ôn tập phương trình lượng giác

ÔN TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC... Hướng dẫn học ở nhàPhương pháp chung giải phương trình lượng giác: - Xét điều kiện của phương trình phương trình cần giải về phương trình đã có các

ÔN TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I 1)Các dạng phương trình lượng giác cơ bản

• Phương trình sinx=m

– Điều kiện: ∀ x∈R

– |m|>1: Vô nghiệm

– |m|≤1: Có nghiệm

Nếu α là nghiệm thì sinx=m ⇔ x=α+k2π x= π- α+k2π

• Phương trình cosx=m

– Điều kiện: ∀ x∈R

– |m|>1: Vô nghiệm

– |m|≤1: Có nghiệm

Nếu α là nghiệm thì sinx=m ⇔ x = ±α + k2π

α

π-α

α

- α

I 1)Các phương trình lượng giác cơ bản

• Phương trình tanx=m

– Điều kiện: cosx ≠ 0

– Nếu α là nghiệm thì tanx=m ⇔ x=α+kπ

• Phương trình cotx=m

– Điều kiện: sinx ≠ 0

– Nếu α là nghiệm thì cotx=m ⇔ x=α+kπ

α

π+α

α

π+α

I 1)Các phương trình lượng giác cơ bản

• Phương trình tanx=m

– Điều kiện: cosx ≠ 0

– Nếu α là nghiệm thì tanx=m ⇔ x=α+kπ

• Phương trình cotx=m

– Điều kiện: sinx ≠ 0

– Nếu α là nghiệm thì cotx=m ⇔ x=α+kπ

α

π+α

α

π+α

I 2) Phương trình có cách giải tổng quát

• Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai với một hàm số :

– Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đại số

– Giải phương trình đại số

– Tìm nghiệm phương trình lượng giác ban đầu

• Phương trình dạng asinx + bcosx = c:

– Chia cả 2 vế cho

– Đưa về phương trình dạng sin(x+α) = m

• Phương trình dạng thuần nhất đẳng cấp đối với sinx và

cosx: asin 2 x+bcosxsinx+ccos 2 x+d=0

– Chia cả 2 vế cho cos 2 x (sin 2 x)

– Đưa về phương trình đối với tanx (cotx)

2 2

a +b

II Luyện tập: Giải các phương trình

• Bài 1: a)

b) tan(2x + 45 o ).tan(180 o - x) = 1

• Bài 2:

• Bài 3:

• Bài 4:

sin +sinx-2cos =

1 + cos2x sin2x

= cos x 1- cos2x

(3cosx+4sinx+ 5)(cos2x +sinx+2)=0

sin x +sin 2x+sin 3x = 2

Bài 1

Hướng dẫn giải:

a)

(1) ⇔ x= α + (2k+1) π với α =arcsin3/5 (2) ⇔ sinx = -1 ⇔ x = -90 o + k360 o

b) tan(2x+45 o )tan(180 o -x) = 1

⇔ tan(2x+45 o ) = cot(180 o -x)

⇔ tan(2x+45 o ) = tan(x-90 0 )

⇔ x =-135 o +k180 o k ∈ Z

(3cosx+4sinx+ 5)(cos2x +sinx+2)=0

3cosx+4sinx+ 5=0 (1) cos2x +sinx+2=0 (2)



⇔ 



Bài 2:

Hướng dẫn:

C1) Thay vế phải là ,ta có:

Ta đưa về phương trình đẳng cấp đối với sin và cos

Ta có phương trình đại số: t2 + 4t -5 = 0

C2) Dùng công thức góc nhân đôi ta đưa phương trình

về dạng bậc nhất đối với sinx và cosx:

3 sin x - cosx = 1 2sinx - 3cosx = 2

2

Bài 2:

Hướng dẫn:

C1) Thay vế phải là ,ta có:

Ta đưa về phương trình đẳng cấp đối với sin và cos

Ta có phương trình đại số: t2 + 4t -5 = 0

C2) Dùng công thức góc nhân đôi ta đưa phương trình

về dạng bậc nhất đối với sinx và cosx:

3 sin x - cosx = 1 2sinx - 3cosx = 2

2

Bài 3:

-Điều kiện: cosx ≠ 0 và cos2x ≠ 1

-Biến đổi tương đương phương trình:

⇔ (1 + cos2x)(1 – cos2x) = cosx.sin2x ⇔ 1 – cos22x = cosx.sin2x ⇔ sin22x = cosx.sin2x ⇔ sin2x( sin2x – cosx) = 0

=

o

sin2x = 0





Bài 4: sin2x + sin22x + sin23x = 2

Dùng công thức hạ bậc ta có:

⇔ cos2x + cos4x + cos6x = -1

⇔ 2cos4x.cos2x + cos4x = -1

⇔ 2cos4x.cos2x + cos4x+1 = 0

⇔ 2cos4x.cos2x + 2cos 2 2x = 0

⇔ 2cos2x.(cos4x + cos2x) = 0

⇔ 2cos2x.2.cos3x.cosx = 0

⇔ cosx = 0 hoặc cos2x = 0 hoặc cos3x = 0

Chú ý: Bài toán tương tự

cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x = -1

⇔

III Hướng dẫn học ở nhà

Phương pháp chung giải phương trình lượng giác:

- Xét điều kiện của phương trình

phương trình cần giải về phương trình đã có cách giải:

+ Phương trình lượng giác cơ bản

+ Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với 1 hàm số

+ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

+ Phương trình thuần nhất đẳng cấp đối với sinx

và cosx

Bài tập luyện tập ở nhà phần ôn tập chương