Định lý về thương hai đa thức mũ
B(z) là một hàm nguyên Khi đó, tồn tại một hàm
Tamarkin, Pólya và Schwenglert đã đưa ra một kết quả quan trọng liên quan đến việc biểu diễn các α i trong mặt phẳng phức Để làm rõ, A được định nghĩa là đa giác lồi nhỏ nhất chứa các điểm này, từ đó giúp chúng ta đạt được tính duy nhất trong phân tích được trình bày trong Bổ đề 1.1.
Giả sử các cạnh của A được xác định bởi σ1, , σl.
Xét d i (i = 1, , l) là tia đối xứng qua trục thực với một tia vuông góc với σ i ra phía ngoài A Các tác giả đã chứng minh sự tồn tại của l nửa dải song song theo hướng d i (i = 1, , l), chứa tất cả các không điểm của A Nếu s i là độ dài của σ i, thì số lượng không điểm có mô-đun nhỏ hơn r nằm trong nửa dải song song với d i tương đương với rs i /(2π) khi r tiến ra ∞.
Bây giờ ta xét đa giác lồi B tương ứng với B(z) Vì mỗi không điểm của
B là một không điểm của A, do đó, theo công thức tiệm cận cho số không điểm trong một nửa dải, mỗi cạnh τ của B song song với một cạnh của A Độ dài cạnh của B không nhỏ hơn độ dài cạnh tương ứng của A, và hai hướng vuông góc với các cạnh này hướng ra ngoài đa giác tương ứng là trùng nhau.
Giả sử rằng các số α 0, , α m trong (1.1) được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của phần thực, và trong trường hợp phần thực bằng nhau, chúng ta sẽ xem xét sự tăng dần của phần ảo Khi các số α 0, , α m là các số thực không âm và a m khác 0, chúng ta định nghĩa α m là bậc của hàm (1.1).
Bổ đề 1.1 Giả sử A(z), và B(z) 6≡ 0 là hai đa thức mũ với các số mũ thực không âm Khi đó, ta có thể biểu diễn
Công thức A = QB + R (1.3) thể hiện rằng Q và R là hai đa thức mũ với số mũ thực không âm Trong đó, R có thể là 0 hoặc là một đa thức có bậc thấp hơn bậc của B.
Chứng minh Nếu trong (1.2) ta có αm < βn, thì ta có ngay (1.3) với Q 0, R = A Do đó, bây giờ ta xét trường hợp α m ≥ β n
Gọi α m , , α m−i là tập tất cả các số α i không bé hơn β n Xét đa thức mũ
C = A− (a m e α m z + +a m−i e α m−i z) b n e β n z B, (1.4) ở đó, các số mũ đều không âm.
Nếu B chỉ có một hạng tử, thì C sẽ bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn B Ta có thể biểu diễn A dưới dạng A = QB + R, trong đó R = C và Q là phân thức nằm ở vế phải của (1.4).
Q = (a m e α m z + +a m−i e α m−i z) b n e β n z Bây giờ, giả sử B có ít nhất hai hạng tử Nếu C khác 0, khi đó, bậc của
Nếu C nhỏ hơn hoặc bằng αm−(βn−β n−1), ta có thể biểu diễn A = QB + R khi C bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn βn Trong trường hợp khác, bằng cách nhân chéo và chuyển vế trong biểu thức (1.4), ta sẽ đạt được (1.3) Tiếp tục quá trình này, với βn − βn−1 là một đại lượng cố định, sau một số bước hữu hạn, ta sẽ thu được (1.3).
Công thức xấp xỉ số không điểm trên mỗi nửa dải song song, tương ứng với cạnh của đa giác bao tuyến tính cho tập hợp các số mũ, cho thấy rằng biểu diễn trong (1.3) là duy nhất.
Chứng minh Định lý 1.1 Giả sử rằng A 6≡ 0 Nhóm các số hạng của A có các số mũ có phần thực giống nhau, ta viết
A = P 1 e u 1 z + + P j e u j z, trong đó u 1, , u j là các số thực tăng dần và P 1, , P j có dạng g 1 e v 1 iz + + g p e v p iz với các số thực v 1, , v j cũng tăng dần Để không làm thay đổi các không điểm của A và tính chia hết đang nghiên cứu, ta nhân A với một hàm mũ và giả sử u 1 và số v nhỏ nhất trong P j đều bằng 0.
B = Q1ew1z + + Qhew hz, với các điều kiện tương tự như đối với A Độ lớn uj được xác định là hiệu giữa hoành độ của điểm ngoài cùng bên phải và điểm ngoài cùng bên trái của A Do mỗi cạnh của B tương ứng với một cạnh của A về chiều dài và cùng hướng, nên rõ ràng uj ≥ wh.
Nếu B chỉ có một hạng tử, ta có ngay kết quả định lí Bây giờ ta giả sử
B chứa ít nhất hai hạng tử, với h ≥ 2 và Q1, Qh không bằng 0 Đặt uj, , u j−r, trong đó mỗi uj đều lớn hơn uj−(wh−w h−1) Chúng ta sẽ chứng minh rằng thương của Pj, , Pj−r với Qh là một đa thức mũ có dạng (1.6).
Nếu Q h là một hằng số, điều đó là hiển nhiên Tuy nhiên, nếu Q h không phải là hằng số, thì B sẽ có một cạnh dọc bên phải với chiều dài bằng giá trị v lớn nhất trong Q h Điều này dẫn đến việc A cũng phải có một cạnh bên phải có chiều dài tương đương Do đó, giá trị v lớn nhất trong P j không thể nhỏ hơn giá trị tương ứng trong Q h, theo Bổ đề 1.1.
P j = SQ h +R, ở đó S và R có dạng (1.6) có các số mũ v không âm và nếu R 6≡ 0 thì giá trị v lớn nhất trong R nhỏ hơn giá trị v lớn nhất trong Qh.
Ta nói rằng R là đa thức không Giả sử ngược lại, khi đó
Các số hạng trước Re u j z trong (1.8) là tích của các đa thức (1.6) với e dz, với d ≥ 0 và nhỏ hơn u j Giả sử vế trái của (1.8) có mọi không điểm của B, nhưng có một cạnh dọc bên phải của đa giác cho vế trái ngắn hơn cạnh tương ứng của B Điều này cho thấy một sự khác biệt quan trọng trong cấu trúc hình học giữa hai biểu thức.
A−SBe (u j −w h )s = +P j−1 e u j−1 z , điều đó kéo theo P j−1 là tích của Q h với đa thức dạng (1.6) Tương tự,
D được biểu diễn dưới dạng tổng S 1 e t 1 z + + S k e t k z, với S 1, , S k theo dạng (1.6), và t 1, , t k là các số không âm, tăng dần, thỏa mãn điều kiện t k ≤ u j − (wh − w h−1) Nếu D khác 0 và có tất cả các không điểm của B, chúng ta có thể lặp lại các lập luận tương tự Do w h − w h−1 là một đại lượng dương cố định, quá trình này sẽ kết thúc sau một số bước hữu hạn, dẫn đến việc tìm được hàm giống như D bằng 0 Khi điều đó xảy ra, A sẽ được biểu diễn như một tích của B với một đa thức mũ Đối với h = 1, ta có B = Q h trong (1.7), do đó, mỗi P là một tích của B với hàm dạng (1.7) Định lý đã được chứng minh.
MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VỚI HỆ SỐ HÀM 11
Giới thiệu kết quả chính
Dãy số {G(n)} n∈ N ⊂ C được gọi là có công thức truy hồi tuyến tính nếu
G(n+k) = c0G(n)+ +c k−1 G(n+k−1)với mọin ∈ N vàc0, , c k−1 ∈ C. Dãy {G(n)} n∈ N có công thức truy hồi tuyến tính khi và chỉ khi có công thức tường minh dạng
Xét dãy truy hồi có dạng X i=1 gi(n)α n i với mọi n∈ N, trong đó gi ∈ C[X] là các đa thức khác không và αi ∈ C ∗ là các số phân biệt Dãy truy hồi này được gọi là "đơn" khi mọi gi là các hằng số.
Năm 2017, Guo và Wang đã thiết lập một kết quả quan trọng về thương của hai dãy truy hồi tuyến tính các hàm phức, tương tự như các kết quả số học trước đó của Corvaja và Zannier Định lý 2.1 xác định rằng với hai số nguyên dương l và m (l, m ≥ 1), và các hàm nguyên không hằng số f1, , fl và g1, , gm, có điều kiện max i=1, ,l T f i (r) max j=1, ,m T g j (r) sẽ được áp dụng.
F(n) = a 0 +a 1 f 1 n + +a l f l n và G(n) = b 0 +b 1 g 1 n + +b m g m n , trong đó a0 ∈ C và a1, , al, b0, , bm ∈ C ∗ Giả sử có ít nhất một trong hai điều sau được thỏa mãn:
(i) F(n)/G(n) là một hàm nguyên với vô hạn các số n ∈ Z ∗ ;
(ii) f1, , fl và g1, , gm đều là các hàm nguyên không có không điểm, và F(1)/G(1) là hàm nguyên.
Khi đó f 1 i 1 f l i l g 1 j 1 g m j m ∈ K g với (i 1 , , i l , j 1 , , j m ) 6= (0, ,0) ∈ Z l+m nào đó. Ở đây, T f (r) là hàm đặc trưng Nevanlinna Ký hiệu T f (r) T g (r) có nghĩa là tồn tại các số dương a, b sao cho aTf(r) < Tg(r) < bTf(r) với r đủ lớn.
Chương này nhằm trình bày kết quả của Guo về việc tổng quát hóa Định lý 2.1 cho trường hợp các hệ số là hàm có độ tăng nhỏ Kết quả không chỉ mở rộng bài toán thương của các dãy truy hồi mà còn cung cấp ứng dụng trong nghiên cứu các đa thức mũ do Ritt khởi xướng, như đã đề cập trong chương trước.
Với mỗi hàm nguyên g 1 , , g m , đặt g = (g 1 , , g m ) là một ánh xạ chỉnh hỉnh từ C vào P m−1 Ta nói hàm phân hình a là tăng chậm tương ứng với g nếu Ta(r) =o(T g (r)) Đặt
K g := {a| a là một hàm phân hình và T a (r) =o(T g (r) }.
Theo các tính chất cổ điển của các hàm đặc trưng, K g là một trường Đặt
R g ⊂ K g là vành con chứa tất cả các hàm nguyên trong K g Định lý 2.2 Cho l, m là hai số nguyên dương; f 1 , , f l và g 1 , , g m là các hàm nguyên khác hằng sao cho max
Giả sử có ít nhất một trong hai điều sau được thỏa mãn:
(i) F(n)/G(n) là một hàm nguyên với vô hạn các số n ∈ Z ∗ ;
(ii) f z , , f l và g 1 , , g m đều là các hàm nguyên không có không điểm, và F(1)/G(1) là hàm nguyên.
Khi đó tồn tại (i 1 , , i l , j 1 , , j m ) 6= (0, ,0) ∈ Z l+m để f 1 i 1 f l i l g 1 j 1 g j m m ∈
K g , Áp dụng định lý trên cho các đa thức mũ, ta thu được hệ quả sau đây:
Hệ quả 2.1 Cho F và G là hai đa thức mũ được viết dưới dạng
F(n) = a0 +a1e λ 1 z + + ale λ l z , G(n) = b 0 +b 1 e τ 1 z + +b m e τ m z , trong đó a i , b j là các đa thức khác 0trong C[z] và λ i , τ j ∈ C NếuF(z)/G(z) là một hàm nguyên, thì λ 1 , , λ l , τ 1 , , τ m phụ thuộc tuyến tính trong Q.
Một số ký hiệu và kết quả trong lý thuyết Nevanlinna
Nevanlinna Để có thể chứng minh định lý chính, ta điểm lại một vài ký hiệu, định nghĩa, và một số kết quả trong lý thuyết Nevanlinna.
Cho f là một hàm phân hình vàz ∈ C là một số phức Ký hiệu v z (f) : ord z (f), v z + := max{0;v z (f)}, v z − := −min{0;v z (f)}.
Ký hiệu n f (∞, r) là số cực điểm của f trong {z : |z| ≤ r} đếm cả bội. Hàm đến của f tại ∞ được định nghĩa bởi
Khi đó, hàm đếm N f (a;r) với a ∈ C được định nghĩa là
Hàm xấp xỉ m f (∞, r) được định nghĩa bởi m f (∞, r) :Z 2π 0 log + |f(re iθ )|dθ
2π, trong đó log + x = max{0,logx} với mỗi x ≥ 0 Với a ∈ C bất kỳ, hàm xấp xỉ m f (a, r) được định nghĩa bởi m f (a, r) := m 1/(f −a) (∞, r).
Hàm đặc trưng được định nghĩa bởi
Hàm đặc trưng thỏa mãn bất đẳng thức T f g (r) ≤ T f (r) +T g (r) +O(1) và
Đối với các hàm nguyên bất kỳ f và g, ta có bất đẳng thức T f + g (r) ≤ T f (r) + T g (r) + O(1) Điều này cũng thỏa mãn Định lý cơ bản thứ nhất, cụ thể là: nếu f là một hàm phân hình khác hằng trên C, thì với mỗi a ∈ C và mỗi số thực dương r, ta có m f (a, r) + N f (a, r) = T f (a, r) + O(1), trong đó O(1) không phụ thuộc vào r Định lý này có thể được suy ra từ công thức Jensen Ngoài ra, nếu f là một hàm phân hình khác 0 trên {z : |z| ≤ r, thì cũng có những kết luận tương tự.
2π = N f (r,0)−N f (r,∞) + log|c f |, trong đó c f là hệ số cao nhất của f trong khai triển chuỗi Laurent theo z, tức là f = cfz m + với cf 6= 0.
Mỗi ánh xạ chỉnh hình f: C → P n (C) có một biểu diễn rút gọn f = (f 0, , f n), trong đó f 0, , f n là các hàm nguyên trên C không có điểm chung Hàm đặc trưng Nevanlinna - Cartan T f (r) được định nghĩa để phân tích các tính chất của ánh xạ này.
Độ cao của hàm f = (f 0, , f n) được định nghĩa là ||f(z)|| = max{|f 0(z)|, , |f n(z)|}, trong đó 2π + O(1) cho thấy định nghĩa này không phụ thuộc vào cách chọn dạng rút gọn của hàm f, chỉ cộng thêm một hằng số.
Từ định nghĩa hàm đặc trưng, chúng ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.1 Cho f = (f0, , fn) : C → P n (C), là một đường cong chỉnh hình, ở đó f 0 , , f n là các hàm nguyên không có không điểm chung Khi đó,
Cho H là một siêu phẳng trong P n (C) (n > 0) và a 0 X 0 + +a n X n là một dạng tuyến tính xác định nó Điểm P = [xo : : xn] ∈ P n (C)\H được xét đến Hàm Weil λ H : P n (C)\H →R được định nghĩa bởi λ H (P) = −log |a 0 x0 + +anxn| max{|x 0 |, ,|x n |} Định nghĩa này phụ thuộc vào các hệ số a 0 , , a n nhưng chỉ khác nhau bởi một hằng số và không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ thuần nhất cho P Hàm xấp xỉ của f tương ứng với H được định nghĩa bởi m f (H, r) : ∫_0^2π λH(f(re iθ ))dθ.
2π Đặt n f (H, r) (tương ứng n (Q) f (H, r)) là số các không điểm của a 0 f 0 + + a n f n trong đĩa |z| ≤ r đếm cả bội, (tương ứng không tính bội lớn hơn
Q ∈ N) Hàm đếm tương ứng với H được định nghĩa bởi
N f (H, r) Z r 0 n f (H, t)−n f (H,0) t dt+ n f (H,0) logr và hàm đếm Q-truncated tương ứng với H được định nghĩa là
Định lý cơ bản thứ nhất áp dụng cho hàm f và siêu phẳng H Theo Định lý 2.5, nếu f : C → P n (C) là ánh xạ chỉnh hình và H là siêu phẳng trong P n (C), thì điều kiện f(C) không nằm trong H khi r > 0 được xác định.
T f (r) =m f (H, r) + N f (H, r) +O(1), trong đó O(1) bị chặn không phụ thuộc vào r.
Định lý cơ bản thứ hai của Vojita, được thể hiện qua Định lý 2.6, chỉ ra rằng đối với một đường cong chỉnh hình f: C → P n (C) có ảnh không nằm trong bất kỳ không gian con chính quy nào, và (f0, , fn) là dạng rút gọn của f, thì cho trước các siêu phẳng H 1 , , H q tùy ý trong P n (C).
Ký hiệu W(f) là Wronskian của f 0 , , f n Khi đó với ε > 0 bất kỳ ta có
2π +N W (f) (0, r) ≤ exc (n+ 1 +ε)T f (r), ở đó giá trị lớn nhất được lấy trên mọi tập con K của {1, , q} sao cho
H k (k ∈ K) có vị trí tổng quát và ≤ exc là ước lượng cố định trừ ra r trong tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Để chuẩn bị cho việc ngắt bội, cần nhắc lại một đánh giá quen thuộc trong lý thuyết Nevanlinna.
Bổ đề 2.1 khẳng định rằng cho hàm f: C → P n (C) là một đường cong chỉnh hình, ảnh của nó không nằm trong bất kỳ không gian con chính quy nào Các hàm f 0, , f n là các hàm nguyên không có điểm chung Bên cạnh đó, H 1, , H q được định nghĩa là các siêu phẳng trong không gian.
P n (C) có vị trí tổng quát Khi đó q
Cuối cùng, chúng ta sẽ nhắc lại bổ đề Borel Định lý 2.7 nêu rằng, cho ánh xạ chỉnh hình f : C → P n (C) và các hàm nguyên f 0, , f n không có điểm chung, nếu f n+1 là hàm chỉnh hình thỏa mãn điều kiện f0 + + fn + fn+1 = 0, và tổng P i∈I fi khác 0 với mọi tập con chính quy I ⊂ {0, , n + 1}, thì điều này dẫn đến một kết quả quan trọng trong lý thuyết hàm.
Một số kết quả trong lý thuyết Nevanlinna cho trường hợp mục tiêu di động
linna cho trường hợp mục tiêu di động
Chúng ta sẽ phát biểu lại định lý cơ bản thứ hai cho các mục tiêu di động, sử dụng ánh xạ chỉnh hình f := (f 0 , , f n ) từ C vào P n, trong đó f 0 , , f n là các hàm chỉnh hình không có điểm chung Để tiếp tục, chúng ta sẽ sử dụng các hàm nguyên γ 0 , , γ n.
Khi đó, nó xác định một siêu phẳng (di động)H trongP n (K), ở đó trường
Trong không gian P n (K), mỗi siêu phẳng H(z) được xác định bởi một dạng tuyến tính L(z) = γ 0 (z)X 0 + + γ n (z)X n, với mọi 0 ≤ γ j ≤ n Theo quy ước, siêu phẳng này được coi là di động và liên kết với dạng tuyến tính đã nêu.
Với 1 ≤ j ≤ q, đặt γ j0 , , γ jn là các hàm nguyên của các hàm độ tăng nhỏ tương ứng với f và đặt K γ là một trường được tạo bởi tất cả các γ ji Đặt
Mỗi dạng tuyến tính L j xác định một siêu phẳng H j trong P n (K γ ) Các siêu phẳng di động H 1, , H q được coi là có vị trí tổng quát nếu mọi cách chọn n+1 dạng tuyến tính L i 1, , L i n+1 trong {L 1, , L q } là độc lập tuyến tính trong K γ Điều này có nghĩa là tồn tại z ∈ C sao cho L i 1(z), , L i n+1(z) độc lập tuyến tính trong C Siêu phẳng di động H được xác định bởi dạng tuyến tính L = γ 0 X 0 + + γ n X n với γ 0, , γ n ∈ K γ Hàm Weil λ H được định nghĩa là λ H (z) (P) = −log |γ 0 (z)x 0 + + γ n (z)x n | max{|x 0 |, , |x n |} max{|λ 0 (z)|, , |λ n (z)|}, với P = (x0, , xn) ∈ P n (C) và z ∈ C Hàm này được định nghĩa tốt trừ khi trong một tập có độ đo Lebesgue không và không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất cho P Hàm xấp xỉ của f tương ứng với H được định nghĩa bởi m f (H, r).
Tích phân được định nghĩa rõ ràng trong trường hợp tập hợp có độ đo Lebesgue Số không điểm của hàm γ 0 f 0 + + γ n f n trong đĩa |z| ≤ r, bao gồm cả bội, được ký hiệu là n f (H, r) Hàm đếm tương ứng với H được xác định dựa trên số không điểm này.
Khi đó, định lý cơ bản thứ nhất cho siêu phẳng di động H có thể phát biểu như sau:
Cho t là một số nguyên dương và V(t) là một không gian vector sinh ra trên C bởi
Chọn các hàm nguyên h1 = 1, h2, , hw làm cơ sở của V(t+1) sao cho h1, h2, , hu (u ≤ w) là cơ sở của V(t), với lim inf t→∞ dimV(t+1)/dimV(t) = 1 Định lý 2.8 phát biểu rằng cho f: C → Pn(C) là một đường cong chỉnh hình với biểu diễn rút gọn (f0, , fn), và Hj (1 ≤ j ≤ q) là các siêu phẳng (di động) trong Pn(Kγ) được xác định bởi các dạng tuyến tính Lj Các ký hiệu u, w, h1, , hw và W là Wronskian của {hmfk | 1 ≤ m ≤ w, 0 ≤ k ≤ n} Giả sử rằng f0, , fn là độc lập tuyến tính trên Kγ.
(i) Với ε > 0 bất kỳ, ta có bất đẳng thức
2π + 1 uN W (0, r) ≤ exc (n+ 1 +ε)T f (r), trong đó, max được lấy trên mọi tập con J ⊂ {1, , q} sao cho H j (re
Nếu các mặt phẳng di động H j 1 , , H j l có vị trí tổng quát với hầu hết z ∈ C, trong đó {j 1 , , j l } là tập con của {1, , q}, thì sẽ tồn tại một số nguyên dương Q sao cho l.
Theo định lý cơ bản thứ nhất (2.7), ta giả định rằng q ≥ n + 1, từ đó suy ra rằng ít nhất n + 1 siêu phẳng trong tập {H1, , Hq} có vị trí tổng quát Điều này dẫn đến việc định nghĩa ánh xạ chỉnh hình.
Chú ý rằng đây là một dạng rút gọn với các hàm nguyên h, m, f, k, trong đó 1 ≤ m ≤ w và 0 ≤ k ≤ n, không có điểm chung Hơn nữa, h1 = 1 và f(k) với 0 ≤ k ≤ n cũng không có điểm chung F là một hàm tuyến tính không suy biến trên C, do f tuyến tính không suy biến trên K, và hàm đặc trưng của nó có tỉ lệ tương đồng với f theo ước lượng đã nêu.
Tiếp theo, chúng ta xây dựng một tập của các siêu phẳng (cố định) để áp dụng Định lý 2.6 Đầu tiên chúng ta quan sát thấy rằng h i L j n
P k=0 h i γ jk X k ,1 ≤ i ≤ u,1 ≤ j ≤ q là một dạng tuyến tính với các hệ số trong V(t+ 1) Do đó, với mỗi 1 ≤ i ≤ u,1 ≤ j ≤ q, tồn tại c ijkν ∈ C sao cho hiLj n
Với mỗii = 1, , uvàj = 1, , q, đặtHb ij là các siêu phẳng trongP w(n+1)−1 (C) được xác định bởi các dạng tuyến tính trong C
X ν=1 cijkνXkν (2.12) Điều đó được suy ra từ cách xây dựng h i L j (x 0 , , x n ) = Lb ij (h 1 x 0 , , h 1 x n , , h w x 0 , , h w x n ) (2.13) Áp dụng Định lý 2.6 cho F với các siêu phẳng Hbij,1 ≤ i ≤u,1≤ j ≤ q ta được
2)T F (r), (2.14) trong đó, max được lấy trên mọi tập con I ⊂ {1, , u} và J ⊂ {1, , q} sao cho Lb ij phụ thuộc tuyến tính trên C.
Chúng ta xét mối liên hệ sau với các hàm Weil của Hb ij và H j (z) với
1 ≤1 ≤ u,1≤ j ≤ q và z ∈ C. λH b ij (F(z)) = exc −log|Lb ij (F(z))|+ log max
Tiếp theo, đặt J là tập con của {1, , q} sao cho {H j (z)} có vị trí tổng quát với một vài giá trị z Khi đó {L j } j∈J phải độc lập tuyến tính trong
K γ Chúng ta đưa ra khẳng định sau: Nếu J là tập con của {1, , q} sao cho {L j } j∈J } phải độc lập tuyến tính trong K γ , khi đó các siêu phẳng
Hb ij ,1≤ i ≤ u, j ∈ J đều có vị trí tổng quát.
Nếu khẳng định trên sai, khi đó tồn tại α ij ∈ C không đồng thời bằng 0 sao cho
X i=1 α ij Lb ij = 0. Ước lượng Lb ij tại (h 1 X 0 , , h 1 X n , , h w X 0 , , h w X n ), ở đó X 0 , , X n là các biến, từ 2.13 ta có
Vì {L j } j∈J độc lập tuyến tính trên K γ , u
P i=1 α ij h i = 0 với mỗi 1 ≤ i ≤ u. Cũng vì h 1 , , h u độc lập tuyến tính trên C nên ta cóα ij = 0 với 1≤ i ≤ u và j ∈ J.
Từ mệnh đề trên, kết hợp với (2.15), ta có u
Từ (2.9) ta có thể chọn e đủ lớn sao cho w/u ≤1 + ε
Kết hợp bất đẳng thức (2.17), (2.14) và (2.11) cho chúng ta bất đẳng thức trong (i) Để chứng minh (ii), do f0, , fn độc lập tuyến tính trên K, ánh xạ chỉnh hình F trong (2.10) là tuyến tính và không suy biến trên C Chúng ta cũng xác nhận rằng nếu L j1 , , L jl độc lập tuyến tính trên Kγ, thì các siêu phẳng Hbij t (được xác định bởi các dạng tuyến tính trong (2.12)), với 1 ≤ i ≤ u và 1 ≤ t ≤ l, có vị trí tổng quát trên C Cuối cùng, chúng ta áp dụng Bổ đề 2.1 cho ánh xạ F với các siêu phẳng Hb ij t.
N F (Q) (Hb ij t , r), (2.18) ở đó Q:= w(n+ 1)−1 Từ (2.13) ta có
N F (Hb ij, r) = N h i L j (f) (0, r) ≥ N L j (f) (0, r), vì hi là các hàm nguyên và
Vì N L j (f) (0, r) = N f (Hj, r) và N h (Q) i (0, r) ≤ Th i (r) ≤ o(T f (r)), các bất đẳng thức trên trở thành u l
Bổ đề Borel và định lý Green với các mục tiêu di động
Trong phần này, chúng ta sẽ tổng quát hóa bổ đề Borel và định lý Green Cần nhắc lại rằng K f là tập hợp các hàm phân hình với điều kiện T u (r) = o(T f (r)), trong khi R f là vành con của K f, bao gồm tất cả các hàm nguyên trong K f.
Bổ đề 2.2 khẳng định rằng nếu f 0, , f n là các hàm nguyên không đâu triệt tiêu và f (f 0, , f n) là ánh xạ chỉnh hình từ C vào P n, thì tồn tại các hệ số γ i ∈ R (0 ≤ i ≤ n) sao cho γ 0 f 0 + + γ n f n = 0 Điều này dẫn đến việc với mỗi hàm fi, tồn tại một hàm fj (j ≠ i) sao cho tỷ lệ fi/fj thuộc K f.
Ta sẽ sử dụng kết quả sau để chứng minh bổ đề trên.
Bổ đề 2.3 khẳng định rằng với các hàm nguyên f_0, , f_n không có không điểm chung và f = (f_0, , f_n) là ánh xạ chỉnh hình từ C vào P_n, nếu tồn tại một số nguyên k ≥ n^2 thỏa mãn đẳng thức γ_0 f_0^k + + γ_n f_n^k = 0 với 0 ≠ γ_i ∈ R cho 0 ≤ i ≤ n, thì với mỗi f_i, sẽ tồn tại một j ≠ i sao cho (f_i/f_j)^k ∈ K_f.
Chứng minh rằng với mỗi f_i, tồn tại một tổng con triệt tiêu (2.22) gồm các số hạng γ_i f_i k mà không có tổng con chính quy nào khác Bằng cách thay đổi chỉ số, ta giả sử tổng con triệt tiêu là γ_0 f_0 k + + γ_m f_m k = 0, với 0 ≤ i ≤ m Nếu m = 1, thì f_1 k = αf_0 k với α ∈ K f nào đó, do đó giả sử m ≥ 2 Đặt β là một hàm nguyên sao cho f̃_0 = f_0 /β, , f̃_(m−1) = f_(m−1) /β không có điểm chung, và định nghĩa ̃f k := [f_0 k : f_1 k : : f_(m−1) k] = (f̃_0 k, f̃_1 k, , f̃_(m−1) k).
Lấy h là một hàm nguyên sao cho γ 0 f˜ 0 k /h, γ 1 f˜ 1 k /h, , γ m−1 f˜ m−1 k /h là các hàm nguyên không có không điểm chung, và đặt
! là một ánh xạ chỉnh hình từ C vào P m−1 (C) Ta thấy
0≤i≤m−1{log|f˜ i k |} −log|h|. Khi đó, từ định nghĩa hàm đặc trưng, ta có
T F k ≤ T˜ f k +o(T f (r)), (2.23) và tương tự, ta viết˜f k = h γ 0 γ 0 f˜ 0 k h , , h γ m−1 γ m−1 f˜ m−1 k h
T˜ f k ≤ T F k +o(T f (r)), (2.24) Định lý 2.5 và tính xác định dương của hàm xấp xỉ kéo theo
N ˜ f k i (0, r) ≤ T˜ f k (2.25) với i = 0, , m bằng cách lấy các siêu phẳng H i := {x 0 := 0} (với i 0, , m−1) và H m := {x 0 + +x m−1 = 0} Áp dụng Định lý 2.7 cho ánh xạ F k với đẳng thức (2.22), ta có
Kết hợp với (2.24) và Mệnh đề 2.1 ta được
T f i /f j (r) ≤ o(T f (r)) với mọi 1≤ i < j ≤m Do đó, fi/fj ∈ K f với mọi 1≤ i < j ≤ m.
Chứng minh Định lý 2.2 và Hệ quả 2.1
Giả sử F(z)/G(z) là một hàm nguyên Khi đó, định lý của chúng ta chỉ ra rằng
Q(z) := exp((i 1 λ 1 + +i l λ l +j 1 τ 1 + +j m τ m )z) ∈ K g với i 1 , , i l , j 1 , , j m là các số nguyên khác 0 Chú ý rằng
(i) Giả sử f z , , f l và g 1 , , g m đều là các hàm nguyên sao cho f 1 i 1 f l i l g 1 j 1 g m j m ∈/ K g với tập chỉ số (i 1 , , i l , j 1 , , j m ) ∈ Z l+m \ {(0, ,0)}. Giả sử rằng q(n) := F(n)
G(n) = a 0 +a 1 f 1 n + +f l n b 0 +b 1 g 1 n + +b m g m n là một hàm nguyên với n là một số nguyên dương Vì
1≤j≤mT g j (r) nên tồn tại hai hằng số dương a, b sao cho a max
Tồn tại một tập conS củaR + có độ đo Lebesgue vô hạn sao cho max
1≤j≤mT g j (r) T g k (r) với r ∈ S và k ∈ {1, , m} Bằng cách sắp xếp lại các chỉ số, ta có thể giả giả k = 1 Do đó
1≤j≤mT g j (r) = aT g 1 (r) với 1 ≤ i ≤ l và r ∈ S Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a > 1. Khi đó với r ∈ S,
Cố định hai số nguyên dương s, t Đặt
(2.29) Chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau trong suốt phần chứng minh Ký hiệu: c := (0, c 2 , , c m ) ∈ (Z ≥0 ) m ,|c| := c 2 + +c m ; d := (d 1 , , d m ) ∈ (Z ≥0 ) m ,|d| := d 1 + +d m
Chúng ta sắp xếp các chỉ số c ∈ (Z ≥0) m và d ∈ (Z ≥0) m theo thứ tự từ điển, với quy tắc rằng c i ≺ c j nếu |c i | > |c j | hoặc |c i | = |c j | và c i − c j là dương Ký hiệu g nc được định nghĩa là g 2 nc 2 g m nc m và g nd là g 1 nd 1 g m nc m.
Với mỗi c i , |c i | ≤ t ta định nghĩa ϕ c i :"
Số các ϕ c i như vậy là
Mỗi ϕ c i được xác định là một tổ hợp tuyến tính của g nc q(n), với điều kiện |c| ≤ t+s và g nd f i n, trong đó |d| ≤ s+t và e0 được xác định bởi a0 (e0 = 1 nếu a0 = 0, ngược lại e0 = 0) Đặc biệt, f 0 được đặt bằng 1 trong trường hợp a0 khác 0 Do đó, số lượng các dạng g nc q(n) có thể được tính toán.
Trong khai triển, ký hiệu N 2 và N đại diện cho số lần xuất hiện, với công thức N 1 + (l + 1)N 2 Đặt x i (n) := g nc i q(n) với 1≤ i ≤ N 1 và xN 1 +iN 2 +j(n) := f i n g nd j, trong đó 0 ≤ i ≤ l và 1 ≤ j ≤ N2 Từ các công thức (2.29) và (2.31), ta có ϕ c i = (−b 1 g 1 n ) s q(n)g nc i = (−b 1 ) s x i (n)g 1 sn với 1 ≤ i ≤ M Cuối cùng, x được định nghĩa là một ánh xạ chỉnh hình với x = (x 1 (n), x 2 (n), , x N (n)): C → P N −1 (C).
Ta thấy rằng a i b s−1 0 f i n , e 0 ≤ i ≤ l xuất hiện trong khai triển (2.31) với c = (0, ,0) Vì b 0 6= 0, ta có f i n , e 0 ≤ i ≤l với cách chọn x j (n) của chúng ta Vì chúng không có không điểm chung, x = (x 1 (n), x 2 (n), , x N (n)) :
C → P N −1 là một dạng rút gọn Để đơn giản, từ giờ trở đi ta giả sử a 0 6= 0. Các lập luận tương tự với a 0 = 0.
Đối với mỗi u thuộc K g, ta có T u (r) ≤ o(T g (r)) ≤ o(T x (r)) Chúng ta khẳng định rằng ánh xạ này là độc lập tuyến tính trên K g khi n đủ lớn Nếu khẳng định này không đúng với một số n đủ lớn, sẽ tồn tại các hàm nguyên γ 1, , γ N 1, à 0,1, à 0,2, , à l,N 2 không có điểm chung trên K g, và chúng không đồng thời bằng 0.
X k=0 à j,k g nd k f j n (b 0 +b 1 g 1 n + +b m g m n ) = 0 (2.36) Nếu tất cả à j,k đều bằng 0 thỡ
Theo Bổ đề 2.3, khi n > (l + 1) 2 N 1 2, tồn tại hai số hạng phân biệt f j n g nc i và f j n 0g nc i 0, sao cho thương f j n g nc i / f j n 0g nc i 0 = f j n / f j −n 0 g n(c i − c i 0) ∈ K g Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng f 1 i 1 f l i l g 1 j 1 g m j m ∉ K g với tập chỉ số không tầm thường (i 1, , i l, j 1, , j m) ∈ Z l+m.
Giả sử không phải tất cả các \( a_{j,k} \) đều bằng 0 và đặt \( d_{k_0} \) là phần tử lớn nhất giữa các tập \( \{d | \nu_{j,k} \neq 0, 0 \leq j \leq l\} \) Rõ ràng, \( \nu_{j_0,k_0} \neq 0 \) với \( 0 \leq j_0 \leq l \) Khi khai triển (2.36) và áp dụng Bổ đề 2.3 cho \( n > (l + 1)^2 (N_1 + N_2 (m + 1))^2 \), ta có thể xác định \( f_{j,n_0} g_{n d_{k_0}} g_{j,n_{00}} \) với \( (j_0, k_0, j_{00}) \neq (j_0, k_0, 1) \), hoặc \( f_{k,n_0} g_{n c_i} \) giữa các hệ số bằng 0 của khai triển (2.36) sao cho \( f_{j,n_0} g_{n d_{k_0}} g_{1,n} \) và \( f_{j,n_0} g_{n d_{k_0}} g_{n j_{00}} \).
Theo định nghĩa của g nc i trong (2.30), việc giả định rằng f 1 i 1 f l i l g 1 j 1 g m j m ∉ K g với tập chỉ số không tầm thường (i 1 , , i l , j 1 , , j m ) ∈ Z l+m dẫn đến mâu thuẫn Vì (j 0 , k 0 , j 00 ) khác (j 0 , k 0 ,1) và thứ tự của tập chỉ số g nd k g 1 n lớn hơn so với g nd k 0 g j n 00 trừ khi (j 0 , k 0 ) = (j0, k0), chúng ta có thể kết luận rằng thương đầu tiên không thuộc K g, điều này mâu thuẫn với giả thuyết ban đầu Tiếp theo, chúng ta sẽ xây dựng một tập các siêu phẳng trong P N −1 (K g ) để áp dụng Định lý 2.8 Do G1(n) = b0+b2g 2 n +b3g 3 n + +bmg m n với b0 khác 0, thứ tự từ điển cho c và cách chọn x i (n) sẽ cho phép chúng ta khai triển φ c i.
1 ≤i ≤ M, ϕ c i = A i,i x i (n) +A i,i+1 x i+1 (n) + +A i,N x N (n), (2.39) trong đó Ai,j ∈ S,1 ≤ i ≤ M, i ≤ j ≤ N và Ai,i = b s 0 với mỗi i = 1, , M. Đặt
H i := {X i−1 = 0}, 1≤ i ≤ N, (2.40) là siêu phẳng tọa độ của P N −1 (K g ), và
Siêu phẳng (2.41) được xác định theo khai triển (2.39) của ϕ c i, cho thấy rằng các siêu phẳng H M +1, , H N +M trong P N −1 (K g) có vị trí tổng quát Hơn nữa, các siêu phẳng H M +1 (z), , H N +M (z) đều có vị trí tổng quát với mọi z ∈ C, miễn là z không phải là một không điểm của b 0 Từ (2.39) và (2.41), ta cũng có thể suy ra thông tin từ (2.33).
Lấy e là một số nguyên bất kỳ đủ lớn và V(e) là C không gian vector sinh bởi tập
Đặt u = dimV(e) và w = dimV(e + 1), với {h1, , hu} là một cơ sở của V(e) và {h1, , hw} là một cơ sở của V(e + 1) Wronskian W được định nghĩa cho tập hợp {h j x k (n)|1 ≤ j ≤ w,1 ≤ k ≤ N − 1} Áp dụng Định lý 2.8 cho ánh xạ x = (x1(n), x2(n), , xN(n)) và các siêu phẳng H1, , HN + M, ta có được kết quả cần thiết.
(2.43) trong đó J chạy khắp các tập con của{1, , N+M} sao cho các siêu phẳng
√ −1θ) (j ∈ J) có vị trí tổng quát.
Bây giờ, chúng ta tiếp tục suy ra chặn dưới của vế trái trong (2.43) Với mỗi hàm phân hình ξ, ký hiệu
Chúng ta khẳng định rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi r bên ngoài tập
E ⊂ (0,∞) với độ đo Lebesgue hữu hạn. maxJ
Vì tập các không điểm của hàm nguyên là rời rạc, chúng ta có thể chỉ xét r với b 0 (re
√ −1θ) 6= 0 với θ bất kỳ Với θ ∈ S r − := {θ : |g 1 n | r,θ < 1}, ta chọn J là một tập chứa các siêu phẳng H M +1 (re
√ −1θ) 6= 0) có vị trí tổng quát và tính toán
(2.45) trong đó, bất đẳng thức cuối có được nhờ vào đồng nhất A i,i = b s 0 Với θ ∈ S r + := {θ : |g 1 n | r,θ ) ≥ 1}, chúng ta chọn J là tập chứa các siêu phẳng
H1, , HN là các siêu phẳng tọa độ của P N −1 Khi đó,
Xét công thức (2.46) với X i=1 log|x i (n)| r,θ −M snlog − |g 1 | r,θ, ta thấy rằng log − |g 1 sn | −1 r,θ = 0 trên S r + Điều này khẳng định rằng (2.44) được suy ra từ (2.45) và (2.46) Bằng cách lấy tích phân (2.44) từ 0 đến 2π, dựa vào Định lý 2.3, Định lý 2.4 cùng với định nghĩa hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng, chúng ta có thể rút ra các kết quả quan trọng.
(2.47) đẳng thức cuối cùng có được do các phép đồng nhất sau, bởi vì (2.42) và b 1 , g 1 và x j (n) là các hàm nguyên:
Vì H M +1 , , H N+M có vị trí tổng quát, từ Định lý 2.8, (2.32), (2.42) suy ra tồn tại một số nguyên Q (có thể lấy Q = wN −1) sao cho
≤N Qa(l+ m)T g 1 (r) + N 1 T F (n) (r) +o(T x (r)) (2.49) Chúng ta cũng lưu ý rằng
T a j (r) ≤ alnT g 1 (r) +o(T x (r)) (2.50) Kết hợp (2.43), (2.47), (2.49) và (2.50) với r ∈ S \E đủ lớn, ta có
Theo các tính chất của hàm đặc trưng, ta có được
Theo Mệnh đề 2.1, với s ∈ S ta có
Do đó, từ (2.51), ta kết luận được
Chúng ta chọn các tham cố s, t và ε để suy ra điều mâu thuẫn từ bất đẳng thức trên Để bắt đầu, ta cố định s > al Vì
Đối với các đa thức của t với bậc m − 1, ta có thể biểu diễn chúng dưới dạng al(m−1)!t m−1 + o(t m−1), trong đó hệ số cao nhất của M s lớn hơn hệ số cao nhất của aN1l khi t là một số nguyên đủ lớn.
M s > N 1 al Khi đó, chúng ta có thể chọn ε thỏa mãn
Vì g 1 khác hằng, T g 1 (r) (> 0) không bị chặn và chúng ta suy ra từ (2.54) rằng n < n 0 := N Qa(l+ m)
M s−N 1 al −3εa(N(s+t+ 1) +N 1 (l +m)) Nếu f 1 i 1 f l i l g 1 j 1 g m ∈/ K g với tập chỉ số không tầm thường bất kỳ (i 1 , , i l , j 1 , , j m ) ∈ Z l+m, thì tỉ số F(n)/G(n) không phải là hàm nguyên khi n > max{n 0 , n 1 }, trong đó n1 = (l + 1) 2 (N1 + N2(m + 1)) 2 và x tuyến tính không suy biến với n > n 1.
Trong kết luận thứ hai của Định lý 2.2, việc thay thế Bổ đề 2.3 bằng Bổ đề 2.2 cho phép chúng ta khẳng định rằng khai triển x(1) không chứa không gian con tuyến tính chính quy Hơn nữa, vì N ξ (0, r) = 0 với bất kỳ đơn vị ξ nào và N W (0, r) ≥ 0, ta có thể suy ra rằng vế trái của (2.49) không lớn hơn 0 Do đó, (2.51) trở thành.
Vì Tg 1 > 0 không bị chặn, chúng ta chọn
M sT g 1 (r) > 2εan(N(s+t+ 1) +N 1 (l +m)T g 1 (r) +O(1) (2.56) khi r đủ lớn, điều này mâu thuẫn với (2.55)
Luận văn đã trình bày lại một cách có hệ thống và tường minh một số kết quả sau:
Định lý Ritt cổ điển liên quan đến việc đánh giá tổng các phần thực của các không điểm nằm trong một dải song song với trục hoành, thực chất là trong một hình chữ nhật, của một đa thức mũ Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc phân tích các không điểm trong việc hiểu hành vi của đa thức mũ trong không gian hai chiều Sự kết hợp giữa định lý và các phương pháp đánh giá này cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc của các đa thức phức tạp.
Định lý Ritt đã được mở rộng để áp dụng cho trường hợp thương của hai dãy hàm phân hình truy hồi tuyến tính, trong đó hệ số trong công thức tường minh là phàm phân hình chậm Để đạt được những kết quả này, luận văn đã tổng hợp lại một số kết quả quan trọng trong lý thuyết Nevanlinna và giới thiệu một số mở rộng gần đây liên quan.
Bổ đề Borel, Định lý cơ bản thứ hai với mục tiêu di động, Định lý không gian con của Green.