Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)

Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

Ho ng Thà Thu H÷ìng

NH GI ÀA PH×ÌNGCÕA H€M A I—U HÁA D×ÎI V€ P DÖNG

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n, n«m 2016

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

Ho ng Thà Thu H÷ìng

NH GI ÀA PH×ÌNGCÕA H€M A I—U HÁA D×ÎI V€ P DÖNG

Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i t½chM¢ sè: 60.46.01.02

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc:

GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u

Th¡i Nguy¶n, n«m 2016

Líi cam oan

Tæi xin cam oan Luªn v«n n y l  do ch½nh t¡c gi£ thüc hi»n d÷îi süh÷îng d¨n cõa GS TSKH Nguy¹n Quang Di»u Luªn v«n khæng tròngl°p vîi c¡c · t i kh¡c v  c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñcch¿ rã nguçn gèc

Th¡i nguy¶n, ng y 10 th¡ng 04 n«m 2016

T¡c gi£

Ho ng Thà Thu H÷ìng

Líi c£m ìn

B£n luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TSKH.NGUY™N QUANG DI›U Em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y,ng÷íi ¢ ành h÷îng v  tªn t¼nh gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh em thüchi»n luªn v«n

Em xin gûi líi c£m ìn tîi Ban Gi¡m hi»u nh  tr÷íng, Ban chõ nhi»mKhoa To¡n, Pháng Sau ¤i håc còng c¡c th¦y cæ gi¡o Tr÷íng ¤i håc s÷ph¤m- ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi v  Vi»nTo¡n håc ¢ gi£ng d¤y, gióp ï em ho n th nh luªn v«n

Xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c anh chà, b¤n b± çng nghi»p Tr÷íng THPTNh¢ Nam T¿nh B­c Giang ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï v· måi m°t trong qu¡tr¼nh håc tªp v  ho n th nh b£n luªn v«n n y

Luªn v«n s³ khæng thº ho n th nh n¸u thi¸u sü thæng c£m, s´ chia v 

ëng vi¶n kàp thíi cõa gia ¼nh v  b¤n b± Xin b y tä láng bi¸t ìn s¥us­c

Do n«ng lüc cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸usât v¼ vªy em r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ v c¡c b¤n º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

Th¡i nguy¶n, ng y 10 th¡ng 04 n«m 2016

Håc vi¶n

Ho ng Thà Thu H÷ìng

Möc löc

1.1 H m i·u háa d÷îi 2

1.2 H m a i·u háa d÷îi 4

1.3 Dung l÷ñng t÷ìng èi 6

1.4 H m cüc trà t÷ìng èi 6

1.5 H m Green phùc vîi cüc t¤i væ còng 7

2 ¡nh gi¡ a thùc 15 2.1 ành lþ ch½nh 15

2.2 Ùng döng cõa ành lþ ch½nh 31

MÐ †U

a thùc mët bi¸n hay nhi·u bi¸n l  c¡c èi t÷ñng quan trång cõa gi£it½ch Ta câ thº th§y i·u n y qua c¡c ành lþ Weierstrass nâi r¬ng måi

h m li¶n töc tr¶n tªp compact l  giîi h¤n ·u cõa c¡c a thùc Mët v§n

· câ þ ngh¾a thüc ti¹n l  ¡nh gi¡ chu©n sup tr¶n mët tªp lîn thæng quachu©n cõa a thùc n y tr¶n c¡c tªp nhä hìn Mët b§t ¯ng thùc kiºu nh÷vªy l  b§t ¯ng thùc Bernstein Markov cho ¡nh gi¡ chu©n cõa a thùcphùc nhi·u bi¸n qua chu©n cõa a thùc n y tr¶n mët tªp khæng a cüctòy þ Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n l  tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ cõaBrudnyˇi v· ¡nh gi¡ kiºu nh÷ vªy cho nhúng h m a i·u háa d÷îi tr¶n

Cn m  câ d¤ng têng qu¡t hìn log cõa mæun cõa a thùc Luªn v«n câ

¤i sè hay gi£i t½ch thüc

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng ta tr¼nh b y l¤i mët sè kh¡i ni»m công nh÷k¸t qu£ c¦n thi¸t ÷ñc sû döng ð ch÷ìng sau

1.1 H m i·u háa d÷îi

ành ngh¾a 1.1.1 Gi£ sû X l  khæng gian tæpæ H m u : Ω −→[−∞; +∞) gåi l  nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X n¸u vîi méi α ∈ R tªp

Xα = {x ∈ X : u(x) < α}

l  mð trong X H m v : X −→ [−∞; +∞) gåi l  nûa li¶n töc d÷îi tr¶n

X n¸u −v l  nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X

ành ngh¾a 1.1.2 Gi£ sû Ω l  tªp mð trong C H m u : Ω −→[−∞; +∞) gåi l  i·u háa d÷îi tr¶n Ω n¸u nâ nûa li¶n töc tr¶n tr¶n

Ω v  thäa m¢n b§t ¯ng thùc d÷îi trung b¼nh tr¶n Ω, ngh¾a l  vîi måi

w ∈ Ω tçn t¤i % > 0 sao cho vîi måi 0 ≤ r < % ta câ

l  h m i·u háa d÷îi tr¶n Ω Ta k½ hi»u tªp c¡c h m i·u háa d÷îi tr¶n

∂x 2 + ∂∂y2u2 l  Laplace cõa u

Chùng minh Gi£ sû 4u ≥ 0 tr¶n Ω L§y D l  mi·n compact t÷ìng èitrong Ω v  h l  h m i·u háa tr¶n mi·n D, li¶n töc tr¶n D sao cholim sup

i·u háa d÷îi tr¶n D

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû u i·u háa d÷îi tr¶n Ω Gi£ thi¸t t¤i ω ∈ Ω ta câ4u(ω) < 0 Do â câ % > 0 sao cho 4u ≤ 0 tr¶n 4(ω, %) Theo i·u vøachùng minh th¼ −u l  i·u háa d÷îi tr¶n 4(ω, %) Do â u l  h m i·uháa tr¶n 4(ω, %) Vªy 4u(ω) = 0 v  g°p m¥u thu¨n Do â 4u ≥ 0 v 

trong C N¸u u l  h m i·u háa d÷îi tr¶n Ω2 th¼ u ◦ f l  i·u háa d÷îitr¶n Ω1.

Chùng minh V¼ t½nh i·u háa d÷îi l  t½nh àa ph÷ìng n¶n ch¿ c¦n chùngminh u◦f l  i·u háa d÷îi tr¶n méi mi·n co compact t÷ìng èi D1 b Ω1.Gi£ sû D1 l  mi·n nh÷ vªy Khi â D2 = f (D1) b Ω2 Chån d¢y h m

i·u háa d÷îi trìn {un} ∈ C∞(D2) sao cho un & u tr¶n D2 Theo ành

lþ 1.1.3 câ 4un ≥ 0 tr¶n D2 vîi måi n ≥ 1 Ta câ

4(u ◦ f ) = (4(un) ◦ f ) |f0|2 tr¶n D1

Do â theo ành lþ 1.1.3 ta câ u◦f l  h m i·u háa d÷îi tr¶n D1 Nh÷ng

un◦ f & u ◦ f tr¶n D1 n¶n u ◦ f l  i·u háa d÷îi tr¶n D1 v  ành lþ ÷ñcchùng minh

1.2 H m a i·u háa d÷îi

ành ngh¾a 1.2.1 Gi£ sû Ω ⊂ Cn l  tªp mð, u : Ω → [−∞; +∞) l 

h m nûa li¶n töc tr¶n, khæng çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦nli¶n thæng cõa Ω H m u gåi l  a i·u háa d÷îi tr¶n Ω (vi¸t u ∈ PSH(Ω))n¸u vîi måi a ∈ Ω v  b ∈ Cn, h m λ 7→ u(a + λb) l  i·u háa d÷îi ho°cb¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}

ành lþ 1.2.2 Gi£ sû u : Ω → [−∞, +∞) l  h m nûa li¶n töc tr¶n,khæng çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa Ω ⊂ Cn.Khi â u ∈ PSH(Ω) khi v  ch¿ khi vîi måi a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho

{a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω

Chùng minh i·u ki»n c¦n l  hiºn nhi¶n suy ra tø ành ngh¾a 1.2.1.

i·u ki»n õ Gi£ sû a ∈ Ω, b ∈ Cn v  x²t

U = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}

Khi â U l  tªp nð tr¶n C °t υ(λ) = u(a+λb), λ ∈ U C¦n chùng minhυ(λ) l  i·u háa d÷îi tr¶n U Muèn vªy ch¿ c¦n chùng tä n¸u λ0 ∈ U tçnt¤i ρ > 0 sao cho 0 ≤ r < ρ th¼

Tø a + λ0b ∈ U n¸u câ ρ > 0 sao cho khi |λ| < ρ th¼ a + λ0b + λb ∈ Ω.Vîi 0 ≤ r < ρ ta câ {a + λ0b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ Ω Do â tø gi£ thi¸t

Vªy υ(λ0) ≤ 2π1

2π

R

0υ(λ0 + reiθ)dθ, â l  i·u ph£i chùng minh

Ta câ °c tr÷ng sau ¥y cõa t½nh a di·u háa d÷îi cho c¡c h m kh£vi

ành lþ 1.2.3 Gi£ sû Ω ⊂ Cn l  tªp mð v  u ∈ C2(Ω) Khi â u ∈PSH(Ω) khi v  ch¿ khi Hessian Hu(z) = (∂z∂2u

j ∂ ¯ zk) cõa u t¤i z x¡c ànhd÷ìng, ngh¾a l  vîi måi w = (w1, w2, , wn) ∈Cn,

Chùng minh Suy ra tø ¯ng thùc: Vîi måi z ∈ Ω, w ∈ Cn v  ξ ∈ C ta câ

Bði b§t ¯ng thùc Chern- Levine- Nirenberg Cn(E)l  húu h¤n n¸u E b Ω

1.4 H m cüc trà t÷ìng èi

ành ngh¾a 1.4.1 Gi£ sû Ω ⊂ Cn l  tªp mð v  E ⊂ Ω H m cüc tràt÷ìng èi cõa E èi vîi Ω, ÷ñc k½ hi»u l  uE,Ω v  ÷ñc x¡c ành bði cængthùc

1.5 H m Green phùc vîi cüc t¤i væ còng

Mët lîp h m a i·u háa quan trång câ nhi·u ùng döng trong gi£i t½chphùc nhi·u bi¸n v  lþ thuy¸t a th¸ và l  c¡c h m thuëc lîp Lelong

ành ngh¾a 1.5.1 H m u ∈ PSH(Ω) ÷ñc gåi l  câ ë t«ng logaritn¸u tçn t¤i h¬ng sè Cu sao cho vîi måi z ∈ Cn:

u(z) ≤ logkzk + Cuvîi kzk = qPn

L+ = {u ∈ PSH(Cn) : ∃ C1(u), C2(u) sao cho,

C1(u) + logkzk ≤ u(z) ≤ C2(u) + logkzk}

ành ngh¾a 1.5.2 Gi£ sû E l  tªp bà ch°n H m

VE(z) = sup{u(z) : u ∈ L, u|E ≤ 0}, z ∈ Cngåi l  h m Green phùc cõa tªp E (vîi cüc t¤i ∞)

V½ dö

Gi£ sû E = B(a, r) = {z ∈ Cn : kz − ak ≤ r} Khi â

VB(a,r) = log+ kz − ak

r , z ∈ C

n

Trong â, log+ kz−ak

r = max(0, log kz−akr ).Thªt vªy, v¸ ph£i thuëc L v  ≤ 0 khi z ∈ E Vªy theo ành ngh¾a,

VB(a,r) ≥ log+ kz − ak

r , z ∈C

n.Gi£ sû u ∈ L, u|E ≤ 0 L§y w ∈ Cn\E v  x¡c ành h m

r ) °c bi»t υ(1) = ˜υ(1) =u(w) − log+ kw−akr ≤ 0 Tø â u(w) ≤ log+ kw−ak

|P (z)|

kP kB(a,r)

N¸u E1 ⊂ E2 th¼ VE 1 ≥ VE2 2 Gi£ sû E l  tªp a cüc Ta câ h m u ∈ L

vîi E ⊂ {u = −∞} Do â, vîi måi M > 0, u+M ≤ VE Do â VE = +∞tr¶n {u > −∞} v  suy ra V∗

E ≡ +∞ Ng÷ñc l¤i, n¸u V∗

E ≡ +∞ , câ d¢y{uj}j ⊂ L, uj|E ≤ 0 v  supj uj(z) = +∞ h¦u kh­p nìi tr¶n Cn i·u n ychùng tä hå U = {uj : j ≥ 1} khæng bà ch°n tr¶n ·u àa ph÷ìng Thªtvªy n¸u tr¡i l¤i th¼ vîi måi a ∈ Cn, câ r > 0 v  h¬ng sè C sao cho

Gi£ sû ng÷ñc l¤i, lim sup

jexp(uj(z) − Mj) ≤ 0 vîi måi z ∈ Cn Ta câ,

Chån d¢y {uj k}k≥1 sao cho

lim sup

jexp(ujk(z0) − Mjk) = δ v  Mj k ≥ 2k vîi måi k

k=1ωk = ω − log+ Rr ho°c

l  h m a i·u háa d÷îi tr¶n B(a, R) ho°c b¬ng −∞ Do R > 0 ÷ñcchån tòy þ n¶n ω l  h m a i·u háa d÷îi ho°c b¬ng −∞ tr¶n Cn Nh÷ngω(z0) > −∞ n¶n ω l  h m a i·u háa d÷îi tr¶n Cn Hìn núa tø (1.2)

ta suy ra ω ∈ L N¸u z ∈ E th¼ uj k(z) ≤ 0 Vªy

0, uj % VE∗ h¦u kh­p nìi tr¶n Cn Gi£ sû B ⊂ Cn \ E l  mët h¼nh c¦u.Khi â câ thº thay uj bði ˆuj l  h m a i·u háa d÷îi cüc ¤i tr¶n B v ˆ

uj % VE∗ tr¶n B Vªy V∗

E l  cüc ¤i tr¶n B Do â V∗

E l  cüc ¤i tr¶n Cn

5 Do E ⊂ E ∪ F n¶n V∗

E ≥ VE∪F∗ Gi£ sû u ∈ L, u|E ≤ 0 Tø gi£ thi¸t ta

câ υ ∈ L, F ⊂ {υ = −∞} Do E bà ch°n n¶n ta câ thº coi υ ≤ 0 tr¶n E

H m u + υ ∈ L v  u + υ|E∪F ≤ 0 vîi måi  > 0 Do â

u + υ ≤ VE∪F tr¶n Cn.Vªy u(z) ≤ VE∪F t¤i måi z ∈ {υ > −∞} Tø â u(z) ≤ V ∗

E∪F vîi måi

i·u háa d÷îi u ≥ V∗

E Câ thº gi£ thi¸t E khæng a cüc Do â u ∈ L

j=1

Kj th¼ lim

j→∞VKj(z) = VK(z) vîi måi z ∈ Cn.Chùng minh Tø ành ngh¾a ta câ VK 1(z) ≤ VK2(z) ≤ ≤ VK(z) vîi

z ∈ Cn Vªy tçn t¤i lim

j→∞VKj(z) ≤ VK(z) vîi måi z ∈ Cn.Gi£ sû u ∈ L, u ≤ 0 tr¶n K v   > 0 Tªp {z ∈ Cn : u(z) < } l tªp mð, chùa K Vªy câ j0 sao cho Kj 0 ⊂ {z ∈ Cn : u(z) < } Tø â

Chùng minh Gi£ sû u ∈ L, u|K ≤ 0 Khi â u ∗ χ ∈ L v  u ∗ χ & u khi

 & 0 tr¶n Cn Vªy vîi δ > 0 v  vîi méi x ∈ K câ sè x > 0 sao cho

u(x) ≤ u ∗ χx(x) < u(x) + δ ≤ δ

Do â tçn t¤i l¥n cªn Vx cõa x sao cho vîi måi t ∈ Vx : u ∗ χx(t) < δ

Hå {Vx}x∈K l  mët phõ mð cõa K Vªy câ {Vx1, , Vxr} phõ K °t

 = min{x1, , xr} Khi â

u ∗ χ(z) ≤ u ∗ χj(z), ∀j = 1, 2, , r, ∀z ∈ Cn.Nh÷ vªy vîi måi z ∈ K : u ∗ χ(z) < δ Do â u ∗ χ(z) − δ < 0 tr¶n K.Vªy

u ∗ χ(z) − δ ≤ VK(z), ∀z ∈ Cn

Tø ¥y ta ÷ñc

VK(z) = sup{u ∗ χ(z) − δ :  > 0, δ > 0}

v  h m VK l  nûa li¶n töc d÷îi

H» qu£ 1.5.7 N¸u K ⊂ Cn l  tªp compact v  V∗

K|K ≡ 0 th¼ VK l  h mli¶n töc tr¶n Cn, ð â V∗

K ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa VK.Chùng minh L§y a ∈ K Do V∗

K l  nûa li¶n töc tr¶n t¤i a v  V∗

K(a) = 0n¶n câ r > 0 sao cho

∀z ∈ B(a, r) : VK∗(z) < 1

Do â V∗

K(z) − 1 ≤ log+ kz−akr Vªy V∗

K(z) ≤ log+ kz−akr + 1 vîi måi z ∈ Cn

v  h m V∗

K ∈ L Tø gi£ thi¸t ta câ V∗

K(z) ≤ VK(z) vîi måi z ∈ Cn Vªy

VK∗ = VK v  k¸t luªn suy ra tø H» qu£ 1.5.6

H» qu£ 1.5.8 Gi£ sû K ⊂ Cn l  tªp compact v 

VK(z) ≤ log+ kz−ak vîi måi z ∈ Cn Do â V∗

K (z) ≤ log+ kz−ak vîi måi

z ∈ Cn °c bi»t V∗

K(t) ≤ log+ kt−ak = 0 Do â V∗

K|K ≤ 0 v  h» qu£

÷ñc chùng minh

ành ngh¾a 1.5.9 Tªp con E ⊂ Cn gåi l  L- ch½nh quy t¤i a ∈ E n¸u

h m VE li¶n töc t¤i a N¸u E l  L- ch½nh quy t¤i måi a ∈ E th¼ E ÷ñcgåi l  tªp L- ch½nh quy

Tr÷íng hñp E l  tªp compact trong Cn th¼ tø H» qu£ 1.5.7 câ thº chok¸t qu£ sau: Tªp E l  L- ch½nh quy khi v  ch¿ khi V∗

ành lþ 1.5.10 N¸u K ⊂ Cn l  tªp compact th¼ VK(z) = log ΦK(z), z ∈

Cn Hìn núa VK(z) = VKˆ(z) vîi måi z ∈ Cn, ð â ˆK l  bao lçi a thùccõa K

Chùng minh Vîi méi p ∈ PK H m u(z) = 1

deg plog |p(z)| ∈L v  u|K ≤ 0.Vªy

1deg p log |p(z)| = u(z) ≤ VK(z), z ∈ C

n

Tø â log ΦK(z) ≤ VK(z) vîi måi z ∈ Cn

Gi£ sû δ v   > 0 °t Kδ = {z ∈ Cn : d(z, K) ≤ δ Khi â H» qu£ 1.5.8cho th§y VKδ % VK khi δ & 0 v  VKδ li¶n töc Vªy ch¿ c¦n chùng minh

Vj ≤ (1 + 2)ΦK tr¶n Cn vîi j õ lîn Vªy cho j → ∞ ta câ exp u(z) ≤(1+2)ΦK(z)vîi måi z ∈ Cn Cho  & 0 ta ÷ñc i·u c¦n chùng minh

Tø biºu di¹n tr¶n ta câ

VK(z) = VKˆ(z), ∀z ∈ Cn

Ch֓ng 2

¡nh gi¡ a thùc

Trong ch÷ìng n y, chóng ta tr¼nh b y ¡nh gi¡ ë lîn c¡c h m a i·uháa d÷îi to n cöc tr¶n Cn (thäa m¢n mët sè i·u ki»n chu©n hâa n o â)düa tr¶n ë lîn tr¶n nhúng tªp r§t b² ch¿ c¦n câ ë o Lebesgue d÷ìng

p döng vi»c ¡nh gi¡ ë lîn c¡c h m a i·u háa v o vi»c nghi¶n cùu

¡nh gi¡ ë lîn cõa c¡c a thùc tr¶n c¡c tªp con gi£i t½ch thüc cõa Rn v nhúng ùng döng cõa k¸t qu£ n y v o ¡nh gi¡ mæun cõa a thùc tr¶nc¡c tªp n¬m trong c¡c tªp ¤i sè hay thªm ch½ l  gi£i t½ch thüc

2.1 ành lþ ch½nh

ành ngh¾a 2.1.1 H m a i·u háa d÷îi f : Cn −→ R thuëc lîp

Fr (r > 1) n¸u nâ thäa m¢n

Cho h¼nh c¦u B(x, t) thäa m¢n

f ≤ c log d|B(x, t)|

|ω|

!

+ supω

M»nh · 2.1.3 Vîi méi f ∈ Ar tçn t¤i mët h m i·u háa d÷îi hf :

C(r) := inf

f ∈Art(f ) > −∞ (2.4)Chùng minh L§y {fi}i≥1 ⊂ Ar sao cho

limi→∞t(fi) = C(r)

Khæng m§t t½nh têng qu¡t chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng d¢y n y khængchùa h m khæng Vîi méi S ⊂ X chóng ta °t

chóng ta s³ so s¡nh gi vîi h m cüc trà t÷ìng èi uK i ,D cõa c°p (Ki,D).Chó þ r¬ng, uKi,D ÷ñc x¡c ành bði

uKi,D(z) := sup{v(z) : v ∈ SH(D), v|Ki ≤ −1, v ≤ 0} (2.7)vîi z ∈ D Ð ¥y SH(D) = PSH(D) vîi n = 1 Tø gi ≤ −1 tr¶n Ki, theo

ành ngh¾a, chóng ta câ

K½ hi»u (uKi,D)∗ l  ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa uKi,D Do â h m

n y l  h m i·u háa d÷îi trong D Do gi ≤ 0 v  uK i ,D ≤ 0 n¶n theo b§t

Do (uK i ,D)∗ l  h m i·u háa ngo i tr¶n ph¦n bò cõa Ki chóng ta câ thºvi¸t l¤i v¸ ph£i nh÷ sau

L§y R0 ⊂D l  h¼nh v nh khuy¶n tòy þ chùa h¼nh trán conv(R) = {z; |z| ≤1+r

2 }v  ρ l  h m trìn vîi gi¡ trong conv (R') v  b¬ng 1 trong conv(R0)\R0.Theo cæng thùc Green's ta câ

cap(Ki,D) =

Z

Dρ4(uKi,D)∗dxdy = |

vîi h¬ng sè C0 (ch¿ phö thuëc v o r) v  méi z0 ∈ R0.

K¸t hñp vîi (2.9) v  hai b§t ¯ng thùc ngay sau chóng ta th§y r¬ng b§t

p döng ành lþ so s¡nh mët chi·u Alexander v  Taylor, trong [5], chob§t ¯ng thùc sau vîi ÷íng k½nh si¶u h¤n cõa Ki (nâ tròng vîi dungl÷ñng log cõa Ki)



=: C000(r)vîi måi i ≥ 1 Tø ành ngh¾a cõa fi suy ra

B¥y gií chóng ta ành ngh¾a h m i·u háa d÷îi c¦n t¼m hf(z) : C −→ Rbði

)

(z ∈ DDr(f ))2C(r) log 3+r4|z|

Ta °t

cf :=

log 4r(f )

3 + r2C(r) .Khi â

cf ≤

log 1 + 3r

3 + r2C(r) < ∞.

K¸t hñp l¤i ta câ i·u ph£i chùng minh

L§y k l  mët h m kh£ vi væ h¤n ch¿ phö thuëc v o b¡n k½nh tr¶n Cn

v  thäa m¢n

Z

Cnk(x)dxdy = 1, supp(k) ⊂ Bc(0, 1), (2.10)

ð â, z = x+iy vîi x, y ∈ Rn Cho Ω ⊂ Cn l  mët mi·n Vîi f ∈ PSH(Ω),chóng ta k½ hi»u fε l  h m x¡c ành bði

fε(w) :=

Z

Cnk(z)f (w − εz)dxdy, (2.11)

ð â w ∈ Ωε := {z ∈ Ω : dist(z, ∂Ω) > ε} M  fε ∈ C∞ ∩ PSH(Ωε) v 

fε(w) ìn i»u gi£m v  ti¸n tîi f(w) vîi méi w ∈ Ω khi ε → 0

Bê · 2.1.5 Cho f ∈ Fr Gi£ sû r¬ng c¡c h m {f1/k}k≥k0 thäa m¢n b§t

¯ng thùc (2.2) vîi B(x, t) v  tªp compact ω khæng phö thuëc v o k Khi

â f công thäa m¢n b§t ¯ng thùc n y

Chùng minh Do f ÷ñc ành ngh¾a tr¶n Bc(O, r) vîi r > 1 n¶n h m f1/kthuëc v· C∞ ∩ PSH(Bc(O, r − 1/k)) L§y {wk}k≥1 ⊂ ω sao cho

f1/k(wk) = max

ω f1/k.Hìn núa, l§y iºm zε,t ∈ B(x, t) sao cho

supB(x,t)

f − f (zε,t) < ε (2.12)Theo c¡c gi£ thi¸t cõa bê · ta câ

k→∞xk = lim

k→∞wk = w ∈ ω Sû döng t½nh nûa li¶n töc tr¶ncõa f ta suy ra

lim supk→∞

i·u â d¨n ¸n b§t ¯ng thùc

lim supk→∞

f1/k(wk) ≤ sup

ωf

K¸t hñp b§t ¯ng thùc n y vîi (2.12) v  (2.13) v  cho ε → 0, chóng tacâ

supB(x,t)

Chùng minh X²t c¡c h¼nh c¦u lçng nhau Bc(x,r−|x|r ) ⊂ Bc(x, r −|x|) ð â

x ∈ Bc(0, 1) v  k½ hi»u | · | l  chu©n Ìclit Ta chó þ h¼nh c¦u Bc(x, 1 − |x|)chùa h¼nh c¦u Bc

Rã r ng, n¸u r1 ≤ r2 th¼

γr1(f ; x) ≤ γr2(f ; x) v  γr 1 ≤ γr2 (2.19)

Bê · 2.1.7 Tçn t¤i h¬ng sè khæng d÷ìng C = C(r) sao cho b§t ¯ngthùc

γr ≥ limk→∞γrk ≥ C > −∞

óng vîi méi d¢y {rk}k≥1 t«ng tîi r

Chùng minh Theo (2.19), {γr k}k≥1 l  mët d¢y ìn i»u khæng gi£m v v¼ th¸ lim

k→∞γrk(∈ [−∞; 0]) l  tçn t¤i L§y {fk ∈ Frk}k≥1 v  {xk}k≥1 ⊂

Bc(0, 1) chån sao cho

limk→∞γrk(fk; xk) = lim

k→∞γrk

Ð ¥y chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng méi fk khæng çng nh§t b¬ng 0 K½hi»u Bk l  h¼nh c¦u Bc(xk,rk −|x k |

r k ) v  k½ hi»u λB l  h¼nh c¦u çng d¤ngcõa B vîi t¥m 0 v  gi¢n vîi h» sè λ > 0 X²t d¢y c¡c h¼nh c¦u

x ∈ Bc(0, 1) Do â bi¶n h¼nh c¦u Bc(x, r−|x|r ) cõa d¢y {tkBk} câ b¡nk½nh b² nh§t l := r−1

r Nh÷ vªy giao cõa nâ vîi Bc(0, 1) chùa h¼nh c¦u

Bl := Bc(y, l/4), ð â y = x(1 − r−|x|

2r|x|) Chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng

Bl ⊂ tkBkvîi måi k ≥ 1 Suy ra r¬ng

mk := sup

B l

fk0 ≤ γrk(fk; xk) < 0 (2.20)