Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)

Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Ngạc Ngọc Khôi

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận

lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Ban giám đốc TTGDTX Tỉnh Hà Giang cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên

để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2016

Tác giả

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Bố cục của luận văn 2

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị 4

1.2 Hàm đa điều hoà dưới 7

1.3 Hàm đa điều hoà dưới cực đại 9

1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 10

1.5 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 13

1.6 Các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong n 17

Chương 2: DƯỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI 19

2.1 Độ đo Monge - Ampère của dưới thác triển cực đại 19

2.2 Thế vị trên miền Kahler 21

2.3 Dưới thác triển của các hàm tựa đa điều hòa dưới 30

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cho n là một miền giả lồi Ký hiệu 0( ) là lớp các hàm đa điều hoà dưới âm trên với giá trị biên 0 và độ đo Monge-Ampere hữu hạn trên ( ) là lớp các hàm đa điều hoà dưới âm trên sao cho tồn tại dãy giảm j các hàm đa điều hoà dưới trong 0( ) hội tụ đến thỏa mãn sup ( c )n

j j

( ) thì có thể chỉ ra rằng tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ( )sao cho trên và (dd c )n (dd c )n Hàm như thế được gọi là dưới thác triển của tới

El Mir, năm 1980, đã cho một ví dụ về một hàm đa điều hòa dưới trên song đĩa đơn vị trong 2

mà hạn chế lên một song đĩa bé hơn không có dưới thác triển lên toàn bộ không gian Đồng thời chỉ ra rằng, sau khi làm yếu đi tính

kỳ dị của hàm đa điều hòa dưới đã cho bằng sự hợp thành với hàm lồi tăng thích hợp, có thể đạt được dưới thác triển toàn cục Kết quả này được tổng quát bởi Alexander và Taylor, năm 1984

U Cegrell và A Zeriahi, năm 2003 đã chứng minh rằng hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge – Ampere bị chặn đều trên một miền siêu lồi bị chặn luôn có dưới thác triển đa điều hòa dưới đến một miền siêu lồi lớn hơn U Cegrell, S Kolodziej và A Zeriahi, năm 2005 đã chỉ ra rằng hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge – Ampere trên một miền siêu lồi bị chặn luôn có dưới thác triển đa điều hòa dưới toàn cục với cấp tăng lôga ở vô cùng

Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài “Dưới thác triển cực

đại của hàm đa điều hoà dưới” Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều

nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả gần đây của U Cegrell, S Kolodziej và A Zeriahi về dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

+ trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả của lý thuyết đa thế vị + Nghiên cứu độ đo Monge - Ampère của dư ới thác triển cực đại , thế vị trên miền Kahler và dưới thác triển của các hàm tựa đa điều hòa dưới

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 46 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về dạng vi phân

và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm

đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Taylor, các lớp năng lượng và năng lượng có trọng trong n

Bedford-Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả gần đây của U Cegrell, S Kolodziej và A Zeriahi về dưới thác triển cực đại của hàm

đa điều hoà dưới Trong đó đề cập đến bài toán dưới thác triển địa phương và

toàn cục của hàm (quasi-) đa điều hoà dưới từ miền con “chính qui” của đa tạp

Kahle compact Chứng minh c ận đúng trên khối lư ợng Monge - Ampère phức

của một hàm cho trước kéo theo sự tồn tại của một dư ới thác triển tới một miền con chính quy lớn hơn hoặc tới toàn bộ đa tạp compact Trong một vài trường hợp sẽ chỉ ra rằng dư ới thác triển cực đại có một độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định và thu được đánh giá chính xác trên độ đo này Cuối cùng là một ví dụ của hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định và cận phải trên khối lượng Monge - Ampère của nó trên hình cầu đơn

vị trong n mà dưới thác triển cực đại tới không gian xạ ảnh phức n không

có độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định toàn cục

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị

Giả sử n là không gian vectơ n chiều với cơ sở chính tắc

Mọi p dạng với p n đều bằng 0 Các dạng có bậc cực đại là các dạng

bậc n Cho là p dạng lớp C1 Vi phân ngoài (đạo hàm ngoài) của là (p 1) dạng cho bởi:

dV là độ đo Lebesgue trên

Định nghĩa 1.1.2 Một dòng bậc p hay có chiều (n p) trên tập mở n

là dạng tuyến tính liên tục T : (n p)( ) Nếu là dạng trong

(n p)( )

, giá trị của T tại , kí hiệu bởi T( ) hay T,

Bây giờ giả sử ,p q 0,1, ,n Ta kí hiệu ( , )p q là tập các dạng phức song bậc ( , )p q hệ số hằng trên n

Khi đó nếu w ( , )p q thì w có thể biểu diễn:

với w j (1,0) thì w gọi là dạng dương sơ cấp

Giả sử n là tập mở Tập các dạng vi phân song bậc ( , )p q với hệ số

thuộc C0 ( , ) (tương ứng C0( , )) được kí hiệu ( , )p q ( )

(tương ứng

( , )

0p q ( )

)

Định nghĩa 1.1.3 Mỗi phần tử T ( (n p n p, )( )) gọi là một dòng song bậc ( , )p q hay ( , )p q dòng (tương ứng song chiều (n p n, q)) Những phần tử của ( 0(n p n q, )( ))

gọi là dòng cấp 0, song bậc ( , )p q (hay

( , )p q dòng cấp 0)

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử T là ( , )p p dòng trên tập mở n T được gọi

là dương nếu với mỗi dạng sơ cấp

C

ta có T là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel trên

1.2 Hàm đa điều hoà dưới

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là một không gian tôpô, hàm u X: ,

được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi tập hợp

: ( )

x X u x là mở trong X

Định nghĩa 1.2.2 Cho là một tập con mở của n và u : , là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên thông nào của Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a và

n

( )

u PSH (ở đây kí hiệu PSH( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong )

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:

Mệnh đề 1.2.3 Nếu u v, PSH( ) và u v hầu khắp nơi trong , thì

Mệnh đề 1.2.4 Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của n và

( )

u PSH , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z ,

( ) sup lim sup ( )

y y

Định nghĩa 1.2.5 Tập hợp E n được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm

a E đều có một lân cận V của a và một hàm u PSH V( ) sao cho

: ( )

E V z V u z

Định lý 1.2.6 Cho là một tập con mở trong n Khi đó

( )i Họ PSH( ) là nón lồi, tức là nếu , là các số không âm và

chặn trên địa phương Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u* là đa điều

hoà dưới trong

Định lý 1.2.7 Cho là một tập con mở của n

( )i Cho u v, là các hàm đa điều hoà dưới trong và v 0 Nếu :

là lồi, thì v u v( / ) là đa điều hoà dưới trong

( )ii Cho u PSH( ), v PSH( ), và v 0 trong Nếu : là lồi và tăng dần, thì v u v( / )là đa điều hoà dưới trong

( )iii Cho u v, PSH( ), u 0 trong , và v 0 trong Nếu

1.3 Hàm đa điều hoà dưới cực đại

Định nghĩa 1.3.1 Cho là một tập con mở của n và u : là hàm

đa điều hoà dưới Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho

( )

Sau đây là một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới cực đại:

Mệnh đề 1.3.2 Cho n là mở và u : là hàm đa điều hoà dưới

Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

)

i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của và mỗi hàm v PSH( ),

nếu lim inf( ( ) ( )) 0,

z u z v z với mọi G , thì u v trong G ;

)

với dV là yếu tố thể tích trong n gọi là toán tử Monge-Ampe Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0( ) trên

0

n c

Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy u m như trên, ta ký hiệu:

(dd u c )n và gọi là toán tử Monge-Ampe của u

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe

Mệnh đề 1.4.1 Giả sử j là dãy các độ đo Radon trên tập mở n hội

tụ yếu tới độ đo Radon Khi đó

iii Viết E IntE E Khi đó

( ) (int ) lim inf (int )j lim inf ( )j

Mệnh đề 1.4.2 Giả sử n là miền bị chặn và , u v PSH( ) L loc( )

u z v z Hơn nữa khi thay u bởi u , >0, thì

u v thì cho 0 suy ra (1.1) đúng trên u v Vì vậy có thể giả

sử lim infz ( ( )u z v z( )) 0 Vậy u v

u z v z v z với z gần biên Vậy u u z( ) gần biên

và u v trên Theo công thức Stokes ta có

b Giả sử u v, tùy ý và là miền sao cho u v / 2 Tồn tại hai dãy u j và v k các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới u

và v sao cho u j v k trên với mọi i k, Có thể coi 1 u v j, k 0 Lấy

0 và giả sử G là tập mở sao cho C G n , , u v, là các hàm liên tục trên \G Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho

Hệ quả 1.5.2 Giả sử n là miền bị chặn và u v, PSH( ) L ( ) sao

(dd v c )n (dd u c )n

Hệ quả 1.5.3 Giả sử n là miền bị chặn và u v, PSH( ) L ( ) sao

z u z v z Giả sử (dd u c )n (dd v c )n trên Khi đó u v trên

Hệ quả 1.5.4 Giả sử n là miền bị chặn và u v, PSH( ) L ( ) sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

z u z v z và ( dd u c )n (dd v Khi đó c )n u v

1.6 Các lớp năng lƣợng và các lớp năng lƣợng có trọng trong n

Định nghĩa 1.6.1 Miền bị chặn n

gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một

z : ( )z c

Kí hiệu PSH ( ) là lớp các hàm điều hòa dưới âm trên

Dưới đây giả sử n Ta có các định nghĩa sau

Định nghĩa 1.6.3 Cho : là hàm tăng

sup ( ) ( c )n

Định lí 1.6.4 Cho : là hàm tăng thỏa mãn ( ) và

(0) 0 Cố định u ( ) và đặt u j max( ,u j) Khi đó với mỗi tập

Định lý 1.6.5 Cho : là hàm không giảm sao cho t Khi

đó ( ) ( ).Nói riêng, với u ( ) tuỳ ý, toán tử Monge-Ampere phức (dd u c )n hoàn toàn xác định và ( )u L dd u1(( c ) ).n

Mệnh đề 1.6.6 Cho : là hàm không giảm sao cho t Khi đó nếu tồn tại dãy ( )u k ( ) sao cho

Chương 2 DƯỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI

2.1 Độ đo Monge - Ampère của dưới thác triển cực đại

Trước khi xét dưới thác triển từ một miền siêu lồi đến n, chúng ta cần đến một k ết quả về dưới thác triển tới một tập siêu lồi lớn hơn Cho

n

D là hai miền siêu lồi bị chặn (mở và liên thông ) và u ( )D là

một hàm cho trước Khi đó , u có một dưới thác triển u ( ), nghĩa là

u u trên D (xem [10]) Do đó, ta có thể định nghĩa dưới thác triển cực đại

của u bởi

uˆ sup v PSH( ) :v 0, |v D u (2.1) Từ [6] suy ra rằng uˆ ( ) Định lý dưới đây đưa ra một sự mô tả độ đo Monge - Ampère của dưới thác triển cực đại Trước tiên ta cần Bổ đề cơ bản sau

Bổ đề 2.1.1.([4]) Giả sử j là một dãy độ đo dương xác định trên D với khối lượng bị chặn đều và với m ỗi 0 tồn tại một số 0 sao cho với mọi

E D với cap( )E ta có j( )E với mọi j Nếu lim j và

u u

dd u

Chứng minh Phát biểu thứ nhất của định lý đã được chứng minh trong [7]

Lưu ý rằng hàm uˆ được xác định bởi (2.1) là hàm đa điều hòa dưới nếu

u là một hàm liên tục trên D Từ đó, dễ dàng chỉ ra trong trường hợp này ta có

ˆ }

ˆ( c )n 0

u u

dd u

Bây giờ, giả sử u L D và lấy một dãy hàm liên tục ( ) u trên j D

giảm dần về u Khi đó ˆ u giảm đến j uˆ và dãy { }u bị chặn đều trên ˆj vì

dd u Để kết thúc chứng

minh trong trường hợp này ta chỉ cần cho s

Nếu u ( )D ta xét u j max{ ,u j Khi đó, với mỗi } t 0 cố định ta có

1 max u t/ , 1 (dd u c j)n 1 max u t/ , 1 (dd u c ) ,n

Chú ý rằng hàm 1 max u t/ ; 1 triệt tiêu trên u t và bị chặn trên

bởi 1 Hơn nữa, với bất kỳ j t ta có u t u j và dãy độ đo

1u j ddc u j n tăng tới độ đo 1u ddc u n (xem [3])

Do đó với j t ta nhận được

1 max u t/ ; 1 ddc u j n 1u j ddc u j n 1u ddc u n

Từ đó suy ra với mỗi t cố định, dãy độ đo

j 1 max u t/ ; 1 ddc u j n

và do đó 1 max u t/ ; 1 ddc u j n thỏa mãn đòi hỏi của Bổ đề 2.1.1, vì

thế với mỗi s và t cố định ta nhận được

2.2 Thế vị trên miền Kahler

Trong phần này trình bày việc thiết lập một vài kết quả cơ bản trong lý thuyết đa thế vị trên các đa tạp Kahler compact cùng với biên, nghĩa là trên các miền thuộc một đa tạp Kahler compact

2.2.1 Nguyên lý so sánh

Mục đích của phần này là trình bày một dạng nửa toàn cục của nguyên lý

so sánh bao gồm dạng địa phương từ lý thuyết đa thế vị trên các miền siêu lồi

bị chặn trong n cũng như một dạng toàn cục từ lý thuyết về các đa tạp Kahler compact (xem [12])

Cho X là một đa tạp Kahler n chiều và là dạng Kahler trên X Xét các hàm - đa điều hòa dưới bị chặn trên các miền Kahler trong X cùng với

biên Với miền D X tùy ý, ký hiệu PSH D( , ) là tập các hàm - đa điều hòa dưới trên D

Theo định nghĩa, nếu là đa điều hòa dưới trên D thì hàm

u p là hàm đa điều hòa dưới địa phương trên D, ở đó p là thế vị đa điều hòa dưới địa phương của , nghĩa là dd p c Do đó dòng

c

dd kết hợp với là một dòng dương đóng xác định toàn cục trên

D có thể được viết một cách địa phương là dd u Do vậy theo Bedford c

và Taylor [4], p hoàn toàn xác định một dòng dương đóng song bậc ( , )p p

trên D Tổng quát hơn, nếu 1, , q là các hàm - đa điều hòa dưới bị chặn trên D thì theo qui nạp ta có thể định nghĩa tích

Chúng ta bắt đầu từ “phiên bản địa phương” của nguyên lý so sánh suy

ra từ tính tựa liên tục của các hàm đa điều hòa dưới (xem [4])

Mệnh đề 2.2.1.1 Cho T là dòng dương đóng song chiều ( , ),(1p p p n)

dạng (2.2) và , PSH D( , ) L D Khi đó ( )

theo nghĩa yếu của độ đo Borel trên D Nói riêng

theo nghĩa yếu của độ đo Borel trên D

Để biểu diễn công thức tích phân từng phần, ta cần xét các miền đặc biệt