giao an 12 ki II

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳnga.. Định nghĩa: nr Vectơ khác vectơ đ ợc gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  nếu ….0r Em hãy đọc định nghĩa SGK và điền vào chỗ trống …... Vectơ phá

TiÕt45, 46 ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t

cña mÆt ph¼ng



O

z

M0

n r

M

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a Định nghĩa:

nr

Vectơ khác vectơ đ ợc gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () nếu ….0r

Em hãy đọc định nghĩa SGK và

điền vào chỗ trống …

nó nằm trên đ ờng thẳng

vuông góc với mặt phẳng ()

Ký hiệu: n a r ^ ( )

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a Định nghĩa:



n r

m ur

u r

Em hãy quan sát vào hình vẽ và

chọn ph ơng án đúng

n r

B Chỉ có vectơ là

vtpt của ()

A Vectơ là vtpt của ()u r

C Cả hai vectơ và

là vtpt của ().n r m ur

D Cả ba vectơ trên

là vtpt của ().

Vậy theo em một mặt phẳng có bao nhiêu vec tơ pháp tuyến?

Một mặt phẳng có vô

số vectơ pháp tuyến

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Trong không gian cho

điểm M0 và một vectơ n r

Theo em có tồn tại một mặt phẳng đi qua M 0 và vuông góc với vectơ trên không? Nếu có thì có bao nhiêu mặt phẳng nh thế?

M0

n r

Mặt phẳng () hoàn toàn

đ ợc xác định nếu biết một

điểm thuộc nó và một vectơ

pháp tuyến của nó.



1 Vect¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng

a r

b r

B»ng trùc quan em cã nhËn xÐt g× vÒ quan hÖ gi÷a vect¬ a,

vect¬ b vµ ()?

b) Chó ý:



Hai vect¬ vµ

nãi trªn cßn gäi lµ cÆp

vect¬ chØ ph ¬ng cña

mÆt ph¼ng ().

a r b r

Hai vect¬ kh«ng cïng ph ¬ng vµ cïng song hoÆc n»m trªn

()

1 Vect¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng

a rb

r



a r

b r



a r

b r

H×n

h 1

H×n

h 2

H×n

h 3

Em h·y cho biÕt h×nh nµo

mÆt ph¼ng () cã cÆp vect¬

chØ ph

¬ng?

§¸p sè: H×nh 2 vµ h×nh

3

1 Vect¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng



a r

b r

§Æt n r = [ , ] a b r r

Em cã nhËn xÐt g× vÒ quan hÖ gi÷a vect¬ víi hai vect¬

r

Gîi ý: vµ [ , ] a b r r ^ a r [ , ] a b r r ^ b r

Tr¶ lêi: vµ n a r ^ r n b r ^ r

VËy em cã nhËn xÐt g× vÒ quan

hÖ gi÷a

vµ mÆt ph¼ng ()?

n r

n r

1 Vect¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng

a r

b r

b) Chó ý:

 Hai vect¬ vµ

nãi trªn cßn gäi lµ cÆp

vect¬ chØ ph ¬ng cña

mÆt ph¼ng ().

a r b r

 n r = [ , ] a b r r

lµ

mét vect¬ ph¸p tuyÕn cña

()

n r



VËy nÕu A, B, C lµ

ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng

trong mÆt ph¼ng () th×

 A

B

C

n r lµ mét = uur uuur AB AC

vect¬ ph¸p tuyÕn cña ()

n r

2 Ph ơng trình tổng quát của mặt

phẳnga Bài toán:



O

z

Trong hệ toạ độ Oxyz cho mặt

phẳng ()

M0

n r

M0(x0;y0;z0) 

()

n r

là một vectơ pháp tuyến của ()

Tìm điều kiện để

điểm M  ()

M

Giải:

Giả sử M = (x; y; z) M 

() M Muuuuur r0 ^ Ûn M M n =uuuuur r0 . 0

 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =

0 (*)

Khai triển rồi đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) ta đ ợc

ph ơng trình:Ax + By + Cz + D = 0

(1)

2 Ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt

ph¼ng* §Þnh lÝ: SGK/ 78

b) §Þnh nghÜa

Ph ¬ng tr×nh d¹ng: Ax + By + Cz + D = 0 víi A2 +

B2 + C2 ≠ 0 ® îc gäi lµ ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt

ph¼ng.



c) Chó ý

 NÕu mÆt ph¼ng () qua ®iÓm M0(x0;y0;z0) vµ cã

vtpt th× ph ¬ng tr×nh cña nã lµ:

( ; : )

n A B Cr =

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z –

z 0 ) = 0

 NÕu mÆt ph¼ng () lµ mÆt ph¼ng cã ph ¬g

tr×nh:

Ax + By + Cz + D = 0 th× lµ mét vtpt cña nã

( ; : )

n A B Cr =

3.Các tr ờng hợp riêng của ph ơng trình tổng quát

Em hãy đọc SGK trang 80 rồi lựa chọn

ph ơng trình mặt phẳng ở cột A sao cho phù hợp với kết luận ở cột B:Cột A Cột B

1 Ax+ By + Cz = 0 a Song song với trục Ox hoặc chứa trục

Ox

2 By + Cz + D = 0 b Song song với mp Oxy hoặc trùng với

mp Oxy

3 Ax + Cz + D = 0 c Đi qua gốc toạ độ

4 Cz + D = 0 d Song song với trục Oz hoặc chứa trục

Oz

e Song song với trục

Oy hoặc chứa trục Oy

Ví dụ: 1 - c

3.Các tr ờng hợp riêng của ph ơng trình tổng quát

Em hãy đọc SGK trang 80 rồi cho biết trong các PT sau, PT nào là PT mặt phẳng

đi qua 3 điểm A=(1; 0; 0), B=(0; -2; 0) và

C= (0; 0; 5):

x y z

A + + =

x y z

B + + =

x y z

Ph ơng trình dạng đó đ ợc gọi là ph ơng trình theo đoạn chắn của mặt phẳng.

4 VÝ dô Tãm t¾t

 NÕu mÆt ph¼ng () qua ®iÓm M0(x0;y0;z0) vµ cã vtpt

th× ph ¬ng tr×nh cña nã lµ:

( ; ; )

nr = A B C

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z –

z 0 ) = 0

 NÕu mÆt ph¼ng () lµ mÆt ph¼ng cã ph ¬g tr×nh:

Ax + By + Cz + D = 0 th× lµ mét vtpt cña nã. n A B Cr = ( ; ; )

VÝ dô 1: ViÕt ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua ®iÓm P = (1; -2 ;

3) vµ song song víi mÆt ph¼ng 2x – 3y + z + 5 = 0.

Q 2x – 3y + z + 5

= 0

(2; 3;1)

n = -r

Gi¶i

MÆt ph¼ng cÇn t×m song song víi mÆt ph¼ng 2x – 3y + z + 5

= 0 nªn nã cã mét vtpt lµ:n = -r (2; 3;1) VËy ph ¬ng tr×nh cña

nã lµ:

2(x – 1) – 3(y + 2) + z – 3 = 0.

hay 2x – 3y + z – 11 = 0

4 VÝ dô

®iÓm P = (1; 0; 0), Q = (0; 2: 0) vµ R = (0; 0; 3)Gi¶i

( 1;2;0)

PQ =

-uuur

( 1;0;3)

PR =

-uur

MÆt ph¼ng (PQR) cã vect¬ ph¸p

tuyÕn lµ: 2 0 0 1 1 2

[ , ] ; ;

0 3 3 1 1 0

n = PQ PR =æççç - - ö÷÷÷=

÷

ç -

r uuur uur

(6; 3;

2)

vµ ®i qua ®iÓm P nªn cã ph ¬ng

tr×nh lµ:6(x – 1) + 3(y - 0) + 2(z – 0)

= 0  C¸ch 2: MÆt ph¼ng (PQR) cã ph ¬ng tr×nh theo 6x + 3y + 2z – 6 = 0.

®o¹n ch¾n lµ:

1

1 2 3

x + + = Ûy z 6x + 3y + 2z – 6 =

0.

VÝ dô 3: ViÕt ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc cña

®o¹n th¼ng AB, biÕt A = (1;2;-2), B = (1; 2; 1)

Gi¶i

4 VÝ dô

Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB th×: (1 1 3 2 2 1) (1; ;5 1)

-MÆt ph¼ng trung trùc cña AB ®i

qua I vµ vu«ng gãc víi ® êng th¼ng

AB nªn cã thÓ chän: uurAB = -(0; 1;3)

lµm vtpt ph¸p tuyÕn cña nã VËy PT

cña nã lµ:0( 1) 1( 5) 3( 1) 0

hay - y + 3z + 4

= 0.

Em đã chọn đúng !

Em đã chọn sai ! Hãy kiểm tra lại.