý hội tụ đơn điệu ta được

Cho j Ỵ P SH-( )W và K Ð W là tập hợp Borel, ta định nghĩa

“j - dung lượng” dương như sau [Be]:

2.1.2 Mệnh đề

Giả sử j Ỵ P SH-( )W Khi đĩ j Ỵ e( )W khi và chỉ khi với tập compact tùy

ý K Ð W ta cĩ C K j( )< + ¥ Hơn nữa, nếu j Ỵ e( )W thì với tập Borel K Ð W ,

Chứng minh Từ định nghĩa của j% K , suy ra j% K là đa điều hồ dưới trên

W, cực đại trên W\ K và thoả mãn j £ j%K £ 0 trên W

Trang 24

Bây giờ giả sử Ỵ e( )W ([Ce2], [Ce3]) suy ra

j £ %j trên W và trên j%j = j j hầu khắp nơi trên K Do đĩ (j% j) hội tụ đến hàm

đa điều hồ dưới y sao cho j%K £ y trên W và y = j hầu khắp nơi trên K Như

vậy y = % Vì j K j j £ %j j trên W và các hàm này thuộc e W), nên suy ra: 0(

Trang 25

Bây giờ giả sử y Ỵ e0( )W được chọn sao cho j £ y trên W và đặt

sup ,

y = y j trên W j j £ y j j%j £ y j hầu khắp nơi trên K

Vì các hàm thuộc e W cĩ độ đo triệt tiêu trên các tập đa cực, nên theo bất 0( )đẳng thức Demailly ([De]) suy ra

0( ; ) ( c K)n

W

W £ ị % < + ¥ Điều này đã chứng minh bất đẳng thức thứ nhất trong (2.4) cũng như điều kiện cần của định lý

Bây giờ giả sử rằng điều kiện về dung lượng Cj được thoả mãn Khi đĩ xét dãy giảm các hàm đa điều hồ dưới (j j) Ð e0( )W hội tụ đến j Lấy tập con

tùy ý K Ð và định nghĩa W j%j = ( )j%j K với j Ỵ N* Khi đĩ j%j Ỵ e0( )W

Từ phần đầu ta biết rằng (j% j)giảm đến j%K = j hầu khắp nơi trên K Vì

thế ta chứng minh được j Ỵ e( )W Hơn nữa, theo Định lý hội tụ chúng ta đạt được bất đẳng thức thứ hai trong (2.4) Mệnh đề được chứng minh

Bây giờ xét q:R ® R là hàm đơn điệu giảm sao cho

Trang 26

1

( )t

dt t

t a - - t q- t là đơn điệu tăng và lồi trên éê- ¥ ; 0ùú

định nghĩa B( )W là lớp các hàm âm y Ỵ P SH( )W sao cho với z Ỵ W0 bất kỳ

q thoả mãn (2.6) sao cho ( v ( v)) 1

n

Từ kết quả cuối cùng ở trên ta cĩ thể kết luận kết quả sau mà nĩ cho ví

dụ cụ thể về hàm thuộc lớp e W( ) Kết quả này cũng đã đạt được bởi U.Cegrell

2.1.3 Mệnh đề

Với một miền siêu lồi bất kỳ WÐ £n , ta cĩ B( )W Ð e( )W Nĩi riêng, với

n a

Trang 27

Bây giờ chúng ta chứng minh ước lượng dung lượng sau của tập mức con của các hàm đa điều hồ dưới cĩ năng lượng hữu hạn

Trang 28

2) Giả sử j Ỵ e p( )W và (j j) là dãy p- chấp nhận được các hàm đa điều hồ dưới thuộc lớp e W0( ) giảm đến j

Khi đĩ j%w Ỵ e p( )W với số thực tùy ý p mà 0< p< q- n

Chứng minh.Trước tiên ta chứng minh rằng với hàm đa điều hồ dưới ( )

u Ỵ e W tùy ý và tập hợp Borel B Ð W, ta cĩ

( c )n (sup )n ( ; )

B B

với điều kiện là supB u < + ¥

Trang 29

Để chứng minh ước lượng này, đặt M = supB u < + ¥ và định nghĩa hàm v = sup{u/ M, 1- } trên W Khi đĩ v Ỵ P SH( )W,- £1 v £ 0 và

Từ đĩ suy ra (2.9) được chứng minh

j

B = z Ỵ w - + £ j z < - Khi đĩ từ (2.9) suy ra

( ) ( ) (sup ) ( ; ) 2( )

j j

j A

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	1,24 MB