bài tập hàm số liên tục

BµI tËp§3 hµm sè liªn tôc... BµI tËp§3 hµm sè liªn tôc XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè trªn mét kho¶ng Chøng minh ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm trªn kho¶n

Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục

1) Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)

) x ( f )

x ( f

x



f(x) liên tục tại x 0  (a; b) 

2) Hàm số liên tục trên một khoảng

*) Định nghĩa:

- Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) đ ợc gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy

*) Định lý 1: -Hàm đa thức liên tục trên cả tập hợp số thực

-Hàmphân thức hữu tỷ va hàm l ợng giác liên tục trên khoảng xác định của nó



3) Chøng minh ph ¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm

*)§Þnh lý 3:

f(x) liªn tôc trªn [a ;b]

f(a).f(b) < 0   c  (a; b): f(c) = 0

Ph ¬ng tr×nh f(x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (a; b)

Bµi tËp hµm sè liªn tôc

f(x) liªn tôc t¹i mét ®iÓm

f(x) liªn tôc trªn mét kho¶ng

f(x) = 0

cã nghiÖm



BµI tËp

§3 hµm sè liªn tôc

Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0

*)Ví dụ áp dụng:

Bài toán: Cho hàm số: f(x) = x 1

1

x3





nếu x  1

3 nếu x = 1 Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 = 1

Bài giải: TXĐ: R

) x ( f lim

Tính

1

1 x

1

x lim

3

1



1

f (1) = 3 => limx 1 f(x) f(1)



Kết luận:

Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0= 1

Hàm số f(x) xác định trên khoảng K,

f(x) liên tục tại x 0  (a; b)  lim ( ) ( 0)

0

x f x

f

x

 x0

=

*)Ph ơng pháp:



Bài 2 ( tr141 ):



8

3





x x

2

0 

x

5

nếu x 

2

nếu x=2 Bài giải:

Tại

Xét tính liên tục của hàm số

Hàm số xác định trên R

Ta có: f(2)=5

lim 2

8 lim

) (

2

3

2











x

x x

f

x x

x

Vậy hàm số gián đoạn tại

2

0 

x

Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

*)Ph ơng pháp:

áp dụng định lý 1, 2: các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ,

hàm số l ợng giác, liên tục trên tập xác định của chúng

*)Ví dụ áp dụng

Bài số 1 : xét tính liên tục của các hàm số

x x

x

x x

f

a

2

6

5 )

(

2









4 x

16

x2





b) f( x) =

nếu x  4



b)Tập xác định: D = R

Hàm số liên tục tại x = 4

Hàm số liên tục  x  4

Xét tại x = 4:

4

16 lim

2

4 



 x

x

4



f(4) = 8 

) x (

f

lim

4

4 x

=

= f(4)

Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên R





Hàm số xác định trên (  , 0 )  ( 0 , 2 )  ( 2 ,  )

Hàm số f(x) là hàm phân th c hữu tỷ 

Hàm số f(x) liên tục trên (  , 0 )  ( 0 , 2 )  ( 2 ,  )

Bài tập : Cho f(x) =

Để f(x) liên tục tại x = 2 cần có 3 = 4a 

ax2 nếu x  2

3 nếu x > 2

( a là hằng số )

Tìm a để hàm số f(x) là liên tục với mọi x; Khi đó hãy vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

Khi x < 2: f(x) = ax2 nên hàm số liên tục

Khi x > 2: f(x) = 3 nên hàm số liên tục

Khi x = 2:

Bài giải:

f

2 x 2









  x lim 3 3 f

Lim

2 x 2









4

3

a 

Vậy

4

3

a  thì f(x) liên tục với mọi x

Khi đó f( x) =

nếu x  2

2

x 4

3

nếu x > 2

3



f( x) =

nếu x  2

2

x 4

3

nếu x > 2

3

Vẽ đồ thị hàm số

3

3/4

2 1

-1

y

O



Vấn đề 3 Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 có nghiệm

f(x) liên tục trên [a ;b]

f(a).f(b) < 0   c  (a; b): f(c) = 0

Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)

Ví dụ áp dụng

Bài toán: Cho ph ơng trình: 2 x3 - 6 x + 1 = 0

Bài giải:

Chứng minh rằng ph ơng trình có ít nhất hai nghiệm

Hàm số f(x) liên tục trên R  hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0 ;1]

f(0) =

f(1) = -3  f(0).f(1) = - 3 < 0

  x0  ( 0; 1) : f(x

0) = 0

1 f(x)= 2x3 - 6x + 1



Hµm sè f(x) liªn tôc trªn R  hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [1,2]

f(1) = -3

f(2)= 5

f(1).f(2) = -15 < 0



0  ( 1; 2) : f(x0) = 0 KÕt luËn: Ph ¬ng tr×nh tån t¹i Ýt nhÊt 2 nghiÖm

BµI tËp

§3 hµm sè liªn tôc

XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm

XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè trªn mét kho¶ng

Chøng minh ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm trªn kho¶ng

